\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\AtBeginDocument{%
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  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
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\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
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        postaction={decorate},
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            text along path,
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    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
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        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
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            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
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            -- cycle;
    \end{scope}
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}

\newcommand{\titre}{Proportionnalité}
\newcommand{\soustitre}{Cycle 4 --- Fiche n\textdegree 105}

\fancyhead[C]{%
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    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} PROP0105}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Les 5 exercices ci-dessous balaient la proportionnalité au cycle 4 : reconnaître une situation de proportionnalité, calculer une quatrième proportionnelle, appliquer et retrouver un pourcentage, traiter une augmentation ou une diminution avec le coefficient multiplicateur, et utiliser une grandeur composée (vitesse, débit, consommation, échelle). C'est le thème le plus représenté au DNB.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 1 — Reconnaître la proportionnalité}}
\noindent Pour chacun des deux tableaux ci-dessous, dire s'il s'agit d'un tableau de proportionnalité. \textbf{Justifier}. Si oui, préciser le coefficient de proportionnalité.\par\addvspace{0.45em}
\noindent \textbf{Tableau A}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Durée (en h) & \cellcolor{blue!7}\bfseries 2 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 6 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 10 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 11 \\ \hline
Distance parcourue (en km) & 2,5 & 7,5 & 12,5 & 13,75 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent \textbf{Tableau B}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Durée (en h) & \cellcolor{blue!7}\bfseries 4 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 6 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 7 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 13 \\ \hline
Distance parcourue (en km) & 9,6 & 15,4 & 16,8 & 31,2 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 2 — Quatrième proportionnelle}}
\noindent Dans un magasin, \textbf{9 sachets de croquettes} coûtent \textbf{13,95 \texteuro{}}. Le prix est proportionnel à la quantité achetée.\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Calculer le prix d'\textbf{un seul sachet de croquettes}, en \texteuro{}.
  \item Calculer le prix de \textbf{21 sachets de croquettes}, en \texteuro{}.
  \item Compléter le tableau de proportionnalité ci-dessous.
\end{enumerate}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Nombre de sachets de croquettes & \cellcolor{blue!7}\bfseries 9 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 1 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 21 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 100 \\ \hline
Prix (en \texteuro{}) & 13,95 & … & … & … \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 3 — Pourcentages}}
\noindent Chaque question est indépendante. Détailler les calculs.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Dans un lycée de \textbf{260 élèves}, \textbf{45 \%} sont internes. Combien cela représente-t-il d'élèves ?
  \item Dans un lycée de \textbf{800 élèves}, \textbf{352} sont internes. Quel \textbf{pourcentage} des élèves cela représente-t-il (réponse en \%) ?
  \item Dans un lycée, les \textbf{24} internes représentent \textbf{10 \%} de l'effectif total. Quel est cet \textbf{effectif total}, en nombre d'élèves ?
\end{enumerate}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 4 — Augmentation et diminution en pourcentage}}
\noindent Chaque question est indépendante. On attend le \textbf{coefficient multiplicateur} dans les justifications.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Le prix d'une guitare est de \textbf{150 \texteuro{}}. Il augmente de \textbf{5 \%}. Calculer le \textbf{nouveau prix}, en \texteuro{}.
  \item Le prix d'une console de jeu est de \textbf{200 \texteuro{}}. Il baisse de \textbf{40 \%} pendant les soldes. Calculer le \textbf{prix soldé}, en \texteuro{}.
  \item Le prix d'un appareil photo passe de \textbf{50 \texteuro{}} à \textbf{55 \texteuro{}}. Calculer le \textbf{taux d'évolution}, en \%, et préciser s'il s'agit d'une hausse ou d'une baisse.
\end{enumerate}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 5 — Débit d'un robinet}}
\noindent Un robinet remplit une cuve de \textbf{345 L} en \textbf{23 min}, à débit constant.\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Calculer le \textbf{débit} du robinet, en L/min.
  \item Quel volume d'eau, en L, coule-t-il en \textbf{60 min} ?
  \item Combien de temps faut-il, en minutes, pour remplir un bassin de \textbf{1500 L} ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 1 — Correction}}
\noindent{\color{green!45!black}Un tableau est un \textbf{tableau de proportionnalité} lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant \textbf{toujours par le même nombre}. Ce nombre est le \textbf{coefficient de proportionnalité} : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{Tableau A} — on calcule chaque quotient :\par\addvspace{0.35em}
\begin{itemize}
  \item \(\dfrac{2{,}5}{2}\) = 1,25
  \item \(\dfrac{7{,}5}{6}\) = 1,25
  \item \(\dfrac{12{,}5}{10}\) = 1,25
  \item \(\dfrac{13{,}75}{11}\) = 1,25
\end{itemize}
\noindent Tous les quotients sont égaux à 1,25.\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Le tableau A \textbf{est} un tableau de proportionnalité, de coefficient 1,25.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{Tableau B} — on calcule de même :\par\addvspace{0.35em}
\begin{itemize}
  \item \(\dfrac{9{,}6}{4}\) = 2,4
  \item \(\dfrac{15{,}4}{6}\) \(\approx\) 2,567
  \item \(\dfrac{16{,}8}{7}\) = 2,4
  \item \(\dfrac{31{,}2}{13}\) = 2,4
\end{itemize}
\noindent Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 2,4, alors que la colonne « 6 » donne 2,567.\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Le tableau B \textbf{n'est pas} un tableau de proportionnalité.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Astuce :} il suffit de \textbf{deux} quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier \textbf{toutes} les colonnes.}\par\addvspace{0.4em}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 2 — Correction}}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Méthode 1 — le passage par l'unité.} On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{1.} Prix d'un seul sachet de croquettes :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}\(\dfrac{13{,}95}{9}\) = 1,55\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un sachet de croquettes coûte 1,55 \texteuro{}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.} Prix de 21 sachets de croquettes : on multiplie le prix unitaire par 21.\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}1,55 \(\times\) 21 = 32,55\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries 21 sachets de croquettes coûtent 32,55 \texteuro{}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Méthode 2 — le produit en croix.} Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut \(\dfrac{13{,}95 \times  21}{9}\) = 32,55, ce qui donne bien le même résultat.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.} Tableau complété :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Nombre de sachets de croquettes & \cellcolor{blue!7}\bfseries 9 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 1 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 21 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 100 \\ \hline
Prix (en \texteuro{}) & 13,95 & \colorbox{yellow!35}{1,55} & \colorbox{yellow!35}{32,55} & \colorbox{yellow!35}{155,00} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\color{green!45!black}Le \textbf{coefficient de proportionnalité} de ce tableau est 1,55 : c'est le prix d'un sachet de croquettes, en \texteuro{}.}\par\addvspace{0.4em}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 3 — Correction}}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Prendre t \% d'une quantité}, c'est la multiplier par \(\dfrac{\text{t}}{100}\). Un pourcentage est une \textbf{fraction de dénominateur 100} : c'est une situation de proportionnalité.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{1.} On cherche 45 \% de 260 :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}260 \(\times\) \(\dfrac{45}{100}\) = \(\dfrac{260 \times  45}{100}\) = 117\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Il y a 117 internes.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Calculer le pourcentage} que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.} La part est 352 sur 800 :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}\(\dfrac{352}{800}\) \(\times\) 100 = 0,44 \(\times\) 100 = 44\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Cela représente 44 \% des élèves.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Retrouver le total} connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.} 24 représentent 10 \% du total :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}\(\dfrac{24 \times  100}{10}\) = 240\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries L'effectif total est de 240 élèves.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Vérification (à faire systématiquement) :} 10 \% de 240, c'est 240 \(\times\) 0,1 = 24. C'est bien la part de départ.}\par\addvspace{0.4em}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 4 — Correction}}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Coefficient multiplicateur.} Augmenter de t \%, c'est multiplier par 1 + \(\dfrac{\text{t}}{100}\). Diminuer de t \%, c'est multiplier par 1 \(-\) \(\dfrac{\text{t}}{100}\). Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{1.} Augmentation de 5 \% : le coefficient multiplicateur est\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}1 + \(\dfrac{5}{100}\) = 1 + 0,05 = 1,05\par\addvspace{0.3em}
\noindent\hspace{1.2em}150 \(\times\) 1,05 = 157,50\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Le nouveau prix d'une guitare est de 157,50 \texteuro{}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.} Diminution de 40 \% : le coefficient multiplicateur est\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}1 \(-\) \(\dfrac{40}{100}\) = 1 \(-\) 0,4 = 0,6\par\addvspace{0.3em}
\noindent\hspace{1.2em}200 \(\times\) 0,6 = 120,00\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Le prix soldé d'une console de jeu est de 120 \texteuro{}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Piège classique :} une baisse de 40 \% ne se « rattrape » pas par une hausse de 40 \%. Reprendre 120 et l'augmenter de 40 \% donne 168, et non 200.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.} On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}\(\dfrac{55{,}00}{50}\) = 1,1\par\addvspace{0.3em}
\noindent On compare ce coefficient à 1 :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}1,1 \(-\) 1 = 0,1, soit 10 \%\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Le taux d'évolution est de 10 \%, il s'agit d'une hausse.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À retenir :} un coefficient \textbf{supérieur à 1} signale une hausse, un coefficient \textbf{inférieur à 1} une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.}\par\addvspace{0.4em}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 5 — Correction}}
\noindent{\color{green!45!black}Le \textbf{débit} est une grandeur composée : débit = \(\dfrac{\text{volume}}{\text{durée}}\). Le volume écoulé est proportionnel à la durée, et le débit est le coefficient de proportionnalité.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{1.} On divise le volume par la durée :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}\(\dfrac{345}{23}\) = 15\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Le débit du robinet est de 15 L/min.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.} En 60 min :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}15 \(\times\) 60 = 900\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Il coule 900 L.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.} Pour 1500 L :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}\(\dfrac{1500}{15}\) = 100\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Il faut 100 min, soit 1 h 40 min.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Vigilance sur les unités :} un débit en L/min multiplié par une durée en \textbf{minutes} donne bien des litres. Si la durée est donnée en heures, il faut d'abord la convertir en minutes.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
