\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
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\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
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        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
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            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
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            -- cycle;
    \end{scope}
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}

\newcommand{\titre}{Proportionnalité}
\newcommand{\soustitre}{Cycle 4 --- Fiche n\textdegree 161}

\fancyhead[C]{%
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    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} PROP0161}
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}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Les 5 exercices ci-dessous balaient la proportionnalité au cycle 4 : reconnaître une situation de proportionnalité, calculer une quatrième proportionnelle, appliquer et retrouver un pourcentage, traiter une augmentation ou une diminution avec le coefficient multiplicateur, et utiliser une grandeur composée (vitesse, débit, consommation, échelle). C'est le thème le plus représenté au DNB.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 1 — Reconnaître la proportionnalité}}
\noindent Pour chacun des deux tableaux ci-dessous, dire s'il s'agit d'un tableau de proportionnalité. \textbf{Justifier}. Si oui, préciser le coefficient de proportionnalité.\par\addvspace{0.45em}
\noindent \textbf{Tableau A}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Nombre de cartouches d'encre & \cellcolor{blue!7}\bfseries 5 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 9 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 11 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 12 \\ \hline
Prix (en \texteuro{}) & 10 & 18 & 22 & 24 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent \textbf{Tableau B}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Nombre de cartouches d'encre & \cellcolor{blue!7}\bfseries 9 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 12 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 13 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 14 \\ \hline
Prix (en \texteuro{}) & 4,5 & 6 & 6,5 & 8 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 2 — Quatrième proportionnelle}}
\noindent Dans un magasin, \textbf{4 places de cinéma} coûtent \textbf{18 \texteuro{}}. Le prix est proportionnel à la quantité achetée.\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Calculer le prix d'\textbf{une seule place de cinéma}, en \texteuro{}.
  \item Calculer le prix de \textbf{31 places de cinéma}, en \texteuro{}.
  \item Compléter le tableau de proportionnalité ci-dessous.
\end{enumerate}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Nombre de places de cinéma & \cellcolor{blue!7}\bfseries 4 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 1 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 31 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 100 \\ \hline
Prix (en \texteuro{}) & 18,00 & … & … & … \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 3 — Pourcentages}}
\noindent Chaque question est indépendante. Détailler les calculs.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Dans un club de sport de \textbf{300 adhérents}, \textbf{45 \%} sont licenciés en compétition. Combien cela représente-t-il d'adhérents ?
  \item Dans un club de sport de \textbf{200 adhérents}, \textbf{24} sont licenciés en compétition. Quel \textbf{pourcentage} des adhérents cela représente-t-il (réponse en \%) ?
  \item Dans un club de sport, les \textbf{42} licenciés en compétition représentent \textbf{12 \%} de l'effectif total. Quel est cet \textbf{effectif total}, en nombre d'adhérents ?
\end{enumerate}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 4 — Augmentation et diminution en pourcentage}}
\noindent Chaque question est indépendante. On attend le \textbf{coefficient multiplicateur} dans les justifications.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Le prix d'une trottinette est de \textbf{180 \texteuro{}}. Il augmente de \textbf{30 \%}. Calculer le \textbf{nouveau prix}, en \texteuro{}.
  \item Le prix d'un aspirateur est de \textbf{400 \texteuro{}}. Il baisse de \textbf{25 \%} pendant les soldes. Calculer le \textbf{prix soldé}, en \texteuro{}.
  \item Le prix d'un manteau passe de \textbf{200 \texteuro{}} à \textbf{160 \texteuro{}}. Calculer le \textbf{taux d'évolution}, en \%, et préciser s'il s'agit d'une hausse ou d'une baisse.
\end{enumerate}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 5 — Échelle d'une carte}}
\noindent Une carte est à l'échelle \textbf{1 / 25~000}.\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Deux villages sont distants de \textbf{12,5 cm} sur la carte. Calculer la \textbf{distance réelle} entre ces villages, en km.
  \item Deux autres lieux sont réellement distants de \textbf{6 km}. Quelle distance, en cm, les sépare sur la carte ?
  \item L'échelle est-elle un coefficient de proportionnalité ? Justifier.
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 1 — Correction}}
\noindent{\color{green!45!black}Un tableau est un \textbf{tableau de proportionnalité} lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant \textbf{toujours par le même nombre}. Ce nombre est le \textbf{coefficient de proportionnalité} : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{Tableau A} — on calcule chaque quotient :\par\addvspace{0.35em}
\begin{itemize}
  \item \(\dfrac{10}{5}\) = 2
  \item \(\dfrac{18}{9}\) = 2
  \item \(\dfrac{22}{11}\) = 2
  \item \(\dfrac{24}{12}\) = 2
\end{itemize}
\noindent Tous les quotients sont égaux à 2.\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Le tableau A \textbf{est} un tableau de proportionnalité, de coefficient 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{Tableau B} — on calcule de même :\par\addvspace{0.35em}
\begin{itemize}
  \item \(\dfrac{4{,}5}{9}\) = 0,5
  \item \(\dfrac{6}{12}\) = 0,5
  \item \(\dfrac{6{,}5}{13}\) = 0,5
  \item \(\dfrac{8}{14}\) \(\approx\) 0,571
\end{itemize}
\noindent Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 0,5, alors que la colonne « 14 » donne 0,571.\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Le tableau B \textbf{n'est pas} un tableau de proportionnalité.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Astuce :} il suffit de \textbf{deux} quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier \textbf{toutes} les colonnes.}\par\addvspace{0.4em}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 2 — Correction}}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Méthode 1 — le passage par l'unité.} On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{1.} Prix d'une seule place de cinéma :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}\(\dfrac{18{,}00}{4}\) = 4,50\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Une place de cinéma coûte 4,50 \texteuro{}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.} Prix de 31 places de cinéma : on multiplie le prix unitaire par 31.\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}4,50 \(\times\) 31 = 139,50\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries 31 places de cinéma coûtent 139,50 \texteuro{}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Méthode 2 — le produit en croix.} Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut \(\dfrac{18{,}00 \times  31}{4}\) = 139,50, ce qui donne bien le même résultat.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.} Tableau complété :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Nombre de places de cinéma & \cellcolor{blue!7}\bfseries 4 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 1 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 31 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 100 \\ \hline
Prix (en \texteuro{}) & 18,00 & \colorbox{yellow!35}{4,50} & \colorbox{yellow!35}{139,50} & \colorbox{yellow!35}{450,00} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\color{green!45!black}Le \textbf{coefficient de proportionnalité} de ce tableau est 4,50 : c'est le prix d'une place de cinéma, en \texteuro{}.}\par\addvspace{0.4em}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 3 — Correction}}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Prendre t \% d'une quantité}, c'est la multiplier par \(\dfrac{\text{t}}{100}\). Un pourcentage est une \textbf{fraction de dénominateur 100} : c'est une situation de proportionnalité.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{1.} On cherche 45 \% de 300 :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}300 \(\times\) \(\dfrac{45}{100}\) = \(\dfrac{300 \times  45}{100}\) = 135\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Il y a 135 licenciés en compétition.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Calculer le pourcentage} que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.} La part est 24 sur 200 :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}\(\dfrac{24}{200}\) \(\times\) 100 = 0,12 \(\times\) 100 = 12\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Cela représente 12 \% des adhérents.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Retrouver le total} connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.} 42 représentent 12 \% du total :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}\(\dfrac{42 \times  100}{12}\) = 350\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries L'effectif total est de 350 adhérents.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Vérification (à faire systématiquement) :} 12 \% de 350, c'est 350 \(\times\) 0,12 = 42. C'est bien la part de départ.}\par\addvspace{0.4em}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 4 — Correction}}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Coefficient multiplicateur.} Augmenter de t \%, c'est multiplier par 1 + \(\dfrac{\text{t}}{100}\). Diminuer de t \%, c'est multiplier par 1 \(-\) \(\dfrac{\text{t}}{100}\). Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{1.} Augmentation de 30 \% : le coefficient multiplicateur est\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}1 + \(\dfrac{30}{100}\) = 1 + 0,3 = 1,3\par\addvspace{0.3em}
\noindent\hspace{1.2em}180 \(\times\) 1,3 = 234,00\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Le nouveau prix d'une trottinette est de 234 \texteuro{}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.} Diminution de 25 \% : le coefficient multiplicateur est\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}1 \(-\) \(\dfrac{25}{100}\) = 1 \(-\) 0,25 = 0,75\par\addvspace{0.3em}
\noindent\hspace{1.2em}400 \(\times\) 0,75 = 300,00\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Le prix soldé d'un aspirateur est de 300 \texteuro{}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Piège classique :} une baisse de 25 \% ne se « rattrape » pas par une hausse de 25 \%. Reprendre 300 et l'augmenter de 25 \% donne 375, et non 400.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.} On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}\(\dfrac{160{,}00}{200}\) = 0,8\par\addvspace{0.3em}
\noindent On compare ce coefficient à 1 :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}0,8 \(-\) 1 = \(-\)0,2, soit \(-\)20 \%\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Le taux d'évolution est de 20 \%, il s'agit d'une baisse.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À retenir :} un coefficient \textbf{supérieur à 1} signale une hausse, un coefficient \textbf{inférieur à 1} une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.}\par\addvspace{0.4em}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 5 — Correction}}
\noindent{\color{green!45!black}Une \textbf{échelle 1 / 25~000} signifie que 1 cm sur la carte représente 25~000 cm dans la réalité. Distance sur la carte et distance réelle sont \textbf{proportionnelles}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{1.} On multiplie la distance sur la carte par 25~000 :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}12,5 \(\times\) 25~000 = 312~500 cm\par\addvspace{0.3em}
\noindent On convertit en km (1 km = 100 000 cm) :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}\(\dfrac{312\,500}{100\,000}\) = 3,125\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries La distance réelle est de 3,125 km.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.} 6 km = 600~000 cm. On divise par 25~000 :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}\(\dfrac{600\,000}{25\,000}\) = 24\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Sur la carte, ces deux lieux sont distants de 24 cm.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Oui : pour passer de la carte à la réalité, on multiplie toujours par le même nombre, 25~000. C'est le coefficient de proportionnalité.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Erreur fréquente :} oublier la conversion. L'échelle relie des \textbf{cm à des cm}. Il faut convertir en km seulement à la fin (1 km = 100 000 cm).}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
