\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

\newcommand{\titre}{Probabilités}
\newcommand{\soustitre}{Cycle 4 --- Fiche n\textdegree 90}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/exercices_probabilites.php?x=90}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} PROB0090}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\sloppy


{\color{green!60!black}
    Dans les exercices qui suivent,on donnera les réponses sous 3 formes :
    Une fraction irréductible, une valeur décimale arrondi aux centièmes, et un pourcentage (arrondi à l'unité). }

\needspace{4\baselineskip}
\section*{Exercice 1}

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent\textbf{Première Partie}\par

Dans un jeu de 52 cartes, quelle est la probabilité de tirer :

\begin{itemize}
\item Le VALET de PIQUE ?
\item Un PIQUE ?
\item Un VALET ?
\end{itemize}

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent\textbf{Deuxième partie}\par

On ajoute deux jokers dans le jeu. Ces jokers peuvent remplacer n'importe quelle carte. Reprendre les 3 questions précedentes.

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent\textbf{Troisième partie}\par

On dispose à nouveau d'un jeu de 52 cartes classique, sans joker. Marine et Mateo jouent ensemble avec les règles suivantes :

L'ordre des cartes est celui de la bataille (AS-ROI-DAME-VALET-DIX-NEUF-HUIT etc.) Les joueurs tirent une carte, le gagnant est celui qui a la
     carte la plus forte. (Une égalité est possible).

Marine vient de tirer La DAME de TREFLE. A votre avis qui va gagner ? Ne répondez qu'après avoir calculé 3 probabilités :

\begin{itemize}
\item La probabilité que Marine gagne
 \item  La probabilité que Mateo gagne
 \item  La probabilité de match nul
\end{itemize}

\needspace{4\baselineskip}
\section*{
Exercice 2}

Une urne contient 6 boules cuivrées (C), 1 boule bleue (B) et 6 boules écrues (E) indiscernables au toucher.

On tire successivement et sans remise deux boules

\begin{itemize}
 \item Construire l'arbre des probabilités décrivant cette expérience aléatoire.
 \item  Quelle est la probabilité que la première boule tirée soit cuivrée ?
 \item  Quelle est la probabilité de tirer un boule bleue puis une écrue   ?
 \item  Quelle est la probabilité de finir en tirant une boule bleue ?
\end{itemize}

\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}

\needspace{4\baselineskip}
\subsection*{Exercice 1}

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent\textbf{Première partie}\par

{\color{red}
En cas d'équiprobabilité, une probabilité se calcule avec la formule :
\(\dfrac{\text{Nombre d'issues favorables}}{\text{Nombres d'issues possibles}}\) }

\begin{itemize}
\item P(VALET de PIQUE) = \(\dfrac{1}{52}\)  \(\approx\) 0{,}02 (Soit environ 2 \%)
\item P(PIQUE) = \(\dfrac{13}{52}\)  = \(\dfrac{1}{4}\)  = 0{,}25 (Soit 25 \%)
\item P(VALET) = \(\dfrac{4}{52}\)  = \(\dfrac{1}{13}\)  \(\approx\) 0{,}08 (Soit environ 8 \%)
\end{itemize}

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent\textbf{Deuxième partie}\par

\begin{itemize}
\item P(VALET de PIQUE) = \(\dfrac{3}{54}\)  = \(\dfrac{1}{18}\)  \(\approx\) 0{,}06 (Soit environ 6 \%)
\item P(PIQUE) = \(\dfrac{15}{54}\)  = \(\dfrac{5}{18}\)  \(\approx\) 0{,}28 (Soit environ 28 \%)
\item P(VALET) = \(\dfrac{6}{54}\)  = \(\dfrac{1}{9}\)  \(\approx\) 0{,}11 (Soit environ 11 \%)
\end{itemize}

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent\textbf{Troisième partie}\par

 Marine qui vient de piocher La DAME de TREFLE, gagne si Mateo tire :

\begin{itemize}
\item L'un des quatre DEUX.
\item L'un des quatre TROIS.
\item L'un des quatre QUATRE.
\item L'un des quatre CINQ.
\item L'un des quatre SIX.
\item L'un des quatre SEPT.
\item L'un des quatre HUIT.
\item L'un des quatre NEUF.
\item L'un des quatre DIX.
\item L'un des quatre VALET.
\end{itemize}

P(Marine gagne) = \(\dfrac{40}{51}\)  \(\approx\) 0{,}78 (Soit environ 78 \%)

De même P(Mateo gagne) = \(\dfrac{8}{51}\)  \(\approx\) 0{,}16 (Soit environ 16 \%)

et P(Match nul) = \(\dfrac{3}{51}\)  = \(\dfrac{1}{17}\)  \(\approx\) 0{,}06 (Soit environ 6 \%)


\newpage

\needspace{4\baselineskip}
\subsection*{
Exercice 2}


\begin{center}\begin{tikzpicture}[line width=0.6pt]
  \draw[gray] (5.955,6.760) -- (0.322,4.345);
  \draw[gray] (5.955,4.345) -- (0.322,4.345);
  \draw[gray] (5.955,1.931) -- (0.322,4.345);
  \draw[gray] (12.393,7.725) -- (7.146,6.760);
  \draw[gray] (12.393,6.760) -- (7.146,6.760);
  \draw[gray] (12.393,5.794) -- (7.146,6.760);
  \draw[gray] (12.393,4.828) -- (7.146,4.345);
  \draw[gray] (12.393,3.863) -- (7.146,4.345);
  \draw[gray] (12.393,2.897) -- (7.146,1.931);
  \draw[gray] (12.393,1.931) -- (7.146,1.931);
  \draw[gray] (12.393,0.966) -- (7.146,1.931);
  \node[black, anchor=base west, font=\fontsize{22.0}{26.4}\selectfont] at (6.438,6.760) {C};
  \node[black, anchor=base west, font=\fontsize{22.0}{26.4}\selectfont] at (6.438,4.345) {B};
  \node[black, anchor=base west, font=\fontsize{22.0}{26.4}\selectfont] at (6.438,1.931) {E};
  \node[black, anchor=base west, font=\fontsize{22.0}{26.4}\selectfont] at (12.876,7.725) {C};
  \node[black, anchor=base west, font=\fontsize{22.0}{26.4}\selectfont] at (12.876,6.760) {B};
  \node[black, anchor=base west, font=\fontsize{22.0}{26.4}\selectfont] at (12.876,5.794) {E};
  \node[black, anchor=base west, font=\fontsize{22.0}{26.4}\selectfont] at (12.876,4.828) {C};
  \node[black, anchor=base west, font=\fontsize{22.0}{26.4}\selectfont] at (12.876,3.863) {E};
  \node[black, anchor=base west, font=\fontsize{22.0}{26.4}\selectfont] at (12.876,2.897) {C};
  \node[black, anchor=base west, font=\fontsize{22.0}{26.4}\selectfont] at (12.876,1.931) {B};
  \node[black, anchor=base west, font=\fontsize{22.0}{26.4}\selectfont] at (12.876,0.966) {E};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{11.0}{13.2}\selectfont] at (3.122,5.569) {6/13};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{11.0}{13.2}\selectfont] at (3.122,4.345) {1/13};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{11.0}{13.2}\selectfont] at (3.122,3.155) {6/13};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{11.0}{13.2}\selectfont] at (9.753,7.242) {5/12};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{11.0}{13.2}\selectfont] at (9.753,6.760) {1/12};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{11.0}{13.2}\selectfont] at (9.753,6.277) {6/12};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{11.0}{13.2}\selectfont] at (9.753,4.603) {6/12};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{11.0}{13.2}\selectfont] at (9.753,4.120) {6/12};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{11.0}{13.2}\selectfont] at (9.753,2.414) {6/12};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{11.0}{13.2}\selectfont] at (9.753,1.931) {1/12};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{11.0}{13.2}\selectfont] at (9.753,1.448) {5/12};
\end{tikzpicture}\end{center}


\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent\textbf{La première boule tirée est  cuivrée:}\par
P(C) = \(\dfrac{6}{13}\)  \(\approx\) 0{,}46 (Soit environ 46 \%)
\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent\textbf{La première boule tirée est  bleue, la deuxième est écrue :}\par
P(B;E) = \(\dfrac{1}{13}\)
     \(\times\) \(\dfrac{6}{12}\)
     = \(\dfrac{6}{156}\)  = \(\dfrac{1}{26}\)  \(\approx\) 0{,}04 (Soit environ 4 \%)
\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent\textbf{La deuxième boule tirée est  bleue:}\par
P(?;B) = \(\dfrac{6}{13}\)
     \(\times\) \(\dfrac{1}{12}\)
     + \(\dfrac{1}{13}\)
     \(\times\) \(\dfrac{0}{12}\)
     + \(\dfrac{6}{13}\)
     \(\times\) \(\dfrac{1}{12}\)
     = \(\dfrac{12}{156}\)  = \(\dfrac{1}{13}\)  \(\approx\) 0{,}08 (Soit environ 8 \%)

\end{document}
