\documentclass[a4paper,11pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[a4paper,top=3.2cm,bottom=2cm,left=2cm,right=2cm]{geometry}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

\newcommand{\titre}{Arithmétique}
\newcommand{\soustitre}{Cycle 4 --- Fiche n\textdegree 70}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/exercices_arithmetique.php?x=70}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} ARIT0070}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Les 6 exercices d'arithmétique ci-dessous peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? Division euclidienne, multiples, décomposition en facteurs premiers, PPCM, PGCD, fractions irréductibles et nombres premiers : un tour d'horizon complet du programme de cycle 4, utile pour réviser le DNB.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy


{\color{blue}

« Les 6 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »

}

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent{\color{red}\textbf{Exercice 1}}\par

{\color{green!60!black}
    Encadre 814 et 550 par deux multiples consécutifs de 17.
    }

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent{\color{red}\textbf{Exercice 2}}\par

{\color{green!60!black}
        Quel est le plus grand multiple de 17 inférieur à 181 ?
        }

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent{\color{red}\textbf{Exercice 3}}\par

{\color{green!60!black}
        Quel est le plus petit multiple de 6 supérieur à 65 ?
        }

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent{\color{red}\textbf{Exercice 4}}\par

{\color{green!60!black}
\begin{enumerate}
\item Décompose 2457 et 1088 en produit de facteurs premiers.
 \item Déduis leur PPCM (Plus petit multiple commun)
 \item Déduis en leur PGCD (Plus grand diviseur commun)
 \item Simplifie au maximum la fraction :
\par\addvspace{.55em}
\(\dfrac{2457}{1088}\)
\end{enumerate}
}

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent{\color{red}\textbf{Exercice 5}}\par

{\color{green!60!black}
\begin{enumerate}
\item Donne les listes ordonnées des diviseurs de  78 et 549.
 \item Donne la liste ordonnée de leurs diviseurs communs.
 \item Déduis-en le PGCD de 78 et 549.
 \item Simplifie au maximum la fraction :
\par\addvspace{.55em}
\(\dfrac{78}{549}\)
\end{enumerate}
}

"
\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent{\color{red}\textbf{Exercice 6}}\par

{\color{green!60!black} Les nombres suivants sont-ils premiers ? 13384;  5887;  181; 5727 }

 \newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent{\color{red}\textbf{Exercice 1}}\par

{\color{green!60!black}
        Encadre 814 et 550 par deux multiples consécutifs de 17.
        }

On effectue la division euclidienne de 814 par 17 :

 
\begin{center}\begin{tikzpicture}[line width=0.6pt]
  \draw[gray] (1.540,1.430) -- (1.540,1.320);
  \draw[black] (1.980,1.705) -- (1.980,0.220);
  \draw[black] (1.980,1.430) -- (2.860,1.430);
  \draw[black] (1.045,1.265) -- (1.375,1.265);
  \draw[black] (1.045,0.825) -- (1.595,0.825);
  \draw[blue] (0.990,1.705) .. controls (1.137,1.778) and (1.283,1.778) .. (1.430,1.705);
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.100,1.540) {8};
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,1.540) {1};
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.540,1.540) {4};
  \node[black, anchor=base west, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (2.200,1.540) {17};
  \node[blue, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (2.200,1.210) {4};
  \node[blue, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (2.420,1.210) {7};
  \node[red, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,1.320) {8};
  \node[red, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.100,1.320) {6};
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.540,1.100) {4};
  \node[green!55!black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,1.100) {3};
  \node[green!55!black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.100,1.100) {1};
  \node[red, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.540,0.880) {9};
  \node[red, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,0.880) {1};
  \node[red, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.100,0.880) {1};
  \node[green!55!black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.540,0.605) {5};
  \node[green!55!black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,0.605) {1};
\end{tikzpicture}\end{center}


\begin{itemize}
\item[] 814 = 17 \(\times\) 47 + 15 et 15 \(<\) 17
 \item[] 814 = 799 + 15
 \item[] {\color{red}
donc 799 \(<\) 814 \(<\) 816 (799 + 17)}
\end{itemize}

De même:

On effectue la division euclidienne de 550 par 17 :

 
\begin{center}\begin{tikzpicture}[line width=0.6pt]
  \draw[gray] (1.540,1.430) -- (1.540,1.320);
  \draw[black] (1.980,1.705) -- (1.980,0.220);
  \draw[black] (1.980,1.430) -- (2.860,1.430);
  \draw[black] (1.045,1.265) -- (1.375,1.265);
  \draw[black] (1.265,0.825) -- (1.595,0.825);
  \draw[blue] (0.990,1.705) .. controls (1.137,1.778) and (1.283,1.778) .. (1.430,1.705);
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.100,1.540) {5};
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,1.540) {5};
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.540,1.540) {0};
  \node[black, anchor=base west, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (2.200,1.540) {17};
  \node[blue, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (2.200,1.210) {3};
  \node[blue, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (2.420,1.210) {2};
  \node[red, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,1.320) {1};
  \node[red, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.100,1.320) {5};
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.540,1.100) {0};
  \node[green!55!black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,1.100) {4};
  \node[red, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.540,0.880) {4};
  \node[red, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,0.880) {3};
  \node[green!55!black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.540,0.605) {6};
\end{tikzpicture}\end{center}


\begin{itemize}
\item[] 550 = 17 \(\times\) 32 + 6 et 6 \(<\) 17
 \item[] 550 = 544 + 6
 \item[] {\color{red}
donc 544 \(<\) 550 \(<\) 561 (544 + 17)}
\end{itemize}

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent{\color{red}\textbf{Exercice 2}}\par

{\color{green!60!black}
           Quel est le plus grand multiple de 17 inférieur à 181 ?
           }

On effectue la division euclidienne de 181 par 17 :

 
\begin{center}\begin{tikzpicture}[line width=0.6pt]
  \draw[gray] (1.540,1.430) -- (1.540,1.320);
  \draw[black] (1.980,1.705) -- (1.980,0.220);
  \draw[black] (1.980,1.430) -- (2.860,1.430);
  \draw[black] (1.045,1.265) -- (1.375,1.265);
  \draw[black] (1.265,0.825) -- (1.595,0.825);
  \draw[blue] (0.990,1.705) .. controls (1.137,1.778) and (1.283,1.778) .. (1.430,1.705);
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.100,1.540) {1};
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,1.540) {8};
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.540,1.540) {1};
  \node[black, anchor=base west, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (2.200,1.540) {17};
  \node[blue, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (2.200,1.210) {1};
  \node[blue, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (2.420,1.210) {0};
  \node[red, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,1.320) {7};
  \node[red, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.100,1.320) {1};
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.540,1.100) {1};
  \node[green!55!black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,1.100) {1};
  \node[red, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.540,0.880) {0};
  \node[green!55!black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.540,0.605) {1};
  \node[green!55!black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,0.605) {1};
\end{tikzpicture}\end{center}


\begin{itemize}
\item[] 181 = 17 \(\times\) 10 + 11 et 11 \(<\) 17
\item[] {\color{red} Le plus grand multiple de 17 inférieur à 181 est donc 17 \(\times\) 10 = 170.}
\end{itemize}

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent{\color{red}\textbf{Exercice 3}}\par

{\color{green!60!black}
            Quel est le plus petit multiple de 6 supérieur à 65 ?
           }

On effectue la division euclidienne de 65 par 6 :

 
\begin{center}\begin{tikzpicture}[line width=0.6pt]
  \draw[gray] (1.320,1.430) -- (1.320,1.320);
  \draw[black] (1.760,1.705) -- (1.760,0.220);
  \draw[black] (1.760,1.430) -- (2.640,1.430);
  \draw[black] (1.045,1.265) -- (1.155,1.265);
  \draw[black] (1.045,0.825) -- (1.375,0.825);
  \draw[blue] (0.990,1.705) .. controls (1.063,1.778) and (1.137,1.778) .. (1.210,1.705);
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.100,1.540) {6};
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,1.540) {5};
  \node[black, anchor=base west, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.980,1.540) {6};
  \node[blue, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.980,1.210) {1};
  \node[blue, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (2.200,1.210) {0};
  \node[red, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.100,1.320) {6};
  \node[black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,1.100) {5};
  \node[green!55!black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.100,1.100) {0};
  \node[red, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,0.880) {0};
  \node[green!55!black, anchor=base, font=\ttfamily \fontsize{6.3}{7.5}\selectfont] at (1.320,0.605) {5};
\end{tikzpicture}\end{center}


\begin{itemize}
\item[] 65 = 6 \(\times\) 10 + 5 et 5 \(<\) 6
\item[] {\color{red} Le plus petit multiple de 6 inférieur à 65 est donc 6 \(\times\) 11 = 66.}
\end{itemize}

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent{\color{red}\textbf{Exercice 4}}\par

{\color{green!60!black}
    Décomposition de  2457 en produit de facteurs premiers :

    
{\color{black}\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.1}
\begin{tabular}{r|l}
2457 & 3\\
819 & 3\\
273 & 3\\
91 & 7\\
13 & 13\\
1 & \\
\end{tabular}\qquad 2457 = 3\textsuperscript{3} $\times$ 7 $\times$ 13
\end{center}}

    Décomposition de  1088 en produit de facteurs premiers :

    
{\color{black}\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.1}
\begin{tabular}{r|l}
1088 & 2\\
544 & 2\\
272 & 2\\
136 & 2\\
68 & 2\\
34 & 2\\
17 & 17\\
1 & \\
\end{tabular}\qquad 1088 = 2\textsuperscript{6} $\times$ 17
\end{center}}

\begin{enumerate}
\item {\color{red} Décompositions :
\par\addvspace{.55em}
{\color{green!60!black} 2457 = 3\textsuperscript{3} \(\times\) 7 \(\times\) 13}
\par\addvspace{.55em}
{\color{green!60!black} 1088 = 2\textsuperscript{6} \(\times\) 17}}
\item {\color{red} Calcul du plus petit multiple commun :
\par\addvspace{.55em}
{\color{green!60!black} PPCM(2457;1088) = 2\textsuperscript{6} \(\times\) 3\textsuperscript{3} \(\times\) 7 \(\times\) 13 \(\times\) 17 = 2673216}}
\item {\color{red} Calcul du plus grand
         diviseur commun :
\par\addvspace{.55em}
{\color{green!60!black} PGCD(2457,1088) =  1}}
 \item {\color{red} Simplification de la fraction :
\par\addvspace{.55em}
 {\color{green!60!black} Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres
2457 et 1088 sont premiers entre eux.
\par\addvspace{.55em}

         Donc la fraction \(\dfrac{2457}{1088}\) est irréductible.}}
\end{enumerate}
}

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent{\color{red}\textbf{Exercice 5}}\par

{\color{green!60!black}
\begin{enumerate}
\item {\color{red} Les diviseurs :

{\color{green!60!black} 78 : \{ 1; 2; 3; 6; 13; 26; 39; 78 \}
\par\addvspace{.55em}

549 : \{ 1; 3; 9; 61; 183; 549 \}}

}
 \item {\color{red} Les diviseurs communs de 78 et 549 sont :

{\color{green!60!black}
\{ 1; 3 \}}

 }
\item {\color{red} Le plus grand diviseur commun de 78 et 549 est :

{\color{green!60!black}
PGCD(78;549) = 3}

}
 \item {\color{red} Simplification de la fraction :

{\color{green!60!black} Si on simplifie une fraction par
                 le plus grand diviseur commun à son numérateur
                 et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.}

 {\color{green!60!black} d'où \(\dfrac{78}{549}\) = \(\dfrac{78:3}{549:3}\) = \(\dfrac{26}{183}\) } }
\end{enumerate}
}

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent{\color{red}\textbf{Exercice 6}}\par

\begin{enumerate}
\item {\color{red}
        13384 est-il premier ?

{\color{green!60!black}

        13384 est pair donc \emph{13384 n'est pas un nombre premier}.}

}

\item {\color{red}
        5887 est-il premier ?

{\color{green!60!black}  5887 = 2 \(\times\) 2943 + 1 5887 = 3 \(\times\) 1962 + 1 5887 = 5 \(\times\) 1177 + 2 5887 = 7 \(\times\) 841 + 0
\par\addvspace{.55em}

            5887 est divisible par 7 donc\emph{  5887 n'est pas un nombre premier}.
            }

}
\item {\color{red}
        181 est-il premier ?

{\color{green!60!black}  181 = 2 \(\times\) 90 + 1 181 = 3 \(\times\) 60 + 1 181 = 5 \(\times\) 36 + 1 181 = 7 \(\times\) 25 + 6 181 = 11 \(\times\) 16 + 5 181 = 13 \(\times\) 13 + 12 181 = 17 \(\times\) 10 + 11
\par\addvspace{.55em}

            181 n'a pas d'autres diviseurs que 1 et 181  donc \emph{ 181 est un nombre premier.} }

}
\item {\color{red}
        5727 est-il premier ?

{\color{green!60!black}

          5+7+2+7 = 21
\par\addvspace{.55em}
 2+1 = 3

{\color{green!60!black} Critère de divisibilité par 3 :
\par\addvspace{.55em}

                     Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
                     .}

                     donc 5727 est divisible par 3.\emph{ donc 5727 n'est pas un nombre premier}.}

}
\end{enumerate}
\end{document}
