Équations et Problèmes

I Équations

A. Définitions

1 Égalités

On appelle égalité, une expression algébrique contenant le signe « = »

5 + 3 = 8 est une égalité, 5+3 est son premier membre et 8 son deuxième.

2 Équations

On appelle équation, une égalité dans laquelle au moins une lettre symbolise une valeur inconnue:

3 + 2x = 7 est une équation du premier degré à une inconnue.

B. Équations et additions

1 Propriété

Une égalité ne change pas si on ajoute (ou si on soustrait) un même nombre à ses deux membres.

Pour résoudre une équation, on utilise cette propriété.

2 Vocabulaire alternatif.

3 + 2x = 7

3 + 2x - 3 = 7 - 3

2x = 4

En ajoutant -3 aux deux membres de cette équation, on a réussi à isoler l'unique terme « en x » dans le premier membre.

3 + 2x = 7

Une autre façon de voir les choses est la transposition (étymologiquement : poser de l'autre côté)

2x = 7 - 3

2x = 4

On a transposé 3 (terme d'une somme) en écrivant de l'autre côté du signe égal son opposé -3

C. Équations et multiplications

1 Propriété

Une égalité ne change pas si on multiplie (ou si on divise) ses deux membres par un même nombre non nul.

Pour résoudre une équation, on utilise cette propriété.

2 Vocabulaire alternatif

2x=4

2x/2 = 4/2

x = 2

En divisant par 2 les deux membres de cette équation, on trouve x=2. 2 est la solution de cette équation

2x = 4

Une autre façon de voir les choses: on divise par le coefficient de x:

x=4/2=2

II Problèmes

De nombreux problèmes peuvent être traités grâce à des méthodes algébrique mettant en oeuvre équations ou inéquations.

Il est impératif de faire apparaître clairement les étapes lors de la résolution du problème :

• 1 Le choix de ou des inconnues.
• 2 La mise en équation(s) ou en inéquation(s)
• 3 La résolution
• 4 La conclusion (interprétation du résultat)
• 5 La vérification (recommandée)

CONTENU

Résolution de problèmes conduisant à des équations du premier degré à une inconnue.

COMPÉTENCES EXIGIBLES

Mettre en équation et résoudre un problème conduisant à une équation du premier degré à une inconnue.

COMMENTAIRES

Les problèmes issus d'autres parties du programme conduisent à l'introduction d'équations et à leur résolution.

On dégagera chaque fois sur des problèmes particuliers les différentes étapes du travail :

• Mise en équation
• Résolution de l'équation
• Interprétation du résultat.

Tous les problèmes aboutissant à des équations produits, du type (x - 2) (2x - 3) = 0, sont hors programme.