\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
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    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
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        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
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            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
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            -- cycle;
    \end{scope}
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}

\newcommand{\titre}{Proportionnalité}
\newcommand{\soustitre}{Cycle 4 --- Fiche n\textdegree 102}

\fancyhead[C]{%
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    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} PROP0102}
\end{minipage}%
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}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Les 5 exercices ci-dessous balaient la proportionnalité au cycle 4 : reconnaître une situation de proportionnalité, calculer une quatrième proportionnelle, appliquer et retrouver un pourcentage, traiter une augmentation ou une diminution avec le coefficient multiplicateur, et utiliser une grandeur composée (vitesse, débit, consommation, échelle). C'est le thème le plus représenté au DNB.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 1 — Reconnaître la proportionnalité}}
\noindent Pour chacun des deux tableaux ci-dessous, dire s'il s'agit d'un tableau de proportionnalité. \textbf{Justifier}. Si oui, préciser le coefficient de proportionnalité.\par\addvspace{0.45em}
\noindent \textbf{Tableau A}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Nombre de clés USB & \cellcolor{blue!7}\bfseries 4 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 10 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 11 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 12 \\ \hline
Prix (en \texteuro{}) & 18 & 45 & 49,5 & 54 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent \textbf{Tableau B}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Nombre de clés USB & \cellcolor{blue!7}\bfseries 6 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 8 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 11 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 14 \\ \hline
Prix (en \texteuro{}) & 7,2 & 9,6 & 13,2 & 19,3 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 2 — Quatrième proportionnelle}}
\noindent Dans un magasin, \textbf{12 croissants} coûtent \textbf{54 \texteuro{}}. Le prix est proportionnel à la quantité achetée.\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Calculer le prix d'\textbf{un seul croissant}, en \texteuro{}.
  \item Calculer le prix de \textbf{33 croissants}, en \texteuro{}.
  \item Compléter le tableau de proportionnalité ci-dessous.
\end{enumerate}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Nombre de croissants & \cellcolor{blue!7}\bfseries 12 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 1 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 33 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 100 \\ \hline
Prix (en \texteuro{}) & 54,00 & … & … & … \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 3 — Pourcentages}}
\noindent Chaque question est indépendante. Détailler les calculs.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Dans une commune de \textbf{500 habitants}, \textbf{75 \%} sont moins de 20 ans. Combien cela représente-t-il d'habitants ?
  \item Dans une commune de \textbf{800 habitants}, \textbf{288} sont moins de 20 ans. Quel \textbf{pourcentage} des habitants cela représente-t-il (réponse en \%) ?
  \item Dans une commune, les \textbf{24} moins de 20 ans représentent \textbf{10 \%} de l'effectif total. Quel est cet \textbf{effectif total}, en nombre d'habitants ?
\end{enumerate}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 4 — Augmentation et diminution en pourcentage}}
\noindent Chaque question est indépendante. On attend le \textbf{coefficient multiplicateur} dans les justifications.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Le prix d'un smartphone est de \textbf{250 \texteuro{}}. Il augmente de \textbf{12 \%}. Calculer le \textbf{nouveau prix}, en \texteuro{}.
  \item Le prix d'un vélo est de \textbf{400 \texteuro{}}. Il baisse de \textbf{40 \%} pendant les soldes. Calculer le \textbf{prix soldé}, en \texteuro{}.
  \item Le prix d'une paire de baskets passe de \textbf{60 \texteuro{}} à \textbf{72 \texteuro{}}. Calculer le \textbf{taux d'évolution}, en \%, et préciser s'il s'agit d'une hausse ou d'une baisse.
\end{enumerate}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 5 — Échelle d'une carte}}
\noindent Une carte est à l'échelle \textbf{1 / 10~000}.\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Deux villages sont distants de \textbf{7,2 cm} sur la carte. Calculer la \textbf{distance réelle} entre ces villages, en km.
  \item Deux autres lieux sont réellement distants de \textbf{1,5 km}. Quelle distance, en cm, les sépare sur la carte ?
  \item L'échelle est-elle un coefficient de proportionnalité ? Justifier.
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 1 — Correction}}
\noindent{\color{green!45!black}Un tableau est un \textbf{tableau de proportionnalité} lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant \textbf{toujours par le même nombre}. Ce nombre est le \textbf{coefficient de proportionnalité} : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{Tableau A} — on calcule chaque quotient :\par\addvspace{0.35em}
\begin{itemize}
  \item \(\dfrac{18}{4}\) = 4,5
  \item \(\dfrac{45}{10}\) = 4,5
  \item \(\dfrac{49{,}5}{11}\) = 4,5
  \item \(\dfrac{54}{12}\) = 4,5
\end{itemize}
\noindent Tous les quotients sont égaux à 4,5.\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Le tableau A \textbf{est} un tableau de proportionnalité, de coefficient 4,5.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{Tableau B} — on calcule de même :\par\addvspace{0.35em}
\begin{itemize}
  \item \(\dfrac{7{,}2}{6}\) = 1,2
  \item \(\dfrac{9{,}6}{8}\) = 1,2
  \item \(\dfrac{13{,}2}{11}\) = 1,2
  \item \(\dfrac{19{,}3}{14}\) \(\approx\) 1,379
\end{itemize}
\noindent Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 1,2, alors que la colonne « 14 » donne 1,379.\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Le tableau B \textbf{n'est pas} un tableau de proportionnalité.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Astuce :} il suffit de \textbf{deux} quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier \textbf{toutes} les colonnes.}\par\addvspace{0.4em}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 2 — Correction}}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Méthode 1 — le passage par l'unité.} On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{1.} Prix d'un seul croissant :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}\(\dfrac{54{,}00}{12}\) = 4,50\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un croissant coûte 4,50 \texteuro{}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.} Prix de 33 croissants : on multiplie le prix unitaire par 33.\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}4,50 \(\times\) 33 = 148,50\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries 33 croissants coûtent 148,50 \texteuro{}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Méthode 2 — le produit en croix.} Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut \(\dfrac{54{,}00 \times  33}{12}\) = 148,50, ce qui donne bien le même résultat.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.} Tableau complété :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Nombre de croissants & \cellcolor{blue!7}\bfseries 12 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 1 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 33 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 100 \\ \hline
Prix (en \texteuro{}) & 54,00 & \colorbox{yellow!35}{4,50} & \colorbox{yellow!35}{148,50} & \colorbox{yellow!35}{450,00} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\color{green!45!black}Le \textbf{coefficient de proportionnalité} de ce tableau est 4,50 : c'est le prix d'un croissant, en \texteuro{}.}\par\addvspace{0.4em}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 3 — Correction}}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Prendre t \% d'une quantité}, c'est la multiplier par \(\dfrac{\text{t}}{100}\). Un pourcentage est une \textbf{fraction de dénominateur 100} : c'est une situation de proportionnalité.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{1.} On cherche 75 \% de 500 :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}500 \(\times\) \(\dfrac{75}{100}\) = \(\dfrac{500 \times  75}{100}\) = 375\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Il y a 375 moins de 20 ans.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Calculer le pourcentage} que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.} La part est 288 sur 800 :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}\(\dfrac{288}{800}\) \(\times\) 100 = 0,36 \(\times\) 100 = 36\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Cela représente 36 \% des habitants.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Retrouver le total} connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.} 24 représentent 10 \% du total :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}\(\dfrac{24 \times  100}{10}\) = 240\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries L'effectif total est de 240 habitants.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Vérification (à faire systématiquement) :} 10 \% de 240, c'est 240 \(\times\) 0,1 = 24. C'est bien la part de départ.}\par\addvspace{0.4em}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 4 — Correction}}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Coefficient multiplicateur.} Augmenter de t \%, c'est multiplier par 1 + \(\dfrac{\text{t}}{100}\). Diminuer de t \%, c'est multiplier par 1 \(-\) \(\dfrac{\text{t}}{100}\). Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{1.} Augmentation de 12 \% : le coefficient multiplicateur est\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}1 + \(\dfrac{12}{100}\) = 1 + 0,12 = 1,12\par\addvspace{0.3em}
\noindent\hspace{1.2em}250 \(\times\) 1,12 = 280,00\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Le nouveau prix d'un smartphone est de 280 \texteuro{}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.} Diminution de 40 \% : le coefficient multiplicateur est\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}1 \(-\) \(\dfrac{40}{100}\) = 1 \(-\) 0,4 = 0,6\par\addvspace{0.3em}
\noindent\hspace{1.2em}400 \(\times\) 0,6 = 240,00\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Le prix soldé d'un vélo est de 240 \texteuro{}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Piège classique :} une baisse de 40 \% ne se « rattrape » pas par une hausse de 40 \%. Reprendre 240 et l'augmenter de 40 \% donne 336, et non 400.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.} On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}\(\dfrac{72{,}00}{60}\) = 1,2\par\addvspace{0.3em}
\noindent On compare ce coefficient à 1 :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}1,2 \(-\) 1 = 0,2, soit 20 \%\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Le taux d'évolution est de 20 \%, il s'agit d'une hausse.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À retenir :} un coefficient \textbf{supérieur à 1} signale une hausse, un coefficient \textbf{inférieur à 1} une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.}\par\addvspace{0.4em}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 5 — Correction}}
\noindent{\color{green!45!black}Une \textbf{échelle 1 / 10~000} signifie que 1 cm sur la carte représente 10~000 cm dans la réalité. Distance sur la carte et distance réelle sont \textbf{proportionnelles}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{1.} On multiplie la distance sur la carte par 10~000 :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}7,2 \(\times\) 10~000 = 72~000 cm\par\addvspace{0.3em}
\noindent On convertit en km (1 km = 100 000 cm) :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}\(\dfrac{72\,000}{100\,000}\) = 0,72\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries La distance réelle est de 0,72 km.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.} 1,5 km = 150~000 cm. On divise par 10~000 :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}\(\dfrac{150\,000}{10\,000}\) = 15\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Sur la carte, ces deux lieux sont distants de 15 cm.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Oui : pour passer de la carte à la réalité, on multiplie toujours par le même nombre, 10~000. C'est le coefficient de proportionnalité.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Erreur fréquente :} oublier la conversion. L'échelle relie des \textbf{cm à des cm}. Il faut convertir en km seulement à la fin (1 km = 100 000 cm).}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
