\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\AtBeginDocument{%
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  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
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\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
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        postaction={decorate},
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    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
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        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
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            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
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            -- cycle;
    \end{scope}
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}

\newcommand{\titre}{Proportionnalité}
\newcommand{\soustitre}{Cycle 4 --- Fiche n\textdegree 197}

\fancyhead[C]{%
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    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} PROP0197}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Les 5 exercices ci-dessous balaient la proportionnalité au cycle 4 : reconnaître une situation de proportionnalité, calculer une quatrième proportionnelle, appliquer et retrouver un pourcentage, traiter une augmentation ou une diminution avec le coefficient multiplicateur, et utiliser une grandeur composée (vitesse, débit, consommation, échelle). C'est le thème le plus représenté au DNB.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 1 — Reconnaître la proportionnalité}}
\noindent Pour chacun des deux tableaux ci-dessous, dire s'il s'agit d'un tableau de proportionnalité. \textbf{Justifier}. Si oui, préciser le coefficient de proportionnalité.\par\addvspace{0.45em}
\noindent \textbf{Tableau A}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Nombre de croissants & \cellcolor{blue!7}\bfseries 2 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 4 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 5 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 11 \\ \hline
Prix (en \texteuro{}) & 3 & 6 & 7,5 & 16,5 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent \textbf{Tableau B}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Nombre de croissants & \cellcolor{blue!7}\bfseries 2 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 9 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 11 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 12 \\ \hline
Prix (en \texteuro{}) & 1,6 & 9,2 & 8,8 & 9,6 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 2 — Quatrième proportionnelle}}
\noindent Dans un magasin, \textbf{10 clés USB} coûtent \textbf{62,50 \texteuro{}}. Le prix est proportionnel à la quantité achetée.\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Calculer le prix d'\textbf{une seule clé USB}, en \texteuro{}.
  \item Calculer le prix de \textbf{23 clés USB}, en \texteuro{}.
  \item Compléter le tableau de proportionnalité ci-dessous.
\end{enumerate}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Nombre de clés USB & \cellcolor{blue!7}\bfseries 10 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 1 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 23 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 100 \\ \hline
Prix (en \texteuro{}) & 62,50 & … & … & … \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 3 — Pourcentages}}
\noindent Chaque question est indépendante. Détailler les calculs.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Dans une commune de \textbf{300 habitants}, \textbf{75 \%} sont moins de 20 ans. Combien cela représente-t-il d'habitants ?
  \item Dans une commune de \textbf{800 habitants}, \textbf{288} sont moins de 20 ans. Quel \textbf{pourcentage} des habitants cela représente-t-il (réponse en \%) ?
  \item Dans une commune, les \textbf{72} moins de 20 ans représentent \textbf{12 \%} de l'effectif total. Quel est cet \textbf{effectif total}, en nombre d'habitants ?
\end{enumerate}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 4 — Augmentation et diminution en pourcentage}}
\noindent Chaque question est indépendante. On attend le \textbf{coefficient multiplicateur} dans les justifications.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Le prix d'une console de jeu est de \textbf{240 \texteuro{}}. Il augmente de \textbf{12 \%}. Calculer le \textbf{nouveau prix}, en \texteuro{}.
  \item Le prix d'un smartphone est de \textbf{300 \texteuro{}}. Il baisse de \textbf{30 \%} pendant les soldes. Calculer le \textbf{prix soldé}, en \texteuro{}.
  \item Le prix d'un manteau passe de \textbf{150 \texteuro{}} à \textbf{127,50 \texteuro{}}. Calculer le \textbf{taux d'évolution}, en \%, et préciser s'il s'agit d'une hausse ou d'une baisse.
\end{enumerate}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 5 — Consommation de carburant}}
\noindent Une voiture consomme en moyenne \textbf{9 L aux 100 km}.\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Quel volume de carburant, en L, consomme-t-elle sur un trajet de \textbf{450 km} ?
  \item Le carburant coûte \textbf{1,80 \texteuro{} le litre}. Quel est le \textbf{coût du trajet}, en \texteuro{} (arrondir au centime) ?
  \item La consommation est-elle proportionnelle à la distance parcourue ? Justifier.
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 1 — Correction}}
\noindent{\color{green!45!black}Un tableau est un \textbf{tableau de proportionnalité} lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant \textbf{toujours par le même nombre}. Ce nombre est le \textbf{coefficient de proportionnalité} : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{Tableau A} — on calcule chaque quotient :\par\addvspace{0.35em}
\begin{itemize}
  \item \(\dfrac{3}{2}\) = 1,5
  \item \(\dfrac{6}{4}\) = 1,5
  \item \(\dfrac{7{,}5}{5}\) = 1,5
  \item \(\dfrac{16{,}5}{11}\) = 1,5
\end{itemize}
\noindent Tous les quotients sont égaux à 1,5.\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Le tableau A \textbf{est} un tableau de proportionnalité, de coefficient 1,5.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{Tableau B} — on calcule de même :\par\addvspace{0.35em}
\begin{itemize}
  \item \(\dfrac{1{,}6}{2}\) = 0,8
  \item \(\dfrac{9{,}2}{9}\) \(\approx\) 1,022
  \item \(\dfrac{8{,}8}{11}\) = 0,8
  \item \(\dfrac{9{,}6}{12}\) = 0,8
\end{itemize}
\noindent Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 0,8, alors que la colonne « 9 » donne 1,022.\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Le tableau B \textbf{n'est pas} un tableau de proportionnalité.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Astuce :} il suffit de \textbf{deux} quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier \textbf{toutes} les colonnes.}\par\addvspace{0.4em}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 2 — Correction}}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Méthode 1 — le passage par l'unité.} On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{1.} Prix d'une seule clé USB :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}\(\dfrac{62{,}50}{10}\) = 6,25\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Une clé USB coûte 6,25 \texteuro{}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.} Prix de 23 clés USB : on multiplie le prix unitaire par 23.\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}6,25 \(\times\) 23 = 143,75\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries 23 clés USB coûtent 143,75 \texteuro{}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Méthode 2 — le produit en croix.} Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut \(\dfrac{62{,}50 \times  23}{10}\) = 143,75, ce qui donne bien le même résultat.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.} Tableau complété :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Nombre de clés USB & \cellcolor{blue!7}\bfseries 10 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 1 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 23 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 100 \\ \hline
Prix (en \texteuro{}) & 62,50 & \colorbox{yellow!35}{6,25} & \colorbox{yellow!35}{143,75} & \colorbox{yellow!35}{625,00} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\color{green!45!black}Le \textbf{coefficient de proportionnalité} de ce tableau est 6,25 : c'est le prix d'une clé USB, en \texteuro{}.}\par\addvspace{0.4em}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 3 — Correction}}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Prendre t \% d'une quantité}, c'est la multiplier par \(\dfrac{\text{t}}{100}\). Un pourcentage est une \textbf{fraction de dénominateur 100} : c'est une situation de proportionnalité.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{1.} On cherche 75 \% de 300 :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}300 \(\times\) \(\dfrac{75}{100}\) = \(\dfrac{300 \times  75}{100}\) = 225\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Il y a 225 moins de 20 ans.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Calculer le pourcentage} que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.} La part est 288 sur 800 :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}\(\dfrac{288}{800}\) \(\times\) 100 = 0,36 \(\times\) 100 = 36\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Cela représente 36 \% des habitants.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Retrouver le total} connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.} 72 représentent 12 \% du total :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}\(\dfrac{72 \times  100}{12}\) = 600\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries L'effectif total est de 600 habitants.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Vérification (à faire systématiquement) :} 12 \% de 600, c'est 600 \(\times\) 0,12 = 72. C'est bien la part de départ.}\par\addvspace{0.4em}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 4 — Correction}}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Coefficient multiplicateur.} Augmenter de t \%, c'est multiplier par 1 + \(\dfrac{\text{t}}{100}\). Diminuer de t \%, c'est multiplier par 1 \(-\) \(\dfrac{\text{t}}{100}\). Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{1.} Augmentation de 12 \% : le coefficient multiplicateur est\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}1 + \(\dfrac{12}{100}\) = 1 + 0,12 = 1,12\par\addvspace{0.3em}
\noindent\hspace{1.2em}240 \(\times\) 1,12 = 268,80\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Le nouveau prix d'une console de jeu est de 268,80 \texteuro{}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.} Diminution de 30 \% : le coefficient multiplicateur est\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}1 \(-\) \(\dfrac{30}{100}\) = 1 \(-\) 0,3 = 0,7\par\addvspace{0.3em}
\noindent\hspace{1.2em}300 \(\times\) 0,7 = 210,00\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Le prix soldé d'un smartphone est de 210 \texteuro{}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Piège classique :} une baisse de 30 \% ne se « rattrape » pas par une hausse de 30 \%. Reprendre 210 et l'augmenter de 30 \% donne 273, et non 300.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.} On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}\(\dfrac{127{,}50}{150}\) = 0,85\par\addvspace{0.3em}
\noindent On compare ce coefficient à 1 :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}0,85 \(-\) 1 = \(-\)0,15, soit \(-\)15 \%\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Le taux d'évolution est de 15 \%, il s'agit d'une baisse.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À retenir :} un coefficient \textbf{supérieur à 1} signale une hausse, un coefficient \textbf{inférieur à 1} une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.}\par\addvspace{0.4em}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 5 — Correction}}
\noindent{\color{green!45!black}« Consommer \(\dfrac{9}{\text{100 km}}\) » signifie que le volume consommé est \textbf{proportionnel} à la distance, de coefficient \(\dfrac{9}{100}\) = 0,09 litre par kilomètre.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{1.} Pour 450 km :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}\(\dfrac{9 \times  450}{100}\) = 40,5\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries La voiture consomme 40,5 L.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.} Coût du trajet :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}40,5 \(\times\) 1,8 = 72,9 = 72,9\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Le trajet coûte environ 72,90 \texteuro{}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Oui : on multiplie toujours la distance par le même nombre (0,09 L/km) pour obtenir le volume consommé. C'est donc bien une situation de proportionnalité.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Nuance à connaître :} ce modèle est une \textbf{moyenne}. En pratique la consommation réelle dépend de la vitesse et du relief : la proportionnalité est un modèle simplifié, pas une loi exacte.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
