\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\AtBeginDocument{%
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  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
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\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
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        postaction={decorate},
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        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
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        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
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            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
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            -- cycle;
    \end{scope}
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}

\newcommand{\titre}{Proportionnalité}
\newcommand{\soustitre}{Cycle 4 --- Fiche n\textdegree 129}

\fancyhead[C]{%
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    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} PROP0129}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Les 5 exercices ci-dessous balaient la proportionnalité au cycle 4 : reconnaître une situation de proportionnalité, calculer une quatrième proportionnelle, appliquer et retrouver un pourcentage, traiter une augmentation ou une diminution avec le coefficient multiplicateur, et utiliser une grandeur composée (vitesse, débit, consommation, échelle). C'est le thème le plus représenté au DNB.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 1 — Reconnaître la proportionnalité}}
\noindent Pour chacun des deux tableaux ci-dessous, dire s'il s'agit d'un tableau de proportionnalité. \textbf{Justifier}. Si oui, préciser le coefficient de proportionnalité.\par\addvspace{0.45em}
\noindent \textbf{Tableau A}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Masse de farine (en kg) & \cellcolor{blue!7}\bfseries 5 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 8 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 12 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 13 \\ \hline
Prix (en \texteuro{}) & 4 & 6,4 & 9,6 & 10,4 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent \textbf{Tableau B}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Masse de farine (en kg) & \cellcolor{blue!7}\bfseries 3 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 4 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 5 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 10 \\ \hline
Prix (en \texteuro{}) & 7,2 & 12,6 & 12 & 24 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 2 — Quatrième proportionnelle}}
\noindent Dans un magasin, \textbf{6 clés USB} coûtent \textbf{4,80 \texteuro{}}. Le prix est proportionnel à la quantité achetée.\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Calculer le prix d'\textbf{une seule clé USB}, en \texteuro{}.
  \item Calculer le prix de \textbf{31 clés USB}, en \texteuro{}.
  \item Compléter le tableau de proportionnalité ci-dessous.
\end{enumerate}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Nombre de clés USB & \cellcolor{blue!7}\bfseries 6 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 1 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 31 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 100 \\ \hline
Prix (en \texteuro{}) & 4,80 & … & … & … \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 3 — Pourcentages}}
\noindent Chaque question est indépendante. Détailler les calculs.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Dans un festival de \textbf{140 festivaliers}, \textbf{20 \%} sont venus en train. Combien cela représente-t-il de festivaliers ?
  \item Dans un festival de \textbf{250 festivaliers}, \textbf{70} sont venus en train. Quel \textbf{pourcentage} des festivaliers cela représente-t-il (réponse en \%) ?
  \item Dans un festival, les \textbf{30} venus en train représentent \textbf{20 \%} de l'effectif total. Quel est cet \textbf{effectif total}, en nombre de festivaliers ?
\end{enumerate}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 4 — Augmentation et diminution en pourcentage}}
\noindent Chaque question est indépendante. On attend le \textbf{coefficient multiplicateur} dans les justifications.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Le prix d'un manteau est de \textbf{60 \texteuro{}}. Il augmente de \textbf{12 \%}. Calculer le \textbf{nouveau prix}, en \texteuro{}.
  \item Le prix d'une guitare est de \textbf{300 \texteuro{}}. Il baisse de \textbf{10 \%} pendant les soldes. Calculer le \textbf{prix soldé}, en \texteuro{}.
  \item Le prix d'une paire de baskets passe de \textbf{120 \texteuro{}} à \textbf{168 \texteuro{}}. Calculer le \textbf{taux d'évolution}, en \%, et préciser s'il s'agit d'une hausse ou d'une baisse.
\end{enumerate}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 5 — Consommation de carburant}}
\noindent Une voiture consomme en moyenne \textbf{7 L aux 100 km}.\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Quel volume de carburant, en L, consomme-t-elle sur un trajet de \textbf{300 km} ?
  \item Le carburant coûte \textbf{1,80 \texteuro{} le litre}. Quel est le \textbf{coût du trajet}, en \texteuro{} (arrondir au centime) ?
  \item La consommation est-elle proportionnelle à la distance parcourue ? Justifier.
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 1 — Correction}}
\noindent{\color{green!45!black}Un tableau est un \textbf{tableau de proportionnalité} lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant \textbf{toujours par le même nombre}. Ce nombre est le \textbf{coefficient de proportionnalité} : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{Tableau A} — on calcule chaque quotient :\par\addvspace{0.35em}
\begin{itemize}
  \item \(\dfrac{4}{5}\) = 0,8
  \item \(\dfrac{6{,}4}{8}\) = 0,8
  \item \(\dfrac{9{,}6}{12}\) = 0,8
  \item \(\dfrac{10{,}4}{13}\) = 0,8
\end{itemize}
\noindent Tous les quotients sont égaux à 0,8.\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Le tableau A \textbf{est} un tableau de proportionnalité, de coefficient 0,8.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{Tableau B} — on calcule de même :\par\addvspace{0.35em}
\begin{itemize}
  \item \(\dfrac{7{,}2}{3}\) = 2,4
  \item \(\dfrac{12{,}6}{4}\) = 3,15
  \item \(\dfrac{12}{5}\) = 2,4
  \item \(\dfrac{24}{10}\) = 2,4
\end{itemize}
\noindent Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 2,4, alors que la colonne « 4 » donne 3,15.\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Le tableau B \textbf{n'est pas} un tableau de proportionnalité.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Astuce :} il suffit de \textbf{deux} quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier \textbf{toutes} les colonnes.}\par\addvspace{0.4em}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 2 — Correction}}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Méthode 1 — le passage par l'unité.} On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{1.} Prix d'une seule clé USB :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}\(\dfrac{4{,}80}{6}\) = 0,80\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Une clé USB coûte 0,80 \texteuro{}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.} Prix de 31 clés USB : on multiplie le prix unitaire par 31.\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}0,80 \(\times\) 31 = 24,80\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries 31 clés USB coûtent 24,80 \texteuro{}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Méthode 2 — le produit en croix.} Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut \(\dfrac{4{,}80 \times  31}{6}\) = 24,80, ce qui donne bien le même résultat.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.} Tableau complété :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Nombre de clés USB & \cellcolor{blue!7}\bfseries 6 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 1 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 31 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 100 \\ \hline
Prix (en \texteuro{}) & 4,80 & \colorbox{yellow!35}{0,80} & \colorbox{yellow!35}{24,80} & \colorbox{yellow!35}{80,00} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\color{green!45!black}Le \textbf{coefficient de proportionnalité} de ce tableau est 0,80 : c'est le prix d'une clé USB, en \texteuro{}.}\par\addvspace{0.4em}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 3 — Correction}}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Prendre t \% d'une quantité}, c'est la multiplier par \(\dfrac{\text{t}}{100}\). Un pourcentage est une \textbf{fraction de dénominateur 100} : c'est une situation de proportionnalité.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{1.} On cherche 20 \% de 140 :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}140 \(\times\) \(\dfrac{20}{100}\) = \(\dfrac{140 \times  20}{100}\) = 28\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Il y a 28 venus en train.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Calculer le pourcentage} que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.} La part est 70 sur 250 :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}\(\dfrac{70}{250}\) \(\times\) 100 = 0,28 \(\times\) 100 = 28\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Cela représente 28 \% des festivaliers.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Retrouver le total} connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.} 30 représentent 20 \% du total :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}\(\dfrac{30 \times  100}{20}\) = 150\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries L'effectif total est de 150 festivaliers.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Vérification (à faire systématiquement) :} 20 \% de 150, c'est 150 \(\times\) 0,2 = 30. C'est bien la part de départ.}\par\addvspace{0.4em}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 4 — Correction}}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Coefficient multiplicateur.} Augmenter de t \%, c'est multiplier par 1 + \(\dfrac{\text{t}}{100}\). Diminuer de t \%, c'est multiplier par 1 \(-\) \(\dfrac{\text{t}}{100}\). Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{1.} Augmentation de 12 \% : le coefficient multiplicateur est\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}1 + \(\dfrac{12}{100}\) = 1 + 0,12 = 1,12\par\addvspace{0.3em}
\noindent\hspace{1.2em}60 \(\times\) 1,12 = 67,20\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Le nouveau prix d'un manteau est de 67,20 \texteuro{}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.} Diminution de 10 \% : le coefficient multiplicateur est\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}1 \(-\) \(\dfrac{10}{100}\) = 1 \(-\) 0,1 = 0,9\par\addvspace{0.3em}
\noindent\hspace{1.2em}300 \(\times\) 0,9 = 270,00\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Le prix soldé d'une guitare est de 270 \texteuro{}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Piège classique :} une baisse de 10 \% ne se « rattrape » pas par une hausse de 10 \%. Reprendre 270 et l'augmenter de 10 \% donne 297, et non 300.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.} On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}\(\dfrac{168{,}00}{120}\) = 1,4\par\addvspace{0.3em}
\noindent On compare ce coefficient à 1 :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}1,4 \(-\) 1 = 0,4, soit 40 \%\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Le taux d'évolution est de 40 \%, il s'agit d'une hausse.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À retenir :} un coefficient \textbf{supérieur à 1} signale une hausse, un coefficient \textbf{inférieur à 1} une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.}\par\addvspace{0.4em}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 5 — Correction}}
\noindent{\color{green!45!black}« Consommer \(\dfrac{7}{\text{100 km}}\) » signifie que le volume consommé est \textbf{proportionnel} à la distance, de coefficient \(\dfrac{7}{100}\) = 0,07 litre par kilomètre.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{1.} Pour 300 km :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}\(\dfrac{7 \times  300}{100}\) = 21\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries La voiture consomme 21 L.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.} Coût du trajet :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}21 \(\times\) 1,8 = 37,8 = 37,8\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Le trajet coûte environ 37,80 \texteuro{}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Oui : on multiplie toujours la distance par le même nombre (0,07 L/km) pour obtenir le volume consommé. C'est donc bien une situation de proportionnalité.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Nuance à connaître :} ce modèle est une \textbf{moyenne}. En pratique la consommation réelle dépend de la vitesse et du relief : la proportionnalité est un modèle simplifié, pas une loi exacte.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
