Le plus beau compliment que je puisse faire à une femme est de lui dire : je suis aussi bien avec toi que si j'étais tout seul.

Jean Yanne

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Equations, Inéquations et problèmes, en troisième imprimer

images : Equations, Inéquations et problèmes, en troisième
Résumé du cours:

Équations Inéquations Problèmes

I Équations

A. Définitions

1 Égalités

On appelle égalité, une expression algébrique contenant le signe « = »

5 + 3 = 8 est une égalité, 5+3 est son premier membre et 8 son deuxième.

2 Équations

On appelle équation, une égalité dans laquelle au moins une lettre symbolise une valeur inconnue:

3 + 2x = 7 est une équation du premier degré à une inconnue.

B. Équations et additions

1 Propriété

Une égalité ne change pas si on ajoute (ou si on soustrait) un même nombre à ses deux membres.

Pour résoudre une équation, on utilise cette propriété.

2 Vocabulaire alternatif.

3 + 2x = 7

3 + 2x - 3 = 7 - 3

2x = 4

En ajoutant -3 aux deux membres de cette équation, on a réussi à isoler l'unique terme « en x » dans le premier membre.

3 + 2x = 7

Une autre façon de voir les choses est la transposition (étymologiquement : poser de l'autre côté)

2x = 7 - 3

2x = 4

On a transposé 3 (terme d'une somme) en écrivant de l'autre côté du signe égal son opposé -3

C. Équations et multiplications

1 Propriété

Une égalité ne change pas si on multiplie (ou si on divise) ses deux membres par un même nombre non nul.

Pour résoudre une équation, on utilise cette propriété.

2 Vocabulaire alternatif

2x=4

2x/2 = 4/2

x = 2

En divisant par 2 les deux membres de cette équation, on trouve x=2. 2 est la solution de cette équation

2x = 4

Une autre façon de voir les choses: on divise par le coefficient de x:

x=4/2=2

D. Équations de type produits nuls

1 Propriétés

Si un produit est nul alors l'un (au moins) de ses facteurs est nul. Si l'un des facteurs d'un produit est nul alors ce produit est nul.

2 Exemples

Résoudre l'équation (2x + 6)(5x - 5)=0

Si un produit est nul alors l'un de ses facteurs est nul

donc

2x + 6 = 0 ou 5x - 5 = 0

soit:

2x=-6 ou 5x=5

et:

x=-6/2=-3 ou x=5/5 = 1

Cette équation admet donc deux solutions: x=-3 et x=1

II Inéquations

A. Définitions

1 Les 4 Symboles

a < b a est strictement inférieur à b (plus petit mais pas égal)

a <= b a est inférieur (ou égal) à b (plus petit ou égal)

a > b a est strictement supérieur à b (plus grand mais pas égal)

a >= b a est supérieur (ou égal) à b (plus grand ou égal)

2 Inégalités

On appelle inégalité une expression algébrique contenant l'un des symboles précédents.

3 Inéquations

On appelle inéquation une inégalité dans laquelle au moins une lettre symbolise une valeur inconnue:

3 + 2x > 7 est une inéquation.

B. Inéquations et additions

1 Propriété

Une Inégalité ne change pas si on ajoute (ou si on soustrait) un même nombre à ses deux membres.

Pour résoudre une inéquation, on utilise cette propriété:

2 Vocabulaire alternatif.

3 + 2x > 7

3 + 2x - 3 > 7 - 3

2x > 4

Une autre façon de voir les choses: la transposition:

3 + 2x > 7

on transpose 3 (-3 de l'autre côté du égal)

2x > 7 - 3

2x > 4

C. Inéquations et multiplications

1 Propriété

Il faut faire très attention quand on multiplie, ou quand on divise les deux membres d'une inégalité par un même nombre non nul:

  • Si ce nombre est positif, le sens de l'inégalité ne change pas.
  • Si ce nombre est négatif, le sens de l'inégalité est inversé.

2 Vocabulaire alternatif.

2x >4

On divise par le coefficient de x, qui est positif:

x > 4/2

x > 2

fig1

On a hachuré la zone des nombres qui ne sont pas solutions. 2 n'est pas solution, on l'a donc associé (]) à la zone hachurée.

3 Autre exemple

exemple2 fig2

On a hachuré la zone des nombres qui ne sont pas solutions. 1 n'est pas solution, on l'a donc associé ([) à la zone non hachurée.

III Problèmes

De nombreux problèmes peuvent être traités grâce à des méthodes algébrique mettant en oeuvre équations ou inéquations.

Il est impératif de faire apparaître clairement les étapes lors de la résolution du problème :

  • 1 Le choix de ou des inconnues.
  • 2 La mise en équation(s) ou en inéquation(s)
  • 3 La résolution
  • 4 La conclusion (interprétation du résultat)
  • 5 La vérification (recommandée)
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Officiel:

OFFICIEL

CONTENU

  • Équations et inéquations du premier degré.
  • Ordre et multiplication.
  • Inéquation du premier degré à 1 inconnue.
  • Résolutions de problèmes du premier degré ou s'y ramenant.

COMPETENCES EXIGIBLES

Utiliser le fait que des nombres relatifs de la forme ab et ac sont dans le même ordre que b et c si a est strictement positif, dans l'ordre inverse si a est strictement négatif.

Résoudre une inéquation du premier degré à 1 inconnue à coefficients numériques.

Représenter ses solutions sur une droite graduée.

Résoudre une équation sous la forme AB=0, où A et B désignent 2 expressions du premier degré de la même variable.

Mettre en équation et résoudre un problème conduisant à une équation ou un système de 2 équations du premier degré.

COMMENTAIRES

On pourra s'appuyer dans toute cette partie sur des activités déjà pratiquées dans les classes antérieures, notamment celles de tests par substitution de valeurs numériques à des lettres.

L'étude du signe d'un produit ou d'un quotient de 2 expressions du premier degré de la même variable est, elle, hors programme.

Les problèmes sont issus des différentes parties du programme.

Comme en classe de quatrième, on dégagera à chaque fois les différentes étapes du travail :

  • mise en équation
  • résolution de l'équation
  • et interprétation du résultat.

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Le nom Python ne viendrait pas du nom d'un reptile mais du Monty Python Flying Circus, un groupe de comiques complètement déjantés qui ont sévis sur la BBC dans les années 60-70.

Sur le site de Wouf, vous trouverez:

  • Un lien de téléchargement dans la boite à outil du menu informatique.
  • Des liens vers des didacticiels et aides en ligne dans le menu Liens "Plus"
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  • Un exemple de sources

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