\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage{enumitem}
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\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
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}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
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\usepackage{multicol}
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\usepackage{needspace}
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\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
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\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

\newcommand{\titre}{Grandeurs et mesures}
\newcommand{\soustitre}{Cycle 4 --- Fiche n\textdegree 283}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
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    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/exercices_grandeurs.php?x=283}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} GRAN0283}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Les 5 exercices ci-dessous balaient les grandeurs et mesures au cycle 4 : calculer un périmètre, une aire, traiter une figure composée, calculer le volume d'un solide usuel, et convertir des unités d'aire et de volume. Chaque figure est dessinée ; les réponses sont attendues avec leur unité.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 1 — Périmètres}}
\noindent Calculer le périmètre de chacune des deux figures. \textbf{Préciser l'unité} de chaque résultat.\par\addvspace{0.45em}
\noindent \textbf{Figure 1 — un rectangle}\par\addvspace{0.35em}
\needspace{6\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8264, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (2.27,1.45) -- (7.87,1.45) -- (7.87,4.863) -- (2.27,4.863) -- cycle;
\draw[line width=0.4pt] (2.69,1.45) -- (2.69,1.87) -- (2.27,1.87);
\node at (5.07,0.95) {\scalebox{1.21}{\small 6 cm}};
\node[left] at (1.92,3.157) {\scalebox{1.21}{\small 4 cm}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Figure 2 — un cercle}\par\addvspace{0.35em}
\needspace{6\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8591, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (2.8,2.8) circle (2.2);
\draw[line width=0.5pt] (2.8,2.8) -- (5.0,2.8);
\node at (3.9,3.8) {\scalebox{1.164}{\small r = 7 cm}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
  \item Calculer le \textbf{périmètre du rectangle}, en cm.
  \item Calculer le \textbf{périmètre du cercle}, en cm : donner la valeur exacte (en fonction de \(\pi\)) puis la valeur arrondie au dixième.
\end{enumerate}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 2 — Aires}}
\noindent Calculer l'aire de chacune des deux figures, \textbf{en cm\textsuperscript{2}}.\par\addvspace{0.45em}
\noindent \textbf{Figure 1 — un rectangle}\par\addvspace{0.35em}
\needspace{6\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7667, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (2.93,1.45) -- (8.53,1.45) -- (8.53,4.65) -- (2.93,4.65) -- cycle;
\draw[line width=0.4pt] (3.35,1.45) -- (3.35,1.87) -- (2.93,1.87);
\node at (5.73,0.95) {\scalebox{1.304}{\small 12 cm}};
\node[left] at (2.58,3.05) {\scalebox{1.304}{\small 7,5 cm}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Figure 2 — un trapèze}\par\addvspace{0.35em}
\needspace{6\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7794, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (2.34,1.45) -- (7.74,1.45) -- (5.84,4.25) -- (3.44,4.25) -- cycle;
\draw[line width=0.5pt, dashed] (3.44,4.25) -- (3.44,1.45);
\draw[line width=0.4pt] (3.86,1.45) -- (3.86,1.87) -- (3.44,1.87);
\node at (5.04,0.95) {\scalebox{1.283}{\small B = 9 cm}};
\node at (4.64,4.7) {\scalebox{1.283}{\small b = 4 cm}};
\node[left] at (3.24,2.85) {\scalebox{1.283}{\small h = 5 cm}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
  \item Calculer l'aire du rectangle, en cm\textsuperscript{2}.
  \item Calculer l'aire d'un trapèze, en cm\textsuperscript{2}.
\end{enumerate}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 3 — Figure composée}}
\noindent La figure coloriée ci-dessous est obtenue en \textbf{retirant un petit rectangle} au coin supérieur droit d'un grand rectangle.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{6\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8048, line join=round, line cap=round]
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (2.17,1.45) -- (7.77,1.45) -- (7.77,3.717) -- (4.97,3.717) -- (4.97,4.85) -- (2.17,4.85) -- cycle;
\node at (4.97,0.95) {\scalebox{1.243}{\small 10 cm}};
\node[left] at (1.92,3.15) {\scalebox{1.243}{\small 6 cm}};
\node at (6.37,5.3) {\scalebox{1.243}{\small 5 cm}};
\node[right] at (8.02,4.283) {\scalebox{1.243}{\small 2 cm}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
  \item Calculer l'\textbf{aire} de la figure coloriée, en cm\textsuperscript{2}.
  \item Calculer son \textbf{périmètre}, en cm.
  \item L'aire de la figure est-elle égale à celle du grand rectangle ? Et son périmètre ? Justifier.
\end{enumerate}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 4 — Volume}}
\noindent Le solide ci-dessous est \textbf{un cylindre de révolution}.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{6\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8951, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (0.6,1.15) -- (0.6,4.55);
\draw[line width=0.5pt] (4.0,1.15) -- (4.0,4.55);
\draw[line width=0.5pt] (2.3,4.55) ellipse (1.7 and 0.55);
\draw[line width=0.5pt] (0.6,1.15) arc (180:360:1.7 and 0.55);
\draw[line width=0.5pt, dashed] (4.0,1.15) arc (0:180:1.7 and 0.55);
\draw[line width=0.5pt] (2.3,4.55) -- (4.0,4.55);
\node[right] at (4.2,4.9) {\scalebox{1.117}{\small r = 6 cm}};
\node[right] at (4.25,2.85) {\scalebox{1.117}{\small h = 15 cm}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
  \item Calculer son \textbf{volume}, en cm\textsuperscript{3}. Donner la valeur exacte puis la valeur arrondie au dixième.
  \item Convertir ce volume en \textbf{litres} (1 L = 1 000 cm\textsuperscript{3}).
  \item Si l'on \textbf{double la hauteur}, par combien le volume est-il multiplié ? Justifier sans tout recalculer.
\end{enumerate}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 5 — Conversions et problème}}
\noindent \textbf{A.} Compléter les conversions suivantes.\par\addvspace{0.45em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Grandeur & \cellcolor{blue!7}\bfseries Valeur & \cellcolor{blue!7}\bfseries à convertir en & \cellcolor{blue!7}\bfseries Résultat \\ \hline
Aire & 1,8 m\textsuperscript{2} & cm\textsuperscript{2} & \dots{} \\ \hline
Aire & 180 dm\textsuperscript{2} & m\textsuperscript{2} & \dots{} \\ \hline
Volume & 4,5 dm\textsuperscript{3} & cm\textsuperscript{3} & \dots{} \\ \hline
Volume & 4~500~000 mm\textsuperscript{3} & cm\textsuperscript{3} & \dots{} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent \textbf{B.} Résoudre le problème suivant.\par\addvspace{0.45em}
\noindent Un bassin a la forme d'un pavé droit de \textbf{10 m} de long, \textbf{4 m} de large et \textbf{1,2 m} de profondeur.\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Calculer son \textbf{volume}, en m\textsuperscript{3}.
  \item Convertir ce volume en \textbf{litres} (1 m\textsuperscript{3} = 1 000 L).
  \item Un tuyau débite \textbf{250 L par minute}. Combien de temps faut-il pour le remplir ? (réponse en heures et minutes)
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 1 — Correction}}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Périmètre d'un rectangle} : P = 2 \(\times\) (Longueur + largeur). \textbf{Périmètre d'un cercle} (ou circonférence) : P = 2 \(\times\) \(\pi\) \(\times\) r, où r est le rayon — soit aussi P = \(\pi\) \(\times\) d avec d le diamètre.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{1.} Rectangle :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}P = 2 \(\times\) (6 + 4) = 2 \(\times\) 10 = 20\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Le périmètre du rectangle est de 20 cm.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.} Cercle :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}P = 2 \(\times\) \(\pi\) \(\times\) 7 = 14\(\pi\)\par\addvspace{0.3em}
\noindent\hspace{1.2em}P \(\approx\) 14 \(\times\) 3,14 \(\approx\) 44\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Le périmètre du cercle vaut exactement 14\(\pi\) cm, soit environ 44 cm.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Attention :} un périmètre est une \textbf{longueur}, il s'exprime en cm, m, km — jamais en cm\textsuperscript{2}. Et on ne confond pas le \textbf{rayon} avec le \textbf{diamètre} : le diamètre vaut deux fois le rayon.}\par\addvspace{0.4em}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 2 — Correction}}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Aire d'un rectangle} : A = Longueur \(\times\) largeur. \textbf{Aire d'un trapèze} : A = (grande base + petite base) \(\times\) hauteur \(\div\) 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{1.} Rectangle :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}A = 12 \(\times\) 7,5 = 90\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries L'aire du rectangle est de 90 cm\textsuperscript{2}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.} Un trapèze — on applique A = \(\dfrac{\text{(B + b) \(\times\) h}}{2}\) :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}A = \(\dfrac{(9 + 4) \times  5}{2}\) = \(\dfrac{13 \times  5}{2}\) = 32,5\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries L'aire d'un trapèze est de 32,5 cm\textsuperscript{2}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Ne pas confondre aire et périmètre.} Le périmètre est une longueur (cm), l'aire une surface (cm\textsuperscript{2}). Deux figures peuvent avoir le même périmètre et des aires différentes.}\par\addvspace{0.4em}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 3 — Correction}}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Méthode.} Pour une figure composée, on la \textbf{décompose} en figures usuelles : ici, un grand rectangle \textbf{moins} un petit. On additionne ou on soustrait les aires.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{1.} Aire du grand rectangle, puis du morceau retiré :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}Grand rectangle : 10 \(\times\) 6 = 60 cm\textsuperscript{2}\par\addvspace{0.3em}
\noindent\hspace{1.2em}Rectangle retiré : 5 \(\times\) 2 = 10 cm\textsuperscript{2}\par\addvspace{0.3em}
\noindent\hspace{1.2em}Aire coloriée : 60 \(-\) 10 = 50\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries L'aire de la figure coloriée est de 50 cm\textsuperscript{2}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.} Périmètre : on parcourt le contour. Les deux segments de la découpe « remplacent » exactement les portions retirées :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}P = 10 + 4 + 5 + 2 + 5 + 6 = 32\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Le périmètre de la figure coloriée est de 32 cm.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries L'\textbf{aire} a diminué (50 cm\textsuperscript{2} au lieu de 60 cm\textsuperscript{2}), mais le \textbf{périmètre est le même} que celui du grand rectangle (32 cm).}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{C'est le point intéressant de l'exercice :} en découpant un coin, on retire de la surface sans changer le tour. Les deux côtés du coin enlevé sont remplacés par deux segments de mêmes longueurs, décalés. Aire et périmètre sont bien deux grandeurs \textbf{indépendantes}.}\par\addvspace{0.4em}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 4 — Correction}}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Volume d'un cylindre de révolution} : V = \(\pi\) \(\times\) r\textsuperscript{2} \(\times\) h. Des longueurs en cm donnent un volume en cm\textsuperscript{3}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{1.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}V = \(\pi\) \(\times\) 6\textsuperscript{2} \(\times\) 15 = 540\(\pi\) \(\approx\) 1696,5\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Le volume vaut exactement 540\(\pi\) cm\textsuperscript{3}, soit environ 1696,5 cm\textsuperscript{3}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.} On divise par 1 000 :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}1696,5 \(\div\) 1 000 \(\approx\) 1,696\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Cela représente environ 1,696 L.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Le volume est \textbf{multiplié par 2}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}La hauteur intervient \textbf{une seule fois} dans la formule, et de façon multiplicative : la doubler double le volume. En revanche, doubler le \textbf{rayon} d'un cylindre multiplierait le volume par \textbf{4}, puisque le rayon y est élevé au carré.}\par\addvspace{0.4em}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 5 — Correction}}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Unités d'aire :} on passe d'une unité à la suivante en multipliant ou divisant par \textbf{100} (et non par 10) : 1 m\textsuperscript{2} = 100 dm\textsuperscript{2} = 10 000 cm\textsuperscript{2}. \textbf{Unités de volume :} le facteur est \textbf{1 000} : 1 dm\textsuperscript{3} = 1 000 cm\textsuperscript{3}, et 1 dm\textsuperscript{3} = 1 L.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{A.} Conversions :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Grandeur & \cellcolor{blue!7}\bfseries Valeur & \cellcolor{blue!7}\bfseries à convertir en & \cellcolor{blue!7}\bfseries Résultat \\ \hline
Aire & 1,8 m\textsuperscript{2} & cm\textsuperscript{2} & \colorbox{yellow!35}{18~000 cm\textsuperscript{2}} \\ \hline
Aire & 180 dm\textsuperscript{2} & m\textsuperscript{2} & \colorbox{yellow!35}{1,8 m\textsuperscript{2}} \\ \hline
Volume & 4,5 dm\textsuperscript{3} & cm\textsuperscript{3} & \colorbox{yellow!35}{4500 cm\textsuperscript{3}} \\ \hline
Volume & 4~500~000 mm\textsuperscript{3} & cm\textsuperscript{3} & \colorbox{yellow!35}{4500 cm\textsuperscript{3}} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Erreur classique :} appliquer le facteur 10 des longueurs aux aires et aux volumes. Un carré de 1 m de côté mesure 100 cm de côté, donc son aire vaut 100 \(\times\) 100 = \textbf{10 000} cm\textsuperscript{2}, pas 100 cm\textsuperscript{2}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{B.} Problème :\par\addvspace{0.35em}
\noindent \textbf{1.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}V = 10 \(\times\) 4 \(\times\) 1,2 = 48\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Le volume du bassin est de 48 m\textsuperscript{3}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}48 \(\times\) 1 000 = 48~000\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Cela représente 48~000 L.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}\(\dfrac{48\,000}{250}\) = 192 min\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Il faut environ 192 minutes, soit à peu près 3 h 12 min.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
