\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

\newcommand{\titre}{Arithmétique}
\newcommand{\soustitre}{Cycle 4 --- Fiche n\textdegree 61}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/exercices_arithmetique.php?x=61}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} ARIT0061}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Les 6 exercices d'arithmétique ci-dessous peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? Division euclidienne, multiples, décomposition en facteurs premiers, PPCM, PGCD, fractions irréductibles et nombres premiers : un tour d'horizon complet du programme de cycle 4, utile pour réviser le DNB.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy


{\color{blue}

« Les 6 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »

}

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent{\color{red}\textbf{Exercice 1}}\par

{\color{green!60!black}
    Encadre 668 et 290 par deux multiples consécutifs de 13.
    }

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent{\color{red}\textbf{Exercice 2}}\par

{\color{green!60!black}
        Quel est le plus grand multiple de 13 inférieur à 201 ?
        }

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent{\color{red}\textbf{Exercice 3}}\par

{\color{green!60!black}
        Quel est le plus petit multiple de 26 supérieur à 172 ?
        }

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent{\color{red}\textbf{Exercice 4}}\par

{\color{green!60!black}
\begin{enumerate}
\item Décompose 3276 et 3312 en produit de facteurs premiers.
 \item Déduis leur PPCM (Plus petit multiple commun)
 \item Déduis en leur PGCD (Plus grand diviseur commun)
 \item Simplifie au maximum la fraction :
\par\addvspace{.55em}
\(\dfrac{3276}{3312}\)
\end{enumerate}
}

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent{\color{red}\textbf{Exercice 5}}\par

{\color{green!60!black}
\begin{enumerate}
\item Donne les listes ordonnées des diviseurs de  272 et 4275.
 \item Donne la liste ordonnée de leurs diviseurs communs.
 \item Déduis-en le PGCD de 272 et 4275.
 \item Simplifie au maximum la fraction :
\par\addvspace{.55em}
\(\dfrac{272}{4275}\)
\end{enumerate}
}

"
\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent{\color{red}\textbf{Exercice 6}}\par

{\color{green!60!black} Les nombres suivants sont-ils premiers ? 3781;  1887;  491; 665 }

 \newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent{\color{red}\textbf{Exercice 1}}\par

{\color{green!60!black}
        Encadre 668 et 290 par deux multiples consécutifs de 13.
        }

On effectue la division euclidienne de 668 par 13 :

 
\begin{center}\begin{tikzpicture}[line width=0.6pt]
  \draw[gray] (1.540,1.430) -- (1.540,1.320);
  \draw[black] (1.980,1.705) -- (1.980,0.220);
  \draw[black] (1.980,1.430) -- (2.860,1.430);
  \draw[black] (1.045,1.265) -- (1.375,1.265);
  \draw[black] (1.265,0.825) -- (1.595,0.825);
  \draw[blue] (0.990,1.705) .. controls (1.137,1.778) and (1.283,1.778) .. (1.430,1.705);
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.100,1.540) {6};
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,1.540) {6};
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.540,1.540) {8};
  \node[black, anchor=base west, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (2.200,1.540) {13};
  \node[blue, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (2.200,1.210) {5};
  \node[blue, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (2.420,1.210) {1};
  \node[red, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,1.320) {5};
  \node[red, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.100,1.320) {6};
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.540,1.100) {8};
  \node[green!55!black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,1.100) {1};
  \node[red, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.540,0.880) {3};
  \node[red, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,0.880) {1};
  \node[green!55!black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.540,0.605) {5};
\end{tikzpicture}\end{center}


\begin{itemize}
\item[] 668 = 13 \(\times\) 51 + 5 et 5 \(<\) 13
 \item[] 668 = 663 + 5
 \item[] {\color{red}
donc 663 \(<\) 668 \(<\) 676 (663 + 13)}
\end{itemize}

De même:

On effectue la division euclidienne de 290 par 13 :

 
\begin{center}\begin{tikzpicture}[line width=0.6pt]
  \draw[gray] (1.540,1.430) -- (1.540,1.320);
  \draw[black] (1.980,1.705) -- (1.980,0.220);
  \draw[black] (1.980,1.430) -- (2.860,1.430);
  \draw[black] (1.045,1.265) -- (1.375,1.265);
  \draw[black] (1.265,0.825) -- (1.595,0.825);
  \draw[blue] (0.990,1.705) .. controls (1.137,1.778) and (1.283,1.778) .. (1.430,1.705);
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.100,1.540) {2};
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,1.540) {9};
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.540,1.540) {0};
  \node[black, anchor=base west, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (2.200,1.540) {13};
  \node[blue, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (2.200,1.210) {2};
  \node[blue, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (2.420,1.210) {2};
  \node[red, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,1.320) {6};
  \node[red, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.100,1.320) {2};
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.540,1.100) {0};
  \node[green!55!black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,1.100) {3};
  \node[red, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.540,0.880) {6};
  \node[red, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,0.880) {2};
  \node[green!55!black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.540,0.605) {4};
\end{tikzpicture}\end{center}


\begin{itemize}
\item[] 290 = 13 \(\times\) 22 + 4 et 4 \(<\) 13
 \item[] 290 = 286 + 4
 \item[] {\color{red}
donc 286 \(<\) 290 \(<\) 299 (286 + 13)}
\end{itemize}

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent{\color{red}\textbf{Exercice 2}}\par

{\color{green!60!black}
           Quel est le plus grand multiple de 13 inférieur à 201 ?
           }

On effectue la division euclidienne de 201 par 13 :

 
\begin{center}\begin{tikzpicture}[line width=0.6pt]
  \draw[gray] (1.540,1.430) -- (1.540,1.320);
  \draw[black] (1.980,1.705) -- (1.980,0.220);
  \draw[black] (1.980,1.430) -- (2.860,1.430);
  \draw[black] (1.045,1.265) -- (1.375,1.265);
  \draw[black] (1.265,0.825) -- (1.595,0.825);
  \draw[blue] (0.990,1.705) .. controls (1.137,1.778) and (1.283,1.778) .. (1.430,1.705);
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.100,1.540) {2};
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,1.540) {0};
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.540,1.540) {1};
  \node[black, anchor=base west, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (2.200,1.540) {13};
  \node[blue, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (2.200,1.210) {1};
  \node[blue, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (2.420,1.210) {5};
  \node[red, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,1.320) {3};
  \node[red, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.100,1.320) {1};
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.540,1.100) {1};
  \node[green!55!black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,1.100) {7};
  \node[red, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.540,0.880) {5};
  \node[red, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,0.880) {6};
  \node[green!55!black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.540,0.605) {6};
\end{tikzpicture}\end{center}


\begin{itemize}
\item[] 201 = 13 \(\times\) 15 + 6 et 6 \(<\) 13
\item[] {\color{red} Le plus grand multiple de 13 inférieur à 201 est donc 13 \(\times\) 15 = 195.}
\end{itemize}

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent{\color{red}\textbf{Exercice 3}}\par

{\color{green!60!black}
            Quel est le plus petit multiple de 26 supérieur à 172 ?
           }

On effectue la division euclidienne de 172 par 26 :

 
\begin{center}\begin{tikzpicture}[line width=0.6pt]
  \draw[black] (1.980,1.265) -- (1.980,0.220);
  \draw[black] (1.980,0.990) -- (2.860,0.990);
  \draw[black] (1.045,0.825) -- (1.595,0.825);
  \draw[blue] (0.990,1.265) .. controls (1.210,1.338) and (1.430,1.338) .. (1.650,1.265);
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.100,1.100) {1};
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,1.100) {7};
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.540,1.100) {2};
  \node[black, anchor=base west, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (2.200,1.100) {26};
  \node[blue, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (2.200,0.770) {6};
  \node[red, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.540,0.880) {6};
  \node[red, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,0.880) {5};
  \node[red, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.100,0.880) {1};
  \node[green!55!black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.540,0.605) {6};
  \node[green!55!black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,0.605) {1};
\end{tikzpicture}\end{center}


\begin{itemize}
\item[] 172 = 26 \(\times\) 6 + 16 et 16 \(<\) 26
\item[] {\color{red} Le plus petit multiple de 26 inférieur à 172 est donc 26 \(\times\) 7 = 182.}
\end{itemize}

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent{\color{red}\textbf{Exercice 4}}\par

{\color{green!60!black}
    Décomposition de  3276 en produit de facteurs premiers :

    
{\color{black}\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.1}
\begin{tabular}{r|l}
3276 & 2\\
1638 & 2\\
819 & 3\\
273 & 3\\
91 & 7\\
13 & 13\\
1 & \\
\end{tabular}\qquad 3276 = 2\textsuperscript{2} $\times$ 3\textsuperscript{2} $\times$ 7 $\times$ 13
\end{center}}

    Décomposition de  3312 en produit de facteurs premiers :

    
{\color{black}\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.1}
\begin{tabular}{r|l}
3312 & 2\\
1656 & 2\\
828 & 2\\
414 & 2\\
207 & 3\\
69 & 3\\
23 & 23\\
1 & \\
\end{tabular}\qquad 3312 = 2\textsuperscript{4} $\times$ 3\textsuperscript{2} $\times$ 23
\end{center}}

\begin{enumerate}
\item {\color{red} Décompositions :
\par\addvspace{.55em}
{\color{green!60!black} 3276 = 2\textsuperscript{2} \(\times\) 3\textsuperscript{2} \(\times\) 7 \(\times\) 13}
\par\addvspace{.55em}
{\color{green!60!black} 3312 = 2\textsuperscript{4} \(\times\) 3\textsuperscript{2} \(\times\) 23}}
\item {\color{red} Calcul du plus petit multiple commun :
\par\addvspace{.55em}
{\color{green!60!black} PPCM(3276;3312) = 2\textsuperscript{4} \(\times\) 3\textsuperscript{2} \(\times\) 7 \(\times\) 13 \(\times\) 23 = 301392}}
\item {\color{red} Calcul du plus grand
         diviseur commun :
\par\addvspace{.55em}
{\color{green!60!black} PGCD(3276;3312) = 2\textsuperscript{2} \(\times\) 3\textsuperscript{2} = 36}}
\item {\color{red} Simplification de la fraction :
\par\addvspace{.55em}

{\color{green!60!black} Si on simplifie une fraction par
         le plus grand diviseur commun à son numérateur
         et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.}

 {\color{green!60!black} d'où \(\dfrac{3276}{3312}\) = \(\dfrac{3276:36}{3312:36}\) = \(\dfrac{91}{92}\) } }
\end{enumerate}
}

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent{\color{red}\textbf{Exercice 5}}\par

{\color{green!60!black}
\begin{enumerate}
\item {\color{red} Les diviseurs :

{\color{green!60!black} 272 : \{ 1; 2; 4; 8; 16; 17; 34; 68; 136; 272 \}
\par\addvspace{.55em}

4275 : \{ 1; 3; 5; 9; 15; 19; 25; 45; 57; 75; 95; 171; 225; 285; 475; 855; 1425; 4275 \}}

}
 \item {\color{red} Les diviseurs communs de 272 et 4275 sont :

{\color{green!60!black}
\{ 1 \}}

 }
\item {\color{red} Le plus grand diviseur commun de 272 et 4275 est :

{\color{green!60!black}
PGCD(272;4275) = 1}

}
 \item {\color{red} Simplification de la fraction :

{\color{green!60!black} Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres
272 et 4275 sont premiers entre eux.}

 {\color{green!60!black} Donc la fraction \(\dfrac{272}{4275}\) est irréductible.}}
\end{enumerate}
}

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent{\color{red}\textbf{Exercice 6}}\par

\begin{enumerate}
\item {\color{red}
        3781 est-il premier ?

{\color{green!60!black}  3781 = 2 \(\times\) 1890 + 1 3781 = 3 \(\times\) 1260 + 1 3781 = 5 \(\times\) 756 + 1 3781 = 7 \(\times\) 540 + 1 3781 = 11 \(\times\) 343 + 8 3781 = 13 \(\times\) 290 + 11 3781 = 17 \(\times\) 222 + 7 3781 = 19 \(\times\) 199 + 0
\par\addvspace{.55em}

            3781 est divisible par 19 donc\emph{  3781 n'est pas un nombre premier}.
            }

}
\item {\color{red}
        1887 est-il premier ?

{\color{green!60!black}

          1+8+8+7 = 24
\par\addvspace{.55em}
 2+4 = 6

{\color{green!60!black} Critère de divisibilité par 3 :
\par\addvspace{.55em}

                     Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
                     .}

                     donc 1887 est divisible par 3.\emph{ donc 1887 n'est pas un nombre premier}.}

}
\item {\color{red}
        491 est-il premier ?

{\color{green!60!black}  491 = 2 \(\times\) 245 + 1 491 = 3 \(\times\) 163 + 2 491 = 5 \(\times\) 98 + 1 491 = 7 \(\times\) 70 + 1 491 = 11 \(\times\) 44 + 7 491 = 13 \(\times\) 37 + 10 491 = 17 \(\times\) 28 + 15 491 = 19 \(\times\) 25 + 16 491 = 23 \(\times\) 21 + 8
\par\addvspace{.55em}

            491 n'a pas d'autres diviseurs que 1 et 491  donc \emph{ 491 est un nombre premier.} }

}
\item {\color{red}
        665 est-il premier ?

{\color{green!60!black}

        665 se termine par un 5, c'est un multiple de 5 donc \emph{665 n'est pas un nombre premier}.}

}

\end{enumerate}
\end{document}
