\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

\newcommand{\titre}{Arithmétique}
\newcommand{\soustitre}{Cycle 4 --- Fiche n\textdegree 140}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/exercices_arithmetique.php?x=140}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} ARIT0140}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Les 6 exercices d'arithmétique ci-dessous peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? Division euclidienne, multiples, décomposition en facteurs premiers, PPCM, PGCD, fractions irréductibles et nombres premiers : un tour d'horizon complet du programme de cycle 4, utile pour réviser le DNB.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy


{\color{blue}

« Les 6 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »

}

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent{\color{red}\textbf{Exercice 1}}\par

{\color{green!60!black}
    Encadre 377 et 71 par deux multiples consécutifs de 6.
    }

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent{\color{red}\textbf{Exercice 2}}\par

{\color{green!60!black}
        Quel est le plus grand multiple de 20 inférieur à 148 ?
        }

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent{\color{red}\textbf{Exercice 3}}\par

{\color{green!60!black}
        Quel est le plus petit multiple de 3 supérieur à 67 ?
        }

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent{\color{red}\textbf{Exercice 4}}\par

{\color{green!60!black}
\begin{enumerate}
\item Décompose 4368 et 14375 en produit de facteurs premiers.
 \item Déduis leur PPCM (Plus petit multiple commun)
 \item Déduis en leur PGCD (Plus grand diviseur commun)
 \item Simplifie au maximum la fraction :
\par\addvspace{.55em}
\(\dfrac{4368}{14375}\)
\end{enumerate}
}

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent{\color{red}\textbf{Exercice 5}}\par

{\color{green!60!black}
\begin{enumerate}
\item Donne les listes ordonnées des diviseurs de  596 et 144.
 \item Donne la liste ordonnée de leurs diviseurs communs.
 \item Déduis-en le PGCD de 596 et 144.
 \item Simplifie au maximum la fraction :
\par\addvspace{.55em}
\(\dfrac{596}{144}\)
\end{enumerate}
}

"
\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent{\color{red}\textbf{Exercice 6}}\par

{\color{green!60!black} Les nombres suivants sont-ils premiers ? 1425;  14872;  787; 4401 }

 \newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent{\color{red}\textbf{Exercice 1}}\par

{\color{green!60!black}
        Encadre 377 et 71 par deux multiples consécutifs de 6.
        }

On effectue la division euclidienne de 377 par 6 :

 
\begin{center}\begin{tikzpicture}[line width=0.6pt]
  \draw[gray] (1.540,1.430) -- (1.540,1.320);
  \draw[black] (1.980,1.705) -- (1.980,0.220);
  \draw[black] (1.980,1.430) -- (2.860,1.430);
  \draw[black] (1.045,1.265) -- (1.375,1.265);
  \draw[black] (1.265,0.825) -- (1.595,0.825);
  \draw[blue] (0.990,1.705) .. controls (1.137,1.778) and (1.283,1.778) .. (1.430,1.705);
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.100,1.540) {3};
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,1.540) {7};
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.540,1.540) {7};
  \node[black, anchor=base west, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (2.200,1.540) {6};
  \node[blue, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (2.200,1.210) {6};
  \node[blue, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (2.420,1.210) {2};
  \node[red, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,1.320) {6};
  \node[red, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.100,1.320) {3};
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.540,1.100) {7};
  \node[green!55!black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,1.100) {1};
  \node[red, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.540,0.880) {2};
  \node[red, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,0.880) {1};
  \node[green!55!black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.540,0.605) {5};
\end{tikzpicture}\end{center}


\begin{itemize}
\item[] 377 = 6 \(\times\) 62 + 5 et 5 \(<\) 6
 \item[] 377 = 372 + 5
 \item[] {\color{red}
donc 372 \(<\) 377 \(<\) 378 (372 + 6)}
\end{itemize}

De même:

On effectue la division euclidienne de 71 par 6 :

 
\begin{center}\begin{tikzpicture}[line width=0.6pt]
  \draw[gray] (1.320,1.430) -- (1.320,1.320);
  \draw[black] (1.760,1.705) -- (1.760,0.220);
  \draw[black] (1.760,1.430) -- (2.640,1.430);
  \draw[black] (1.045,1.265) -- (1.155,1.265);
  \draw[black] (1.045,0.825) -- (1.375,0.825);
  \draw[blue] (0.990,1.705) .. controls (1.063,1.778) and (1.137,1.778) .. (1.210,1.705);
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.100,1.540) {7};
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,1.540) {1};
  \node[black, anchor=base west, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.980,1.540) {6};
  \node[blue, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.980,1.210) {1};
  \node[blue, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (2.200,1.210) {1};
  \node[red, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.100,1.320) {6};
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,1.100) {1};
  \node[green!55!black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.100,1.100) {1};
  \node[red, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,0.880) {6};
  \node[green!55!black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,0.605) {5};
\end{tikzpicture}\end{center}


\begin{itemize}
\item[] 71 = 6 \(\times\) 11 + 5 et 5 \(<\) 6
 \item[] 71 = 66 + 5
 \item[] {\color{red}
donc 66 \(<\) 71 \(<\) 72 (66 + 6)}
\end{itemize}

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent{\color{red}\textbf{Exercice 2}}\par

{\color{green!60!black}
           Quel est le plus grand multiple de 20 inférieur à 148 ?
           }

On effectue la division euclidienne de 148 par 20 :

 
\begin{center}\begin{tikzpicture}[line width=0.6pt]
  \draw[black] (1.980,1.265) -- (1.980,0.220);
  \draw[black] (1.980,0.990) -- (2.860,0.990);
  \draw[black] (1.045,0.825) -- (1.595,0.825);
  \draw[blue] (0.990,1.265) .. controls (1.210,1.338) and (1.430,1.338) .. (1.650,1.265);
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.100,1.100) {1};
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,1.100) {4};
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.540,1.100) {8};
  \node[black, anchor=base west, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (2.200,1.100) {20};
  \node[blue, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (2.200,0.770) {7};
  \node[red, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.540,0.880) {0};
  \node[red, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,0.880) {4};
  \node[red, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.100,0.880) {1};
  \node[green!55!black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.540,0.605) {8};
\end{tikzpicture}\end{center}


\begin{itemize}
\item[] 148 = 20 \(\times\) 7 + 8 et 8 \(<\) 20
\item[] {\color{red} Le plus grand multiple de 20 inférieur à 148 est donc 20 \(\times\) 7 = 140.}
\end{itemize}

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent{\color{red}\textbf{Exercice 3}}\par

{\color{green!60!black}
            Quel est le plus petit multiple de 3 supérieur à 67 ?
           }

On effectue la division euclidienne de 67 par 3 :

 
\begin{center}\begin{tikzpicture}[line width=0.6pt]
  \draw[gray] (1.320,1.430) -- (1.320,1.320);
  \draw[black] (1.760,1.705) -- (1.760,0.220);
  \draw[black] (1.760,1.430) -- (2.640,1.430);
  \draw[black] (1.045,1.265) -- (1.155,1.265);
  \draw[black] (1.045,0.825) -- (1.375,0.825);
  \draw[blue] (0.990,1.705) .. controls (1.063,1.778) and (1.137,1.778) .. (1.210,1.705);
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.100,1.540) {6};
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,1.540) {7};
  \node[black, anchor=base west, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.980,1.540) {3};
  \node[blue, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.980,1.210) {2};
  \node[blue, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (2.200,1.210) {2};
  \node[red, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.100,1.320) {6};
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,1.100) {7};
  \node[green!55!black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.100,1.100) {0};
  \node[red, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,0.880) {6};
  \node[green!55!black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,0.605) {1};
\end{tikzpicture}\end{center}


\begin{itemize}
\item[] 67 = 3 \(\times\) 22 + 1 et 1 \(<\) 3
\item[] {\color{red} Le plus petit multiple de 3 inférieur à 67 est donc 3 \(\times\) 23 = 69.}
\end{itemize}

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent{\color{red}\textbf{Exercice 4}}\par

{\color{green!60!black}
    Décomposition de  4368 en produit de facteurs premiers :

    
{\color{black}\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.1}
\begin{tabular}{r|l}
4368 & 2\\
2184 & 2\\
1092 & 2\\
546 & 2\\
273 & 3\\
91 & 7\\
13 & 13\\
1 & \\
\end{tabular}\qquad 4368 = 2\textsuperscript{4} $\times$ 3 $\times$ 7 $\times$ 13
\end{center}}

    Décomposition de  14375 en produit de facteurs premiers :

    
{\color{black}\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.1}
\begin{tabular}{r|l}
14375 & 5\\
2875 & 5\\
575 & 5\\
115 & 5\\
23 & 23\\
1 & \\
\end{tabular}\qquad 14375 = 5\textsuperscript{4} $\times$ 23
\end{center}}

\begin{enumerate}
\item {\color{red} Décompositions :
\par\addvspace{.55em}
{\color{green!60!black} 4368 = 2\textsuperscript{4} \(\times\) 3 \(\times\) 7 \(\times\) 13}
\par\addvspace{.55em}
{\color{green!60!black} 14375 = 5\textsuperscript{4} \(\times\) 23}}
\item {\color{red} Calcul du plus petit multiple commun :
\par\addvspace{.55em}
{\color{green!60!black} PPCM(4368;14375) = 2\textsuperscript{4} \(\times\) 3 \(\times\) 5\textsuperscript{4} \(\times\) 7 \(\times\) 13 \(\times\) 23 = 62790000}}
\item {\color{red} Calcul du plus grand
         diviseur commun :
\par\addvspace{.55em}
{\color{green!60!black} PGCD(4368,14375) =  1}}
 \item {\color{red} Simplification de la fraction :
\par\addvspace{.55em}
 {\color{green!60!black} Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres
4368 et 14375 sont premiers entre eux.
\par\addvspace{.55em}

         Donc la fraction \(\dfrac{4368}{14375}\) est irréductible.}}
\end{enumerate}
}

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent{\color{red}\textbf{Exercice 5}}\par

{\color{green!60!black}
\begin{enumerate}
\item {\color{red} Les diviseurs :

{\color{green!60!black} 596 : \{ 1; 2; 4; 149; 298; 596 \}
\par\addvspace{.55em}

144 : \{ 1; 2; 3; 4; 6; 8; 9; 12; 16; 18; 24; 36; 48; 72; 144 \}}

}
 \item {\color{red} Les diviseurs communs de 596 et 144 sont :

{\color{green!60!black}
\{ 1; 2; 4 \}}

 }
\item {\color{red} Le plus grand diviseur commun de 596 et 144 est :

{\color{green!60!black}
PGCD(596;144) = 4}

}
 \item {\color{red} Simplification de la fraction :

{\color{green!60!black} Si on simplifie une fraction par
                 le plus grand diviseur commun à son numérateur
                 et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.}

 {\color{green!60!black} d'où \(\dfrac{596}{144}\) = \(\dfrac{596:4}{144:4}\) = \(\dfrac{149}{36}\) } }
\end{enumerate}
}

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent{\color{red}\textbf{Exercice 6}}\par

\begin{enumerate}
\item {\color{red}
        1425 est-il premier ?

{\color{green!60!black}

        1425 se termine par un 5, c'est un multiple de 5 donc \emph{1425 n'est pas un nombre premier}.}

}

\item {\color{red}
        14872 est-il premier ?

{\color{green!60!black}

        14872 est pair donc \emph{14872 n'est pas un nombre premier}.}

}

\item {\color{red}
        787 est-il premier ?

{\color{green!60!black}  787 = 2 \(\times\) 393 + 1 787 = 3 \(\times\) 262 + 1 787 = 5 \(\times\) 157 + 2 787 = 7 \(\times\) 112 + 3 787 = 11 \(\times\) 71 + 6 787 = 13 \(\times\) 60 + 7 787 = 17 \(\times\) 46 + 5 787 = 19 \(\times\) 41 + 8 787 = 23 \(\times\) 34 + 5 787 = 29 \(\times\) 27 + 4
\par\addvspace{.55em}

            787 n'a pas d'autres diviseurs que 1 et 787  donc \emph{ 787 est un nombre premier.} }

}
\item {\color{red}
        4401 est-il premier ?

{\color{green!60!black}

         4+4+0+1 = 9

{\color{green!60!black} Critère de divisibilité par 3 :
\par\addvspace{.55em}

                     Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
                     .}

                     donc 4401 est divisible par 3.\emph{ donc 4401 n'est pas un nombre premier}.}

}
\end{enumerate}
\end{document}
