\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
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\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

\newcommand{\titre}{Probabilités}
\newcommand{\soustitre}{Cycle 4 --- Fiche n\textdegree 330}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/exercices_probabilites.php?x=330}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} PROB0330}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\sloppy


{\color{green!60!black}
    Dans les exercices qui suivent,on donnera les réponses sous 3 formes :
    Une fraction irréductible, une valeur décimale arrondi aux centièmes, et un pourcentage (arrondi à l'unité). }

\needspace{4\baselineskip}
\section*{Exercice 1}

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent\textbf{Première Partie}\par

Dans un jeu de 52 cartes, quelle est la probabilité de tirer :

\begin{itemize}
\item Le CINQ de PIQUE ?
\item Un PIQUE ?
\item Un CINQ ?
\end{itemize}

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent\textbf{Deuxième partie}\par

On ajoute deux jokers dans le jeu. Ces jokers peuvent remplacer n'importe quelle carte. Reprendre les 3 questions précedentes.

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent\textbf{Troisième partie}\par

On dispose à nouveau d'un jeu de 52 cartes classique, sans joker. Gérard et Aimée jouent ensemble avec les règles suivantes :

L'ordre des cartes est celui de la bataille (AS-ROI-DAME-VALET-DIX-NEUF-HUIT etc.) Les joueurs tirent une carte, le gagnant est celui qui a la
     carte la plus forte. (Une égalité est possible).

Gérard vient de tirer Le SEPT de COEUR. A votre avis qui va gagner ? Ne répondez qu'après avoir calculé 3 probabilités :

\begin{itemize}
\item La probabilité que Gérard gagne
 \item  La probabilité que Aimée gagne
 \item  La probabilité de match nul
\end{itemize}

\needspace{4\baselineskip}
\section*{
Exercice 2}

Une urne contient 4 boules noires (N), 5 boules vertes (V) et 8 boules dorées (D) indiscernables au toucher.

On tire successivement et sans remise deux boules

\begin{itemize}
 \item Construire l'arbre des probabilités décrivant cette expérience aléatoire.
 \item  Quelle est la probabilité que la première boule tirée soit noire ?
 \item  Quelle est la probabilité de tirer un boule verte puis une dorée   ?
 \item  Quelle est la probabilité de finir en tirant une boule verte ?
\end{itemize}

\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}

\needspace{4\baselineskip}
\subsection*{Exercice 1}

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent\textbf{Première partie}\par

{\color{red}
En cas d'équiprobabilité, une probabilité se calcule avec la formule :
\(\dfrac{\text{Nombre d'issues favorables}}{\text{Nombres d'issues possibles}}\) }

\begin{itemize}
\item P(CINQ de PIQUE) = \(\dfrac{1}{52}\)  \(\approx\) 0{,}02 (Soit environ 2 \%)
\item P(PIQUE) = \(\dfrac{13}{52}\)  = \(\dfrac{1}{4}\)  = 0{,}25 (Soit 25 \%)
\item P(CINQ) = \(\dfrac{4}{52}\)  = \(\dfrac{1}{13}\)  \(\approx\) 0{,}08 (Soit environ 8 \%)
\end{itemize}

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent\textbf{Deuxième partie}\par

\begin{itemize}
\item P(CINQ de PIQUE) = \(\dfrac{3}{54}\)  = \(\dfrac{1}{18}\)  \(\approx\) 0{,}06 (Soit environ 6 \%)
\item P(PIQUE) = \(\dfrac{15}{54}\)  = \(\dfrac{5}{18}\)  \(\approx\) 0{,}28 (Soit environ 28 \%)
\item P(CINQ) = \(\dfrac{6}{54}\)  = \(\dfrac{1}{9}\)  \(\approx\) 0{,}11 (Soit environ 11 \%)
\end{itemize}

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent\textbf{Troisième partie}\par

 Gérard qui vient de piocher Le SEPT de COEUR, gagne si Aimée tire :

\begin{itemize}
\item L'un des quatre DEUX.
\item L'un des quatre TROIS.
\item L'un des quatre QUATRE.
\item L'un des quatre CINQ.
\item L'un des quatre SIX.
\end{itemize}

P(Gérard gagne) = \(\dfrac{20}{51}\)  \(\approx\) 0{,}39 (Soit environ 39 \%)

De même P(Aimée gagne) = \(\dfrac{28}{51}\)  \(\approx\) 0{,}55 (Soit environ 55 \%)

et P(Match nul) = \(\dfrac{3}{51}\)  = \(\dfrac{1}{17}\)  \(\approx\) 0{,}06 (Soit environ 6 \%)


\newpage

\needspace{4\baselineskip}
\subsection*{
Exercice 2}


\begin{center}\begin{tikzpicture}[line width=0.6pt]
  \draw[gray] (5.955,7.725) -- (0.322,4.828);
  \draw[gray] (5.955,4.828) -- (0.322,4.828);
  \draw[gray] (5.955,1.931) -- (0.322,4.828);
  \draw[gray] (12.393,8.691) -- (7.146,7.725);
  \draw[gray] (12.393,7.725) -- (7.146,7.725);
  \draw[gray] (12.393,6.760) -- (7.146,7.725);
  \draw[gray] (12.393,5.794) -- (7.146,4.828);
  \draw[gray] (12.393,4.828) -- (7.146,4.828);
  \draw[gray] (12.393,3.863) -- (7.146,4.828);
  \draw[gray] (12.393,2.897) -- (7.146,1.931);
  \draw[gray] (12.393,1.931) -- (7.146,1.931);
  \draw[gray] (12.393,0.966) -- (7.146,1.931);
  \node[black, anchor=base west, font=\fontsize{22.0}{26.4}\selectfont] at (6.438,7.725) {N};
  \node[black, anchor=base west, font=\fontsize{22.0}{26.4}\selectfont] at (6.438,4.828) {V};
  \node[black, anchor=base west, font=\fontsize{22.0}{26.4}\selectfont] at (6.438,1.931) {D};
  \node[black, anchor=base west, font=\fontsize{22.0}{26.4}\selectfont] at (12.876,8.691) {N};
  \node[black, anchor=base west, font=\fontsize{22.0}{26.4}\selectfont] at (12.876,7.725) {V};
  \node[black, anchor=base west, font=\fontsize{22.0}{26.4}\selectfont] at (12.876,6.760) {D};
  \node[black, anchor=base west, font=\fontsize{22.0}{26.4}\selectfont] at (12.876,5.794) {N};
  \node[black, anchor=base west, font=\fontsize{22.0}{26.4}\selectfont] at (12.876,4.828) {V};
  \node[black, anchor=base west, font=\fontsize{22.0}{26.4}\selectfont] at (12.876,3.863) {D};
  \node[black, anchor=base west, font=\fontsize{22.0}{26.4}\selectfont] at (12.876,2.897) {N};
  \node[black, anchor=base west, font=\fontsize{22.0}{26.4}\selectfont] at (12.876,1.931) {V};
  \node[black, anchor=base west, font=\fontsize{22.0}{26.4}\selectfont] at (12.876,0.966) {D};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{11.0}{13.2}\selectfont] at (3.122,6.277) {4/17};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{11.0}{13.2}\selectfont] at (3.122,4.828) {5/17};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{11.0}{13.2}\selectfont] at (3.122,3.380) {8/17};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{11.0}{13.2}\selectfont] at (9.753,8.208) {3/16};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{11.0}{13.2}\selectfont] at (9.753,7.725) {5/16};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{11.0}{13.2}\selectfont] at (9.753,7.242) {8/16};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{11.0}{13.2}\selectfont] at (9.753,5.311) {4/16};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{11.0}{13.2}\selectfont] at (9.753,4.828) {4/16};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{11.0}{13.2}\selectfont] at (9.753,4.345) {8/16};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{11.0}{13.2}\selectfont] at (9.753,2.414) {4/16};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{11.0}{13.2}\selectfont] at (9.753,1.931) {5/16};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{11.0}{13.2}\selectfont] at (9.753,1.448) {7/16};
\end{tikzpicture}\end{center}


\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent\textbf{La première boule tirée est  noire:}\par
P(N) = \(\dfrac{4}{17}\)  \(\approx\) 0{,}24 (Soit environ 24 \%)
\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent\textbf{La première boule tirée est  verte, la deuxième est dorée :}\par
P(V;D) = \(\dfrac{5}{17}\)
     \(\times\) \(\dfrac{8}{16}\)
     = \(\dfrac{40}{272}\)  = \(\dfrac{5}{34}\)  \(\approx\) 0{,}15 (Soit environ 15 \%)
\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent\textbf{La deuxième boule tirée est  verte:}\par
P(?;V) = \(\dfrac{4}{17}\)
     \(\times\) \(\dfrac{5}{16}\)
     + \(\dfrac{5}{17}\)
     \(\times\) \(\dfrac{4}{16}\)
     + \(\dfrac{8}{17}\)
     \(\times\) \(\dfrac{5}{16}\)
     = \(\dfrac{80}{272}\)  = \(\dfrac{5}{17}\)  \(\approx\) 0{,}29 (Soit environ 28 \%)

\end{document}
