Trigonométrie dans le triangle rectangle

I Relations trigonométriques dans le triangle rectangle

A Avant propos

Dans le triangle rectangle ABC, est l'angle droit, le côté opposé à (en face de ) est [BC], c'est l'hypoténuse.

Si on s'intéresse à l'angle :

• [AC] est le côté opposé à l'angle
• [AB] est le côté adjacent à l'angle

Si on s'intéresse à l'angle :

• [AC] est _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
• [AB] est _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

B. Formules

Dans ABC un triangle rectangle en A, le cosinus, le sinus et la tangente de l'angle aigu sont donnés par les formules suivantes:

On a de même:

C Mnémotechnie

SOH CAH TOA n'est pas une formule magique mais une moyen mnémotechnique pour retenir les formules ci-dessus:

• SOH: Sinus Opposé Hypoténuse
• CAH: Cosinus Adjacent Hypoténuse
• TOA: Tangente Opposé Adjacent

D Exemple

(Japon 96)

ABC est un triangle rectangle en A. On donne AB = 5 cm et .

Construire la figure en vraie grandeur.

Déterminer la longueur AC, arrondie au dixième de centimètre.

Dans le triangle ABC, rectangle en A

Remarque:

On peut contrôler la vraisemblance du résultat: (3,5 < 5 et 35 < 45)

II Relations entre sinus, cosinus et tangente

A Relation fondamentale de la trigonométrie

Si a est un angle aigu d'un triangle rectangle:

cos ² a + sin ² a = 1

démonstration:

Dans ABC rectangle en A:



or d'après le théorème de Pythagore dans ABC rectangle en A:

AB²+AC²=BC²

donc

B Autre relation

si a est un angle aigu d'un triangle rectangle:

démonstration:

III Valeurs particulières

En choisissant un triangle rectangle adapté aux différentes situations, vérifier (retrouver) dans le tableau les valeurs exactes suivantes.

OFFICIEL

CONTENUS

Triangle rectangle : relations trigonométriques

COMPETENCES EXIGIBLES

Connaître et utiliser dans le triangle rectangle des relations entre le cosinus, le sinus ou la tangente d'un angle aigu et les longueurs de 2 côtés du triangle.

Utiliser la calculatrice pour déterminer des valeurs approchées :

• du sinus, du cosinus et de la tangente d'un angle aigu donné.
• de l'angle aigu dont on connaît le sinus, le cosinus ou la tangente.

COMMENTAIRES

La définition du cosinus a été vue en 4ème . Le sinus et la tangente d'un angle aigu seront introduits comme rapports de longueurs ou à l'aide du quart de cercle trigonométrique.

On établira les formules:

On n'utilisera pas d'autre unité que le degré décimal.