\documentclass[a4paper,11pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[a4paper,top=3.2cm,bottom=2cm,left=2cm,right=2cm]{geometry}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

\newcommand{\titre}{Les fractions}
\newcommand{\soustitre}{Cycle 4 --- Fiche n\textdegree 187}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/exercices_fractions.php?x=187}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} FRAQ0187}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\sloppy

\needspace{4\baselineskip}
\section*{
Exercice 1}

\begin{itemize}
\item Quel est le nombre qui multiplié par 7 donne 46 ?
 \item Quel est le nombre qui multiplié par 25 donne 200 ?
\end{itemize}

\needspace{4\baselineskip}
\section*{
Exercice 2}

Simplifie, \emph{si possible}  les fractions suivantes :

 \(\dfrac{26}{-35}\) ; \(\dfrac{25}{-10}\) ; \(\dfrac{40}{-65}\) ; \(\dfrac{-70}{6}\)

\needspace{4\baselineskip}
\section*{
Exercice 3}

 Compare   \(\dfrac{-28}{-21}\) et \(\dfrac{-30}{51}\)

\needspace{4\baselineskip}
\section*{
Exercice 4}

Calcule \(\dfrac{50}{-30}\) + \(\dfrac{27}{28}\) puis \(\dfrac{26}{7}\) - \(\dfrac{2}{38}\)

\needspace{4\baselineskip}
\section*{
Exercice 5}

Calcule :\(\dfrac{48}{13}\) \(\times\) \(\dfrac{15}{-16}\) puis \(\dfrac{16}{10}\) : \(\dfrac{51}{27}\)

\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}

\needspace{4\baselineskip}
\subsection*{
Exercice 1}

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent{\color{red}\textbf{Définition}}\par

{\color{red}
Soit a et b deux nombres, b non nul

\par\addvspace{.55em}

Le quotient
\(\dfrac{a}{b}\)
est le nombre qui, multiplié par b, donne a.
}

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent\textbf{Quel est le nombre qui multiplié par 7 donne 46 ?}\par

c'est
\(\dfrac{46}{7}\)
\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent\textbf{Quel est le nombre qui multiplié par 25 donne 200 ?}\par

C'est \(\dfrac{200}{25}\) = 8

\needspace{4\baselineskip}
\subsection*{
Exercice 2}

{\color{red}
Il s'agit de trouver une fraction égale ayant un dénominateur (entier positif) plus petit.
}

 \(\dfrac{26}{-35}\) = \(\dfrac{-26}{35}\)
\par\addvspace{.55em}
\(\dfrac{25}{-10}\) = \(\dfrac{-5}{2}\)
\par\addvspace{.55em}
\(\dfrac{40}{-65}\) = \(\dfrac{-8}{13}\)
\par\addvspace{.55em}
\(\dfrac{-70}{6}\) = \(\dfrac{-35}{3}\)
\par\addvspace{.55em}

\needspace{4\baselineskip}
\subsection*{
Exercice 3}

{\color{green!60!black}
Pour comparer des nombres en écriture fractionnaire, on peut les écrire avec
le même dénominateur positif puis les ranger dans le même ordre que leurs
numérateurs.
}

{\color{green!60!black}
Mais ici, il y a plus simple, on remarque que les deux fractions sont de signes contraires !
}

\par\addvspace{.55em}
 \(\dfrac{-30}{51}\) \(\leqslant\) 0 \(\leqslant\) \(\dfrac{-28}{-21}\)

\needspace{4\baselineskip}
\subsection*{
Exercice 4}

{\color{red}
Pour additionner (ou soustraire) des nombres
en écriture fractionnaire ayant le même dénominateur,

\begin{itemize}
\item  On additionne (ou on soustrait) les numérateurs et
 \item  On garde le dénominateur commun.
\end{itemize}
}

{\color{green!60!black}
Il est souvent (mais pas toujours) judicieux de simplifier les fractions \emph{avant} d'effectuer les
calculs.
\par\addvspace{.55em}

\par\addvspace{.55em}
 }

\(\dfrac{50}{-30}\) + \(\dfrac{27}{28}\) = \(\dfrac{-5}{3}\) + \(\dfrac{27}{28}\) = \(\dfrac{-140}{84}\) + \(\dfrac{81}{84}\) = \(\dfrac{-59}{84}\)
\par\addvspace{.55em}

\par\addvspace{.55em}
\(\dfrac{26}{7}\) - \(\dfrac{2}{38}\) = \(\dfrac{494}{133}\) - \(\dfrac{7}{133}\) = \(\dfrac{487}{133}\)

\needspace{4\baselineskip}
\subsection*{
Exercice 5}

{\color{green!60!black}
Il est souvent judicieux de simplifier les fractions \emph{avant} d'effectuer les
calculs.
\par\addvspace{.55em}

\par\addvspace{.55em}
 }

{\color{red}
Pour multiplier des nombres en écriture
fractionnaire, on multiplie les numérateurs entre eux
et les dénominateurs entre eux.}

\(\dfrac{48}{13}\) \(\times\) \(\dfrac{15}{-16}\) = \(\dfrac{-48}{13}\) \(\times\) \(\dfrac{15}{16}\) = \(\dfrac{-48 \times 15}{13 \times 16}\) = \(\dfrac{-2^{4} \times 3^{2} \times 5}{2^{4} \times 13}\) =  \(\dfrac{-3^{2} \times 5}{13}\) = \(\dfrac{-45}{13}\)

{\color{red} Diviser par un nombre non
nul revient à multiplier par
l'inverse de ce nombre.}

\(\dfrac{16}{10}\) : \(\dfrac{51}{27}\) = \(\dfrac{16}{10}\) \(\times\) \(\dfrac{27}{51}\) = \(\dfrac{8}{5}\) \(\times\) \(\dfrac{9}{17}\) = \(\dfrac{8 \times 9}{5 \times 17}\) = \(\dfrac{72}{85}\)

\end{document}
