\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

\newcommand{\titre}{Arithmétique}
\newcommand{\soustitre}{Cycle 4 --- Fiche n\textdegree 346}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/exercices_arithmetique.php?x=346}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} ARIT0346}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Les 6 exercices d'arithmétique ci-dessous peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? Division euclidienne, multiples, décomposition en facteurs premiers, PPCM, PGCD, fractions irréductibles et nombres premiers : un tour d'horizon complet du programme de cycle 4, utile pour réviser le DNB.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy


{\color{blue}

« Les 6 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »

}

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent{\color{red}\textbf{Exercice 1}}\par

{\color{green!60!black}
    Encadre 678 et 402 par deux multiples consécutifs de 11.
    }

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent{\color{red}\textbf{Exercice 2}}\par

{\color{green!60!black}
        Quel est le plus grand multiple de 19 inférieur à 455 ?
        }

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent{\color{red}\textbf{Exercice 3}}\par

{\color{green!60!black}
        Quel est le plus petit multiple de 17 supérieur à 362 ?
        }

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent{\color{red}\textbf{Exercice 4}}\par

{\color{green!60!black}
\begin{enumerate}
\item Décompose 11264 et 11745 en produit de facteurs premiers.
 \item Déduis leur PPCM (Plus petit multiple commun)
 \item Déduis en leur PGCD (Plus grand diviseur commun)
 \item Simplifie au maximum la fraction :
\par\addvspace{.55em}
\(\dfrac{11264}{11745}\)
\end{enumerate}
}

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent{\color{red}\textbf{Exercice 5}}\par

{\color{green!60!black}
\begin{enumerate}
\item Donne les listes ordonnées des diviseurs de  125 et 915.
 \item Donne la liste ordonnée de leurs diviseurs communs.
 \item Déduis-en le PGCD de 125 et 915.
 \item Simplifie au maximum la fraction :
\par\addvspace{.55em}
\(\dfrac{125}{915}\)
\end{enumerate}
}

"
\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent{\color{red}\textbf{Exercice 6}}\par

{\color{green!60!black} Les nombres suivants sont-ils premiers ? 1305;  15066;  2501; 4167 }

 \newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent{\color{red}\textbf{Exercice 1}}\par

{\color{green!60!black}
        Encadre 678 et 402 par deux multiples consécutifs de 11.
        }

On effectue la division euclidienne de 678 par 11 :

 
\begin{center}\begin{tikzpicture}[line width=0.6pt]
  \draw[gray] (1.540,1.430) -- (1.540,1.320);
  \draw[black] (1.980,1.705) -- (1.980,0.220);
  \draw[black] (1.980,1.430) -- (2.860,1.430);
  \draw[black] (1.045,1.265) -- (1.375,1.265);
  \draw[black] (1.265,0.825) -- (1.595,0.825);
  \draw[blue] (0.990,1.705) .. controls (1.137,1.778) and (1.283,1.778) .. (1.430,1.705);
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.100,1.540) {6};
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,1.540) {7};
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.540,1.540) {8};
  \node[black, anchor=base west, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (2.200,1.540) {11};
  \node[blue, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (2.200,1.210) {6};
  \node[blue, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (2.420,1.210) {1};
  \node[red, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,1.320) {6};
  \node[red, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.100,1.320) {6};
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.540,1.100) {8};
  \node[green!55!black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,1.100) {1};
  \node[red, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.540,0.880) {1};
  \node[red, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,0.880) {1};
  \node[green!55!black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.540,0.605) {7};
\end{tikzpicture}\end{center}


\begin{itemize}
\item[] 678 = 11 \(\times\) 61 + 7 et 7 \(<\) 11
 \item[] 678 = 671 + 7
 \item[] {\color{red}
donc 671 \(<\) 678 \(<\) 682 (671 + 11)}
\end{itemize}

De même:

On effectue la division euclidienne de 402 par 11 :

 
\begin{center}\begin{tikzpicture}[line width=0.6pt]
  \draw[gray] (1.540,1.430) -- (1.540,1.320);
  \draw[black] (1.980,1.705) -- (1.980,0.220);
  \draw[black] (1.980,1.430) -- (2.860,1.430);
  \draw[black] (1.045,1.265) -- (1.375,1.265);
  \draw[black] (1.265,0.825) -- (1.595,0.825);
  \draw[blue] (0.990,1.705) .. controls (1.137,1.778) and (1.283,1.778) .. (1.430,1.705);
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.100,1.540) {4};
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,1.540) {0};
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.540,1.540) {2};
  \node[black, anchor=base west, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (2.200,1.540) {11};
  \node[blue, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (2.200,1.210) {3};
  \node[blue, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (2.420,1.210) {6};
  \node[red, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,1.320) {3};
  \node[red, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.100,1.320) {3};
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.540,1.100) {2};
  \node[green!55!black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,1.100) {7};
  \node[red, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.540,0.880) {6};
  \node[red, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,0.880) {6};
  \node[green!55!black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.540,0.605) {6};
\end{tikzpicture}\end{center}


\begin{itemize}
\item[] 402 = 11 \(\times\) 36 + 6 et 6 \(<\) 11
 \item[] 402 = 396 + 6
 \item[] {\color{red}
donc 396 \(<\) 402 \(<\) 407 (396 + 11)}
\end{itemize}

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent{\color{red}\textbf{Exercice 2}}\par

{\color{green!60!black}
           Quel est le plus grand multiple de 19 inférieur à 455 ?
           }

On effectue la division euclidienne de 455 par 19 :

 
\begin{center}\begin{tikzpicture}[line width=0.6pt]
  \draw[gray] (1.540,1.430) -- (1.540,1.320);
  \draw[black] (1.980,1.705) -- (1.980,0.220);
  \draw[black] (1.980,1.430) -- (2.860,1.430);
  \draw[black] (1.045,1.265) -- (1.375,1.265);
  \draw[black] (1.265,0.825) -- (1.595,0.825);
  \draw[blue] (0.990,1.705) .. controls (1.137,1.778) and (1.283,1.778) .. (1.430,1.705);
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.100,1.540) {4};
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,1.540) {5};
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.540,1.540) {5};
  \node[black, anchor=base west, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (2.200,1.540) {19};
  \node[blue, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (2.200,1.210) {2};
  \node[blue, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (2.420,1.210) {3};
  \node[red, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,1.320) {8};
  \node[red, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.100,1.320) {3};
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.540,1.100) {5};
  \node[green!55!black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,1.100) {7};
  \node[red, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.540,0.880) {7};
  \node[red, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,0.880) {5};
  \node[green!55!black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.540,0.605) {8};
  \node[green!55!black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,0.605) {1};
\end{tikzpicture}\end{center}


\begin{itemize}
\item[] 455 = 19 \(\times\) 23 + 18 et 18 \(<\) 19
\item[] {\color{red} Le plus grand multiple de 19 inférieur à 455 est donc 19 \(\times\) 23 = 437.}
\end{itemize}

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent{\color{red}\textbf{Exercice 3}}\par

{\color{green!60!black}
            Quel est le plus petit multiple de 17 supérieur à 362 ?
           }

On effectue la division euclidienne de 362 par 17 :

 
\begin{center}\begin{tikzpicture}[line width=0.6pt]
  \draw[gray] (1.540,1.430) -- (1.540,1.320);
  \draw[black] (1.980,1.705) -- (1.980,0.220);
  \draw[black] (1.980,1.430) -- (2.860,1.430);
  \draw[black] (1.045,1.265) -- (1.375,1.265);
  \draw[black] (1.265,0.825) -- (1.595,0.825);
  \draw[blue] (0.990,1.705) .. controls (1.137,1.778) and (1.283,1.778) .. (1.430,1.705);
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.100,1.540) {3};
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,1.540) {6};
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.540,1.540) {2};
  \node[black, anchor=base west, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (2.200,1.540) {17};
  \node[blue, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (2.200,1.210) {2};
  \node[blue, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (2.420,1.210) {1};
  \node[red, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,1.320) {4};
  \node[red, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.100,1.320) {3};
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.540,1.100) {2};
  \node[green!55!black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,1.100) {2};
  \node[red, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.540,0.880) {7};
  \node[red, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,0.880) {1};
  \node[green!55!black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.540,0.605) {5};
\end{tikzpicture}\end{center}


\begin{itemize}
\item[] 362 = 17 \(\times\) 21 + 5 et 5 \(<\) 17
\item[] {\color{red} Le plus petit multiple de 17 inférieur à 362 est donc 17 \(\times\) 22 = 374.}
\end{itemize}

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent{\color{red}\textbf{Exercice 4}}\par

{\color{green!60!black}
    Décomposition de  11264 en produit de facteurs premiers :

    
{\color{black}\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.1}
\begin{tabular}{r|l}
11264 & 2\\
5632 & 2\\
2816 & 2\\
1408 & 2\\
704 & 2\\
352 & 2\\
176 & 2\\
88 & 2\\
44 & 2\\
22 & 2\\
11 & 11\\
1 & \\
\end{tabular}\qquad 11264 = 2\textsuperscript{10} $\times$ 11
\end{center}}

    Décomposition de  11745 en produit de facteurs premiers :

    
{\color{black}\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.1}
\begin{tabular}{r|l}
11745 & 3\\
3915 & 3\\
1305 & 3\\
435 & 3\\
145 & 5\\
29 & 29\\
1 & \\
\end{tabular}\qquad 11745 = 3\textsuperscript{4} $\times$ 5 $\times$ 29
\end{center}}

\begin{enumerate}
\item {\color{red} Décompositions :
\par\addvspace{.55em}
{\color{green!60!black} 11264 = 2\textsuperscript{10} \(\times\) 11}
\par\addvspace{.55em}
{\color{green!60!black} 11745 = 3\textsuperscript{4} \(\times\) 5 \(\times\) 29}}
\item {\color{red} Calcul du plus petit multiple commun :
\par\addvspace{.55em}
{\color{green!60!black} PPCM(11264;11745) = 2\textsuperscript{10} \(\times\) 3\textsuperscript{4} \(\times\) 5 \(\times\) 11 \(\times\) 29 = 132295680}}
\item {\color{red} Calcul du plus grand
         diviseur commun :
\par\addvspace{.55em}
{\color{green!60!black} PGCD(11264,11745) =  1}}
 \item {\color{red} Simplification de la fraction :
\par\addvspace{.55em}
 {\color{green!60!black} Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres
11264 et 11745 sont premiers entre eux.
\par\addvspace{.55em}

         Donc la fraction \(\dfrac{11264}{11745}\) est irréductible.}}
\end{enumerate}
}

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent{\color{red}\textbf{Exercice 5}}\par

{\color{green!60!black}
\begin{enumerate}
\item {\color{red} Les diviseurs :

{\color{green!60!black} 125 : \{ 1; 5; 25; 125 \}
\par\addvspace{.55em}

915 : \{ 1; 3; 5; 15; 61; 183; 305; 915 \}}

}
 \item {\color{red} Les diviseurs communs de 125 et 915 sont :

{\color{green!60!black}
\{ 1; 5 \}}

 }
\item {\color{red} Le plus grand diviseur commun de 125 et 915 est :

{\color{green!60!black}
PGCD(125;915) = 5}

}
 \item {\color{red} Simplification de la fraction :

{\color{green!60!black} Si on simplifie une fraction par
                 le plus grand diviseur commun à son numérateur
                 et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.}

 {\color{green!60!black} d'où \(\dfrac{125}{915}\) = \(\dfrac{125:5}{915:5}\) = \(\dfrac{25}{183}\) } }
\end{enumerate}
}

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent{\color{red}\textbf{Exercice 6}}\par

\begin{enumerate}
\item {\color{red}
        1305 est-il premier ?

{\color{green!60!black}

        1305 se termine par un 5, c'est un multiple de 5 donc \emph{1305 n'est pas un nombre premier}.}

}

\item {\color{red}
        15066 est-il premier ?

{\color{green!60!black}

        15066 est pair donc \emph{15066 n'est pas un nombre premier}.}

}

\item {\color{red}
        2501 est-il premier ?

{\color{green!60!black}  2501 = 2 \(\times\) 1250 + 1 2501 = 3 \(\times\) 833 + 2 2501 = 5 \(\times\) 500 + 1 2501 = 7 \(\times\) 357 + 2 2501 = 11 \(\times\) 227 + 4 2501 = 13 \(\times\) 192 + 5 2501 = 17 \(\times\) 147 + 2 2501 = 19 \(\times\) 131 + 12 2501 = 23 \(\times\) 108 + 17 2501 = 29 \(\times\) 86 + 7 2501 = 31 \(\times\) 80 + 21 2501 = 37 \(\times\) 67 + 22 2501 = 41 \(\times\) 61 + 0
\par\addvspace{.55em}

            2501 est divisible par 41 donc\emph{  2501 n'est pas un nombre premier}.
            }

}
\item {\color{red}
        4167 est-il premier ?

{\color{green!60!black}

          4+1+6+7 = 18
\par\addvspace{.55em}
 1+8 = 9

{\color{green!60!black} Critère de divisibilité par 3 :
\par\addvspace{.55em}

                     Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
                     .}

                     donc 4167 est divisible par 3.\emph{ donc 4167 n'est pas un nombre premier}.}

}
\end{enumerate}
\end{document}
