\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
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% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
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\usepackage{multicol}
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\usepackage{needspace}
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\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
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        postaction={decorate},
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            text along path,
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    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

\newcommand{\titre}{Équations}
\newcommand{\soustitre}{Cycle 4 --- Fiche n\textdegree 122}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
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    \logowouf
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    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EQUA0122}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Les 5 exercices ci-dessous balaient les équations au cycle 4 : vérifier qu'un nombre est solution, résoudre une équation du premier degré, traiter le cas où l'inconnue figure des deux côtés du signe égal, mettre un problème en équation, et résoudre une équation produit nul ou du type x² = k. La mise en équation d'un problème tombe presque chaque année au DNB.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 1 — Tester une solution}}
\noindent On considère l'équation \textbf{5x \(-\) 3 = 4x \(-\) 1}.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Le nombre \textbf{\(-\)1} est-il solution de cette équation ? Justifier par un calcul.
  \item Même question pour \textbf{2}.
  \item Que peut-on en conclure ?
\end{enumerate}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 2 — Résoudre une équation du premier degré}}
\noindent Résoudre chacune des équations suivantes. \textbf{Détailler les étapes} et vérifier la solution trouvée.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item 5x + 11 = 1
  \item \(-\)4x \(-\) 12 = \(-\)48
  \item \(-\)2x + 2 = \(-\)8
\end{enumerate}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 3 — L'inconnue des deux côtés}}
\noindent Résoudre chacune des équations suivantes, dans lesquelles l'inconnue figure \textbf{dans les deux membres}.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item 8x + 6 = 5x + 18
  \item 7x + 10 = \(-\)2x \(-\) 26
  \item 3x \(-\) 11 = 6x \(-\) 32
\end{enumerate}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 4 — Mettre un problème en équation}}
\noindent Lire l'énoncé, choisir l'inconnue, puis répondre aux questions.\par\addvspace{0.45em}
\noindent Un élève déclare : « Je pense à un nombre, je le multiplie par \textbf{6}, j'ajoute \textbf{20}, puis je multiplie le tout par \textbf{5}. J'obtiens \textbf{250}. »\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Traduire ce programme de calcul par une équation.
  \item Résoudre l'équation pour retrouver le nombre pensé.
  \item Vérifier la réponse en appliquant le programme de calcul.
\end{enumerate}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 5 — Équation produit nul et carrés}}
\noindent Résoudre les équations suivantes. \textbf{Justifier} en citant la propriété utilisée.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item (x + 4) \(\times\) (x + 3) = 0
  \item x\textsuperscript{2} = 100
  \item x\textsuperscript{2} = \(-\)100
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 1 — Correction}}
\noindent{\color{green!45!black}Pour \textbf{tester} si un nombre est solution, on remplace x par ce nombre dans \textbf{chaque membre séparément}, on calcule les deux résultats, puis on les compare. On ne résout rien : c'est une simple vérification.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{1.} On remplace x par \(-\)1 :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}Membre de gauche : 5x \(-\) 3 = 5 \(\times\) (\(-\)1) \(-\) 3 = \(-\)8\par\addvspace{0.3em}
\noindent\hspace{1.2em}Membre de droite : 4x \(-\) 1 = 4 \(\times\) (\(-\)1) \(-\) 1 = \(-\)5\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les deux membres ne sont pas égaux (\(-\)8 \(\neq\) \(-\)5) : \(-\)1 n'est pas solution de l'équation.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.} On remplace x par 2 :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}Membre de gauche : 5x \(-\) 3 = 5 \(\times\) 2 \(-\) 3 = 7\par\addvspace{0.3em}
\noindent\hspace{1.2em}Membre de droite : 4x \(-\) 1 = 4 \(\times\) 2 \(-\) 1 = 7\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les deux membres sont égaux (7 = 7) : 2 est solution de l'équation.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Parmi les deux nombres testés, seul \textbf{2} est solution de l'équation.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Attention :} avoir trouvé une solution ne prouve pas qu'il n'y en a pas d'autres. Ici l'équation est du premier degré, donc elle en admet exactement une — mais c'est la \textbf{résolution}, pas le test, qui le démontre.}\par\addvspace{0.4em}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 2 — Correction}}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Méthode.} On isole x en deux temps : d'abord on fait passer le terme constant de l'autre côté (en lui changeant de signe), puis on divise les deux membres par le coefficient de x. Tout ce qu'on fait à un membre, on le fait à l'autre.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{1.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}5x + 11 = 1\par\addvspace{0.3em}
\noindent\hspace{1.2em}5x = 1 \(-\) 11\par\addvspace{0.3em}
\noindent\hspace{1.2em}5x = \(-\)10\par\addvspace{0.3em}
\noindent\hspace{1.2em}x = \(\dfrac{-10}{5}\)\par\addvspace{0.3em}
\noindent\hspace{1.2em}x = \(-\)2\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries La solution est \(-\)2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : 5 \(\times\) (\(-\)2) + 11 = 1 \(\checkmark\)\par\addvspace{0.3em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}\(-\)4x \(-\) 12 = \(-\)48\par\addvspace{0.3em}
\noindent\hspace{1.2em}\(-\)4x = \(-\)48 + 12\par\addvspace{0.3em}
\noindent\hspace{1.2em}\(-\)4x = \(-\)36\par\addvspace{0.3em}
\noindent\hspace{1.2em}x = \(\dfrac{36}{4}\)\par\addvspace{0.3em}
\noindent\hspace{1.2em}x = 9\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries La solution est 9.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : \(-\)4 \(\times\) 9 \(-\) 12 = \(-\)48 \(\checkmark\)\par\addvspace{0.3em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}\(-\)2x + 2 = \(-\)8\par\addvspace{0.3em}
\noindent\hspace{1.2em}\(-\)2x = \(-\)8 \(-\) 2\par\addvspace{0.3em}
\noindent\hspace{1.2em}\(-\)2x = \(-\)10\par\addvspace{0.3em}
\noindent\hspace{1.2em}x = \(\dfrac{10}{2}\)\par\addvspace{0.3em}
\noindent\hspace{1.2em}x = 5\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries La solution est 5.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : \(-\)2 \(\times\) 5 + 2 = \(-\)8 \(\checkmark\)\par\addvspace{0.3em}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 3 — Correction}}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Méthode.} On regroupe les termes en x d'un côté et les nombres de l'autre. Un terme qui change de membre \textbf{change de signe}. On termine comme une équation ordinaire, par une division.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{1.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}8x + 6 = 5x + 18\par\addvspace{0.3em}
\noindent\hspace{1.2em}8x \(-\) 5x = 18 \(-\) 6\par\addvspace{0.3em}
\noindent\hspace{1.2em}3x = 12\par\addvspace{0.3em}
\noindent\hspace{1.2em}x = \(\dfrac{12}{3}\)\par\addvspace{0.3em}
\noindent\hspace{1.2em}x = 4\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries La solution est 4.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : à gauche 8 \(\times\) 4 + 6 = 38, à droite 5 \(\times\) 4 + 18 = 38 \(\checkmark\)\par\addvspace{0.3em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}7x + 10 = \(-\)2x \(-\) 26\par\addvspace{0.3em}
\noindent\hspace{1.2em}7x + 2x = \(-\)26 \(-\) 10\par\addvspace{0.3em}
\noindent\hspace{1.2em}9x = \(-\)36\par\addvspace{0.3em}
\noindent\hspace{1.2em}x = \(\dfrac{-36}{9}\)\par\addvspace{0.3em}
\noindent\hspace{1.2em}x = \(-\)4\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries La solution est \(-\)4.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : à gauche 7 \(\times\) (\(-\)4) + 10 = \(-\)18, à droite \(-\)2 \(\times\) (\(-\)4) \(-\) 26 = \(-\)18 \(\checkmark\)\par\addvspace{0.3em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}3x \(-\) 11 = 6x \(-\) 32\par\addvspace{0.3em}
\noindent\hspace{1.2em}3x \(-\) 6x = \(-\)32 + 11\par\addvspace{0.3em}
\noindent\hspace{1.2em}\(-\)3x = \(-\)21\par\addvspace{0.3em}
\noindent\hspace{1.2em}x = \(\dfrac{21}{3}\)\par\addvspace{0.3em}
\noindent\hspace{1.2em}x = 7\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries La solution est 7.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : à gauche 3 \(\times\) 7 \(-\) 11 = 10, à droite 6 \(\times\) 7 \(-\) 32 = 10 \(\checkmark\)\par\addvspace{0.3em}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 4 — Correction}}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Méthode en trois temps.} (1) On nomme l'inconnue et on précise ce qu'elle représente, \textbf{avec son unité}. (2) On traduit l'énoncé par une égalité. (3) On résout, puis on \textbf{revient à la question posée} : la solution de l'équation n'est pas toujours la réponse attendue.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{1.} On appelle x le \textbf{nombre pensé}.\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}(6x + 20) \(\times\) 5 = 250\par\addvspace{0.3em}
\noindent \textbf{2.} On résout :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}6x + 20 = \(\dfrac{250}{5}\) = 50\par\addvspace{0.3em}
\noindent\hspace{1.2em}6x = 50 \(-\) 20\par\addvspace{0.3em}
\noindent\hspace{1.2em}6x = 30\par\addvspace{0.3em}
\noindent\hspace{1.2em}x = \(\dfrac{30}{6}\) = 5\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Le nombre pensé est 5.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.} Vérification, en appliquant le programme :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}5 \(\times\) 6 = 30 ; 30 + 20 = 50 ; 50 \(\times\) 5 = 250 \(\checkmark\)\par\addvspace{0.3em}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 5 — Correction}}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Propriété du produit nul.} Un produit de facteurs est nul \textbf{si et seulement si} l'un au moins de ses facteurs est nul. On traite donc chaque facteur séparément.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{1.} Le produit est nul, donc l'un des deux facteurs est nul :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}x + 4 = 0   ou   x + 3 = 0\par\addvspace{0.3em}
\noindent\hspace{1.2em}x = \(-\)4   ou   x = \(-\)3\par\addvspace{0.3em}
\noindent\hspace{1.2em}x = \(-\)4   ou   x = \(-\)3\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries L'équation admet \textbf{deux solutions} : \(-\)4 et \(-\)3.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Équation x\textsuperscript{2} = k.} Si k > 0, elle a \textbf{deux} solutions opposées, \(\sqrt{\,}\)k et \(-\)\(\sqrt{\,}\)k. Si k = 0, une seule : 0. Si k < 0, \textbf{aucune} solution, car un carré n'est jamais négatif.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.} Ici 100 > 0, et 100 = 10\textsuperscript{2} :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}x = 10   ou   x = \(-\)10\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les solutions sont 10 et \(-\)10.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.} Ici \(-\)100 < 0 :\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries L'équation x\textsuperscript{2} = \(-\)100 \textbf{n'a aucune solution}, car le carré d'un nombre est toujours positif ou nul.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Erreur classique :} ne donner qu'une seule solution à x\textsuperscript{2} = 100. Il y en a bien \textbf{deux}, 10 et \(-\)10, puisque (\(-\)10)\textsuperscript{2} = 100 aussi.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
