\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

\newcommand{\titre}{Arithmétique}
\newcommand{\soustitre}{Cycle 4 --- Fiche n\textdegree 129}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/exercices_arithmetique.php?x=129}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} ARIT0129}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Les 6 exercices d'arithmétique ci-dessous peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? Division euclidienne, multiples, décomposition en facteurs premiers, PPCM, PGCD, fractions irréductibles et nombres premiers : un tour d'horizon complet du programme de cycle 4, utile pour réviser le DNB.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy


{\color{blue}

« Les 6 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »

}

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent{\color{red}\textbf{Exercice 1}}\par

{\color{green!60!black}
    Encadre 879 et 526 par deux multiples consécutifs de 7.
    }

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent{\color{red}\textbf{Exercice 2}}\par

{\color{green!60!black}
        Quel est le plus grand multiple de 23 inférieur à 310 ?
        }

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent{\color{red}\textbf{Exercice 3}}\par

{\color{green!60!black}
        Quel est le plus petit multiple de 10 supérieur à 99 ?
        }

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent{\color{red}\textbf{Exercice 4}}\par

{\color{green!60!black}
\begin{enumerate}
\item Décompose 1240 et 1100 en produit de facteurs premiers.
 \item Déduis leur PPCM (Plus petit multiple commun)
 \item Déduis en leur PGCD (Plus grand diviseur commun)
 \item Simplifie au maximum la fraction :
\par\addvspace{.55em}
\(\dfrac{1240}{1100}\)
\end{enumerate}
}

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent{\color{red}\textbf{Exercice 5}}\par

{\color{green!60!black}
\begin{enumerate}
\item Donne les listes ordonnées des diviseurs de  1088 et 15435.
 \item Donne la liste ordonnée de leurs diviseurs communs.
 \item Déduis-en le PGCD de 1088 et 15435.
 \item Simplifie au maximum la fraction :
\par\addvspace{.55em}
\(\dfrac{1088}{15435}\)
\end{enumerate}
}

"
\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent{\color{red}\textbf{Exercice 6}}\par

{\color{green!60!black} Les nombres suivants sont-ils premiers ? 7702;  613;  575; 5601 }

 \newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent{\color{red}\textbf{Exercice 1}}\par

{\color{green!60!black}
        Encadre 879 et 526 par deux multiples consécutifs de 7.
        }

On effectue la division euclidienne de 879 par 7 :

 
\begin{center}\begin{tikzpicture}[line width=0.6pt]
  \draw[gray] (1.320,1.870) -- (1.320,1.760);
  \draw[gray] (1.540,1.870) -- (1.540,1.320);
  \draw[black] (1.980,2.145) -- (1.980,0.220);
  \draw[black] (1.980,1.870) -- (3.080,1.870);
  \draw[black] (1.045,1.705) -- (1.155,1.705);
  \draw[black] (1.045,1.265) -- (1.375,1.265);
  \draw[black] (1.265,0.825) -- (1.595,0.825);
  \draw[blue] (0.990,2.145) .. controls (1.063,2.218) and (1.137,2.218) .. (1.210,2.145);
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.100,1.980) {8};
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,1.980) {7};
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.540,1.980) {9};
  \node[black, anchor=base west, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (2.200,1.980) {7};
  \node[blue, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (2.200,1.650) {1};
  \node[blue, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (2.420,1.650) {2};
  \node[blue, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (2.640,1.650) {5};
  \node[red, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.100,1.760) {7};
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,1.540) {7};
  \node[green!55!black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.100,1.540) {1};
  \node[red, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,1.320) {4};
  \node[red, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.100,1.320) {1};
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.540,1.100) {9};
  \node[green!55!black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,1.100) {3};
  \node[red, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.540,0.880) {5};
  \node[red, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,0.880) {3};
  \node[green!55!black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.540,0.605) {4};
\end{tikzpicture}\end{center}


\begin{itemize}
\item[] 879 = 7 \(\times\) 125 + 4 et 4 \(<\) 7
 \item[] 879 = 875 + 4
 \item[] {\color{red}
donc 875 \(<\) 879 \(<\) 882 (875 + 7)}
\end{itemize}

De même:

On effectue la division euclidienne de 526 par 7 :

 
\begin{center}\begin{tikzpicture}[line width=0.6pt]
  \draw[gray] (1.540,1.430) -- (1.540,1.320);
  \draw[black] (1.980,1.705) -- (1.980,0.220);
  \draw[black] (1.980,1.430) -- (2.860,1.430);
  \draw[black] (1.045,1.265) -- (1.375,1.265);
  \draw[black] (1.265,0.825) -- (1.595,0.825);
  \draw[blue] (0.990,1.705) .. controls (1.137,1.778) and (1.283,1.778) .. (1.430,1.705);
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.100,1.540) {5};
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,1.540) {2};
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.540,1.540) {6};
  \node[black, anchor=base west, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (2.200,1.540) {7};
  \node[blue, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (2.200,1.210) {7};
  \node[blue, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (2.420,1.210) {5};
  \node[red, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,1.320) {9};
  \node[red, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.100,1.320) {4};
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.540,1.100) {6};
  \node[green!55!black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,1.100) {3};
  \node[red, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.540,0.880) {5};
  \node[red, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,0.880) {3};
  \node[green!55!black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.540,0.605) {1};
\end{tikzpicture}\end{center}


\begin{itemize}
\item[] 526 = 7 \(\times\) 75 + 1 et 1 \(<\) 7
 \item[] 526 = 525 + 1
 \item[] {\color{red}
donc 525 \(<\) 526 \(<\) 532 (525 + 7)}
\end{itemize}

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent{\color{red}\textbf{Exercice 2}}\par

{\color{green!60!black}
           Quel est le plus grand multiple de 23 inférieur à 310 ?
           }

On effectue la division euclidienne de 310 par 23 :

 
\begin{center}\begin{tikzpicture}[line width=0.6pt]
  \draw[gray] (1.540,1.430) -- (1.540,1.320);
  \draw[black] (1.980,1.705) -- (1.980,0.220);
  \draw[black] (1.980,1.430) -- (2.860,1.430);
  \draw[black] (1.045,1.265) -- (1.375,1.265);
  \draw[black] (1.265,0.825) -- (1.595,0.825);
  \draw[blue] (0.990,1.705) .. controls (1.137,1.778) and (1.283,1.778) .. (1.430,1.705);
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.100,1.540) {3};
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,1.540) {1};
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.540,1.540) {0};
  \node[black, anchor=base west, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (2.200,1.540) {23};
  \node[blue, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (2.200,1.210) {1};
  \node[blue, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (2.420,1.210) {3};
  \node[red, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,1.320) {3};
  \node[red, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.100,1.320) {2};
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.540,1.100) {0};
  \node[green!55!black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,1.100) {8};
  \node[red, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.540,0.880) {9};
  \node[red, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,0.880) {6};
  \node[green!55!black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.540,0.605) {1};
  \node[green!55!black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,0.605) {1};
\end{tikzpicture}\end{center}


\begin{itemize}
\item[] 310 = 23 \(\times\) 13 + 11 et 11 \(<\) 23
\item[] {\color{red} Le plus grand multiple de 23 inférieur à 310 est donc 23 \(\times\) 13 = 299.}
\end{itemize}

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent{\color{red}\textbf{Exercice 3}}\par

{\color{green!60!black}
            Quel est le plus petit multiple de 10 supérieur à 99 ?
           }

On effectue la division euclidienne de 99 par 10 :

 
\begin{center}\begin{tikzpicture}[line width=0.6pt]
  \draw[black] (1.760,1.265) -- (1.760,0.220);
  \draw[black] (1.760,0.990) -- (2.420,0.990);
  \draw[black] (1.045,0.825) -- (1.375,0.825);
  \draw[blue] (0.990,1.265) .. controls (1.137,1.338) and (1.283,1.338) .. (1.430,1.265);
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.100,1.100) {9};
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,1.100) {9};
  \node[black, anchor=base west, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.980,1.100) {10};
  \node[blue, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.980,0.770) {9};
  \node[red, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,0.880) {0};
  \node[red, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.100,0.880) {9};
  \node[green!55!black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,0.605) {9};
\end{tikzpicture}\end{center}


\begin{itemize}
\item[] 99 = 10 \(\times\) 9 + 9 et 9 \(<\) 10
\item[] {\color{red} Le plus petit multiple de 10 inférieur à 99 est donc 10 \(\times\) 10 = 100.}
\end{itemize}

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent{\color{red}\textbf{Exercice 4}}\par

{\color{green!60!black}
    Décomposition de  1240 en produit de facteurs premiers :

    
{\color{black}\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.1}
\begin{tabular}{r|l}
1240 & 2\\
620 & 2\\
310 & 2\\
155 & 5\\
31 & 31\\
1 & \\
\end{tabular}\qquad 1240 = 2\textsuperscript{3} $\times$ 5 $\times$ 31
\end{center}}

    Décomposition de  1100 en produit de facteurs premiers :

    
{\color{black}\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.1}
\begin{tabular}{r|l}
1100 & 2\\
550 & 2\\
275 & 5\\
55 & 5\\
11 & 11\\
1 & \\
\end{tabular}\qquad 1100 = 2\textsuperscript{2} $\times$ 5\textsuperscript{2} $\times$ 11
\end{center}}

\begin{enumerate}
\item {\color{red} Décompositions :
\par\addvspace{.55em}
{\color{green!60!black} 1240 = 2\textsuperscript{3} \(\times\) 5 \(\times\) 31}
\par\addvspace{.55em}
{\color{green!60!black} 1100 = 2\textsuperscript{2} \(\times\) 5\textsuperscript{2} \(\times\) 11}}
\item {\color{red} Calcul du plus petit multiple commun :
\par\addvspace{.55em}
{\color{green!60!black} PPCM(1240;1100) = 2\textsuperscript{3} \(\times\) 5\textsuperscript{2} \(\times\) 11 \(\times\) 31 = 68200}}
\item {\color{red} Calcul du plus grand
         diviseur commun :
\par\addvspace{.55em}
{\color{green!60!black} PGCD(1240;1100) = 2\textsuperscript{2} \(\times\) 5 = 20}}
\item {\color{red} Simplification de la fraction :
\par\addvspace{.55em}

{\color{green!60!black} Si on simplifie une fraction par
         le plus grand diviseur commun à son numérateur
         et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.}

 {\color{green!60!black} d'où \(\dfrac{1240}{1100}\) = \(\dfrac{1240:20}{1100:20}\) = \(\dfrac{62}{55}\) } }
\end{enumerate}
}

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent{\color{red}\textbf{Exercice 5}}\par

{\color{green!60!black}
\begin{enumerate}
\item {\color{red} Les diviseurs :

{\color{green!60!black} 1088 : \{ 1; 2; 4; 8; 16; 17; 32; 34; 64; 68; 136; 272; 544; 1088 \}
\par\addvspace{.55em}

15435 : \{ 1; 3; 5; 7; 9; 15; 21; 35; 45; 49; 63; 105; 147; 245; 315; 343; 441; 735; 1029; 1715; 2205; 3087; 5145; 15435 \}}

}
 \item {\color{red} Les diviseurs communs de 1088 et 15435 sont :

{\color{green!60!black}
\{ 1 \}}

 }
\item {\color{red} Le plus grand diviseur commun de 1088 et 15435 est :

{\color{green!60!black}
PGCD(1088;15435) = 1}

}
 \item {\color{red} Simplification de la fraction :

{\color{green!60!black} Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres
1088 et 15435 sont premiers entre eux.}

 {\color{green!60!black} Donc la fraction \(\dfrac{1088}{15435}\) est irréductible.}}
\end{enumerate}
}

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent{\color{red}\textbf{Exercice 6}}\par

\begin{enumerate}
\item {\color{red}
        7702 est-il premier ?

{\color{green!60!black}

        7702 est pair donc \emph{7702 n'est pas un nombre premier}.}

}

\item {\color{red}
        613 est-il premier ?

{\color{green!60!black}  613 = 2 \(\times\) 306 + 1 613 = 3 \(\times\) 204 + 1 613 = 5 \(\times\) 122 + 3 613 = 7 \(\times\) 87 + 4 613 = 11 \(\times\) 55 + 8 613 = 13 \(\times\) 47 + 2 613 = 17 \(\times\) 36 + 1 613 = 19 \(\times\) 32 + 5 613 = 23 \(\times\) 26 + 15 613 = 29 \(\times\) 21 + 4
\par\addvspace{.55em}

            613 n'a pas d'autres diviseurs que 1 et 613  donc \emph{ 613 est un nombre premier.} }

}
\item {\color{red}
        575 est-il premier ?

{\color{green!60!black}

        575 se termine par un 5, c'est un multiple de 5 donc \emph{575 n'est pas un nombre premier}.}

}

\item {\color{red}
        5601 est-il premier ?

{\color{green!60!black}

          5+6+0+1 = 12
\par\addvspace{.55em}
 1+2 = 3

{\color{green!60!black} Critère de divisibilité par 3 :
\par\addvspace{.55em}

                     Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
                     .}

                     donc 5601 est divisible par 3.\emph{ donc 5601 n'est pas un nombre premier}.}

}
\end{enumerate}
\end{document}
