\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\AtBeginDocument{%
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  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
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% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
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\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
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        postaction={decorate},
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            text along path,
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    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
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        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
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            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
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            -- cycle;
    \end{scope}
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}

\newcommand{\titre}{Proportionnalité}
\newcommand{\soustitre}{Cycle 4 --- Fiche n\textdegree 233}

\fancyhead[C]{%
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    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} PROP0233}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Les 5 exercices ci-dessous balaient la proportionnalité au cycle 4 : reconnaître une situation de proportionnalité, calculer une quatrième proportionnelle, appliquer et retrouver un pourcentage, traiter une augmentation ou une diminution avec le coefficient multiplicateur, et utiliser une grandeur composée (vitesse, débit, consommation, échelle). C'est le thème le plus représenté au DNB.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 1 — Reconnaître la proportionnalité}}
\noindent Pour chacun des deux tableaux ci-dessous, dire s'il s'agit d'un tableau de proportionnalité. \textbf{Justifier}. Si oui, préciser le coefficient de proportionnalité.\par\addvspace{0.45em}
\noindent \textbf{Tableau A}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Nombre de sachets de croquettes & \cellcolor{blue!7}\bfseries 5 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 9 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 10 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 14 \\ \hline
Prix (en \texteuro{}) & 12,5 & 22,5 & 25 & 35 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent \textbf{Tableau B}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Nombre de sachets de croquettes & \cellcolor{blue!7}\bfseries 2 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 3 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 5 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 6 \\ \hline
Prix (en \texteuro{}) & 1,6 & 4,4 & 4 & 4,8 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 2 — Quatrième proportionnelle}}
\noindent Dans un magasin, \textbf{15 clés USB} coûtent \textbf{67,50 \texteuro{}}. Le prix est proportionnel à la quantité achetée.\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Calculer le prix d'\textbf{une seule clé USB}, en \texteuro{}.
  \item Calculer le prix de \textbf{23 clés USB}, en \texteuro{}.
  \item Compléter le tableau de proportionnalité ci-dessous.
\end{enumerate}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Nombre de clés USB & \cellcolor{blue!7}\bfseries 15 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 1 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 23 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 100 \\ \hline
Prix (en \texteuro{}) & 67,50 & … & … & … \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 3 — Pourcentages}}
\noindent Chaque question est indépendante. Détailler les calculs.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Dans une bibliothèque de \textbf{300 livres}, \textbf{10 \%} sont romans. Combien cela représente-t-il de livres ?
  \item Dans une bibliothèque de \textbf{400 livres}, \textbf{128} sont romans. Quel \textbf{pourcentage} des livres cela représente-t-il (réponse en \%) ?
  \item Dans une bibliothèque, les \textbf{60} romans représentent \textbf{25 \%} de l'effectif total. Quel est cet \textbf{effectif total}, en nombre de livres ?
\end{enumerate}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 4 — Augmentation et diminution en pourcentage}}
\noindent Chaque question est indépendante. On attend le \textbf{coefficient multiplicateur} dans les justifications.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Le prix d'une guitare est de \textbf{60 \texteuro{}}. Il augmente de \textbf{30 \%}. Calculer le \textbf{nouveau prix}, en \texteuro{}.
  \item Le prix d'un casque audio est de \textbf{150 \texteuro{}}. Il baisse de \textbf{30 \%} pendant les soldes. Calculer le \textbf{prix soldé}, en \texteuro{}.
  \item Le prix d'une console de jeu passe de \textbf{40 \texteuro{}} à \textbf{46 \texteuro{}}. Calculer le \textbf{taux d'évolution}, en \%, et préciser s'il s'agit d'une hausse ou d'une baisse.
\end{enumerate}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 5 — Débit d'un robinet}}
\noindent Un robinet remplit une cuve de \textbf{32 L} en \textbf{8 min}, à débit constant.\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Calculer le \textbf{débit} du robinet, en L/min.
  \item Quel volume d'eau, en L, coule-t-il en \textbf{30 min} ?
  \item Combien de temps faut-il, en minutes, pour remplir un bassin de \textbf{400 L} ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 1 — Correction}}
\noindent{\color{green!45!black}Un tableau est un \textbf{tableau de proportionnalité} lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant \textbf{toujours par le même nombre}. Ce nombre est le \textbf{coefficient de proportionnalité} : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{Tableau A} — on calcule chaque quotient :\par\addvspace{0.35em}
\begin{itemize}
  \item \(\dfrac{12{,}5}{5}\) = 2,5
  \item \(\dfrac{22{,}5}{9}\) = 2,5
  \item \(\dfrac{25}{10}\) = 2,5
  \item \(\dfrac{35}{14}\) = 2,5
\end{itemize}
\noindent Tous les quotients sont égaux à 2,5.\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Le tableau A \textbf{est} un tableau de proportionnalité, de coefficient 2,5.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{Tableau B} — on calcule de même :\par\addvspace{0.35em}
\begin{itemize}
  \item \(\dfrac{1{,}6}{2}\) = 0,8
  \item \(\dfrac{4{,}4}{3}\) \(\approx\) 1,467
  \item \(\dfrac{4}{5}\) = 0,8
  \item \(\dfrac{4{,}8}{6}\) = 0,8
\end{itemize}
\noindent Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 0,8, alors que la colonne « 3 » donne 1,467.\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Le tableau B \textbf{n'est pas} un tableau de proportionnalité.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Astuce :} il suffit de \textbf{deux} quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier \textbf{toutes} les colonnes.}\par\addvspace{0.4em}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 2 — Correction}}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Méthode 1 — le passage par l'unité.} On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{1.} Prix d'une seule clé USB :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}\(\dfrac{67{,}50}{15}\) = 4,50\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Une clé USB coûte 4,50 \texteuro{}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.} Prix de 23 clés USB : on multiplie le prix unitaire par 23.\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}4,50 \(\times\) 23 = 103,50\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries 23 clés USB coûtent 103,50 \texteuro{}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Méthode 2 — le produit en croix.} Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut \(\dfrac{67{,}50 \times  23}{15}\) = 103,50, ce qui donne bien le même résultat.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.} Tableau complété :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Nombre de clés USB & \cellcolor{blue!7}\bfseries 15 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 1 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 23 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 100 \\ \hline
Prix (en \texteuro{}) & 67,50 & \colorbox{yellow!35}{4,50} & \colorbox{yellow!35}{103,50} & \colorbox{yellow!35}{450,00} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\color{green!45!black}Le \textbf{coefficient de proportionnalité} de ce tableau est 4,50 : c'est le prix d'une clé USB, en \texteuro{}.}\par\addvspace{0.4em}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 3 — Correction}}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Prendre t \% d'une quantité}, c'est la multiplier par \(\dfrac{\text{t}}{100}\). Un pourcentage est une \textbf{fraction de dénominateur 100} : c'est une situation de proportionnalité.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{1.} On cherche 10 \% de 300 :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}300 \(\times\) \(\dfrac{10}{100}\) = \(\dfrac{300 \times  10}{100}\) = 30\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Il y a 30 romans.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Calculer le pourcentage} que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.} La part est 128 sur 400 :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}\(\dfrac{128}{400}\) \(\times\) 100 = 0,32 \(\times\) 100 = 32\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Cela représente 32 \% des livres.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Retrouver le total} connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.} 60 représentent 25 \% du total :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}\(\dfrac{60 \times  100}{25}\) = 240\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries L'effectif total est de 240 livres.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Vérification (à faire systématiquement) :} 25 \% de 240, c'est 240 \(\times\) 0,25 = 60. C'est bien la part de départ.}\par\addvspace{0.4em}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 4 — Correction}}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Coefficient multiplicateur.} Augmenter de t \%, c'est multiplier par 1 + \(\dfrac{\text{t}}{100}\). Diminuer de t \%, c'est multiplier par 1 \(-\) \(\dfrac{\text{t}}{100}\). Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{1.} Augmentation de 30 \% : le coefficient multiplicateur est\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}1 + \(\dfrac{30}{100}\) = 1 + 0,3 = 1,3\par\addvspace{0.3em}
\noindent\hspace{1.2em}60 \(\times\) 1,3 = 78,00\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Le nouveau prix d'une guitare est de 78 \texteuro{}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.} Diminution de 30 \% : le coefficient multiplicateur est\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}1 \(-\) \(\dfrac{30}{100}\) = 1 \(-\) 0,3 = 0,7\par\addvspace{0.3em}
\noindent\hspace{1.2em}150 \(\times\) 0,7 = 105,00\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Le prix soldé d'un casque audio est de 105 \texteuro{}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Piège classique :} une baisse de 30 \% ne se « rattrape » pas par une hausse de 30 \%. Reprendre 105 et l'augmenter de 30 \% donne 136,5, et non 150.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.} On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}\(\dfrac{46{,}00}{40}\) = 1,15\par\addvspace{0.3em}
\noindent On compare ce coefficient à 1 :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}1,15 \(-\) 1 = 0,15, soit 15 \%\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Le taux d'évolution est de 15 \%, il s'agit d'une hausse.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À retenir :} un coefficient \textbf{supérieur à 1} signale une hausse, un coefficient \textbf{inférieur à 1} une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.}\par\addvspace{0.4em}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 5 — Correction}}
\noindent{\color{green!45!black}Le \textbf{débit} est une grandeur composée : débit = \(\dfrac{\text{volume}}{\text{durée}}\). Le volume écoulé est proportionnel à la durée, et le débit est le coefficient de proportionnalité.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{1.} On divise le volume par la durée :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}\(\dfrac{32}{8}\) = 4\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Le débit du robinet est de 4 L/min.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.} En 30 min :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}4 \(\times\) 30 = 120\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Il coule 120 L.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.} Pour 400 L :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}\(\dfrac{400}{4}\) = 100\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Il faut 100 min, soit 1 h 40 min.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Vigilance sur les unités :} un débit en L/min multiplié par une durée en \textbf{minutes} donne bien des litres. Si la durée est donnée en heures, il faut d'abord la convertir en minutes.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
