\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\AtBeginDocument{%
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  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
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\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
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    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
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        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
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        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
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            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
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            -- cycle;
    \end{scope}
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}

\newcommand{\titre}{Proportionnalité}
\newcommand{\soustitre}{Cycle 4 --- Fiche n\textdegree 251}

\fancyhead[C]{%
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    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} PROP0251}
\end{minipage}%
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}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Les 5 exercices ci-dessous balaient la proportionnalité au cycle 4 : reconnaître une situation de proportionnalité, calculer une quatrième proportionnelle, appliquer et retrouver un pourcentage, traiter une augmentation ou une diminution avec le coefficient multiplicateur, et utiliser une grandeur composée (vitesse, débit, consommation, échelle). C'est le thème le plus représenté au DNB.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 1 — Reconnaître la proportionnalité}}
\noindent Pour chacun des deux tableaux ci-dessous, dire s'il s'agit d'un tableau de proportionnalité. \textbf{Justifier}. Si oui, préciser le coefficient de proportionnalité.\par\addvspace{0.45em}
\noindent \textbf{Tableau A}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Durée de remplissage (en min) & \cellcolor{blue!7}\bfseries 9 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 11 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 13 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 14 \\ \hline
Volume d'eau (en L) & 2,25 & 2,75 & 3,25 & 3,5 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent \textbf{Tableau B}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Durée de remplissage (en min) & \cellcolor{blue!7}\bfseries 3 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 8 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 9 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 13 \\ \hline
Volume d'eau (en L) & 3,75 & 10 & 13,25 & 16,25 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 2 — Quatrième proportionnelle}}
\noindent Dans un magasin, \textbf{7 places de cinéma} coûtent \textbf{10,85 \texteuro{}}. Le prix est proportionnel à la quantité achetée.\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Calculer le prix d'\textbf{une seule place de cinéma}, en \texteuro{}.
  \item Calculer le prix de \textbf{32 places de cinéma}, en \texteuro{}.
  \item Compléter le tableau de proportionnalité ci-dessous.
\end{enumerate}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Nombre de places de cinéma & \cellcolor{blue!7}\bfseries 7 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 1 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 32 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 100 \\ \hline
Prix (en \texteuro{}) & 10,85 & … & … & … \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 3 — Pourcentages}}
\noindent Chaque question est indépendante. Détailler les calculs.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Dans une commune de \textbf{360 habitants}, \textbf{20 \%} sont moins de 20 ans. Combien cela représente-t-il d'habitants ?
  \item Dans une commune de \textbf{800 habitants}, \textbf{128} sont moins de 20 ans. Quel \textbf{pourcentage} des habitants cela représente-t-il (réponse en \%) ?
  \item Dans une commune, les \textbf{36} moins de 20 ans représentent \textbf{15 \%} de l'effectif total. Quel est cet \textbf{effectif total}, en nombre d'habitants ?
\end{enumerate}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 4 — Augmentation et diminution en pourcentage}}
\noindent Chaque question est indépendante. On attend le \textbf{coefficient multiplicateur} dans les justifications.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Le prix d'un appareil photo est de \textbf{250 \texteuro{}}. Il augmente de \textbf{12 \%}. Calculer le \textbf{nouveau prix}, en \texteuro{}.
  \item Le prix d'un vélo est de \textbf{75 \texteuro{}}. Il baisse de \textbf{40 \%} pendant les soldes. Calculer le \textbf{prix soldé}, en \texteuro{}.
  \item Le prix d'un manteau passe de \textbf{80 \texteuro{}} à \textbf{92 \texteuro{}}. Calculer le \textbf{taux d'évolution}, en \%, et préciser s'il s'agit d'une hausse ou d'une baisse.
\end{enumerate}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 5 — Débit d'un robinet}}
\noindent Un robinet remplit une cuve de \textbf{60 L} en \textbf{12 min}, à débit constant.\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Calculer le \textbf{débit} du robinet, en L/min.
  \item Quel volume d'eau, en L, coule-t-il en \textbf{40 min} ?
  \item Combien de temps faut-il, en minutes, pour remplir un bassin de \textbf{500 L} ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 1 — Correction}}
\noindent{\color{green!45!black}Un tableau est un \textbf{tableau de proportionnalité} lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant \textbf{toujours par le même nombre}. Ce nombre est le \textbf{coefficient de proportionnalité} : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{Tableau A} — on calcule chaque quotient :\par\addvspace{0.35em}
\begin{itemize}
  \item \(\dfrac{2{,}25}{9}\) = 0,25
  \item \(\dfrac{2{,}75}{11}\) = 0,25
  \item \(\dfrac{3{,}25}{13}\) = 0,25
  \item \(\dfrac{3{,}5}{14}\) = 0,25
\end{itemize}
\noindent Tous les quotients sont égaux à 0,25.\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Le tableau A \textbf{est} un tableau de proportionnalité, de coefficient 0,25.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{Tableau B} — on calcule de même :\par\addvspace{0.35em}
\begin{itemize}
  \item \(\dfrac{3{,}75}{3}\) = 1,25
  \item \(\dfrac{10}{8}\) = 1,25
  \item \(\dfrac{13{,}25}{9}\) \(\approx\) 1,472
  \item \(\dfrac{16{,}25}{13}\) = 1,25
\end{itemize}
\noindent Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 1,25, alors que la colonne « 9 » donne 1,472.\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Le tableau B \textbf{n'est pas} un tableau de proportionnalité.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Astuce :} il suffit de \textbf{deux} quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier \textbf{toutes} les colonnes.}\par\addvspace{0.4em}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 2 — Correction}}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Méthode 1 — le passage par l'unité.} On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{1.} Prix d'une seule place de cinéma :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}\(\dfrac{10{,}85}{7}\) = 1,55\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Une place de cinéma coûte 1,55 \texteuro{}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.} Prix de 32 places de cinéma : on multiplie le prix unitaire par 32.\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}1,55 \(\times\) 32 = 49,60\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries 32 places de cinéma coûtent 49,60 \texteuro{}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Méthode 2 — le produit en croix.} Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut \(\dfrac{10{,}85 \times  32}{7}\) = 49,60, ce qui donne bien le même résultat.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.} Tableau complété :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Nombre de places de cinéma & \cellcolor{blue!7}\bfseries 7 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 1 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 32 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 100 \\ \hline
Prix (en \texteuro{}) & 10,85 & \colorbox{yellow!35}{1,55} & \colorbox{yellow!35}{49,60} & \colorbox{yellow!35}{155,00} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\color{green!45!black}Le \textbf{coefficient de proportionnalité} de ce tableau est 1,55 : c'est le prix d'une place de cinéma, en \texteuro{}.}\par\addvspace{0.4em}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 3 — Correction}}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Prendre t \% d'une quantité}, c'est la multiplier par \(\dfrac{\text{t}}{100}\). Un pourcentage est une \textbf{fraction de dénominateur 100} : c'est une situation de proportionnalité.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{1.} On cherche 20 \% de 360 :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}360 \(\times\) \(\dfrac{20}{100}\) = \(\dfrac{360 \times  20}{100}\) = 72\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Il y a 72 moins de 20 ans.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Calculer le pourcentage} que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.} La part est 128 sur 800 :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}\(\dfrac{128}{800}\) \(\times\) 100 = 0,16 \(\times\) 100 = 16\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Cela représente 16 \% des habitants.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Retrouver le total} connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.} 36 représentent 15 \% du total :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}\(\dfrac{36 \times  100}{15}\) = 240\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries L'effectif total est de 240 habitants.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Vérification (à faire systématiquement) :} 15 \% de 240, c'est 240 \(\times\) 0,15 = 36. C'est bien la part de départ.}\par\addvspace{0.4em}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 4 — Correction}}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Coefficient multiplicateur.} Augmenter de t \%, c'est multiplier par 1 + \(\dfrac{\text{t}}{100}\). Diminuer de t \%, c'est multiplier par 1 \(-\) \(\dfrac{\text{t}}{100}\). Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{1.} Augmentation de 12 \% : le coefficient multiplicateur est\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}1 + \(\dfrac{12}{100}\) = 1 + 0,12 = 1,12\par\addvspace{0.3em}
\noindent\hspace{1.2em}250 \(\times\) 1,12 = 280,00\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Le nouveau prix d'un appareil photo est de 280 \texteuro{}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.} Diminution de 40 \% : le coefficient multiplicateur est\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}1 \(-\) \(\dfrac{40}{100}\) = 1 \(-\) 0,4 = 0,6\par\addvspace{0.3em}
\noindent\hspace{1.2em}75 \(\times\) 0,6 = 45,00\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Le prix soldé d'un vélo est de 45 \texteuro{}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Piège classique :} une baisse de 40 \% ne se « rattrape » pas par une hausse de 40 \%. Reprendre 45 et l'augmenter de 40 \% donne 63, et non 75.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.} On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}\(\dfrac{92{,}00}{80}\) = 1,15\par\addvspace{0.3em}
\noindent On compare ce coefficient à 1 :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}1,15 \(-\) 1 = 0,15, soit 15 \%\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Le taux d'évolution est de 15 \%, il s'agit d'une hausse.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À retenir :} un coefficient \textbf{supérieur à 1} signale une hausse, un coefficient \textbf{inférieur à 1} une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.}\par\addvspace{0.4em}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 5 — Correction}}
\noindent{\color{green!45!black}Le \textbf{débit} est une grandeur composée : débit = \(\dfrac{\text{volume}}{\text{durée}}\). Le volume écoulé est proportionnel à la durée, et le débit est le coefficient de proportionnalité.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{1.} On divise le volume par la durée :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}\(\dfrac{60}{12}\) = 5\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Le débit du robinet est de 5 L/min.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.} En 40 min :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}5 \(\times\) 40 = 200\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Il coule 200 L.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.} Pour 500 L :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}\(\dfrac{500}{5}\) = 100\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Il faut 100 min, soit 1 h 40 min.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Vigilance sur les unités :} un débit en L/min multiplié par une durée en \textbf{minutes} donne bien des litres. Si la durée est donnée en heures, il faut d'abord la convertir en minutes.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
