\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\AtBeginDocument{%
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  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
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% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
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\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
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        postaction={decorate},
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        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
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        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
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            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
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            -- cycle;
    \end{scope}
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}

\newcommand{\titre}{Proportionnalité}
\newcommand{\soustitre}{Cycle 4 --- Fiche n\textdegree 33}

\fancyhead[C]{%
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    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} PROP0033}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Les 5 exercices ci-dessous balaient la proportionnalité au cycle 4 : reconnaître une situation de proportionnalité, calculer une quatrième proportionnelle, appliquer et retrouver un pourcentage, traiter une augmentation ou une diminution avec le coefficient multiplicateur, et utiliser une grandeur composée (vitesse, débit, consommation, échelle). C'est le thème le plus représenté au DNB.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 1 — Reconnaître la proportionnalité}}
\noindent Pour chacun des deux tableaux ci-dessous, dire s'il s'agit d'un tableau de proportionnalité. \textbf{Justifier}. Si oui, préciser le coefficient de proportionnalité.\par\addvspace{0.45em}
\noindent \textbf{Tableau A}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Nombre de sachets de croquettes & \cellcolor{blue!7}\bfseries 6 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 9 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 10 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 12 \\ \hline
Prix (en \texteuro{}) & 15 & 22,5 & 25 & 30 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent \textbf{Tableau B}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Nombre de sachets de croquettes & \cellcolor{blue!7}\bfseries 4 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 10 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 11 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 12 \\ \hline
Prix (en \texteuro{}) & 30 & 75 & 82,5 & 93 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 2 — Quatrième proportionnelle}}
\noindent Dans un magasin, \textbf{11 sachets de croquettes} coûtent \textbf{27,50 \texteuro{}}. Le prix est proportionnel à la quantité achetée.\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Calculer le prix d'\textbf{un seul sachet de croquettes}, en \texteuro{}.
  \item Calculer le prix de \textbf{30 sachets de croquettes}, en \texteuro{}.
  \item Compléter le tableau de proportionnalité ci-dessous.
\end{enumerate}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Nombre de sachets de croquettes & \cellcolor{blue!7}\bfseries 11 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 1 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 30 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 100 \\ \hline
Prix (en \texteuro{}) & 27,50 & … & … & … \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 3 — Pourcentages}}
\noindent Chaque question est indépendante. Détailler les calculs.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Dans une bibliothèque de \textbf{400 livres}, \textbf{60 \%} sont romans. Combien cela représente-t-il de livres ?
  \item Dans une bibliothèque de \textbf{500 livres}, \textbf{80} sont romans. Quel \textbf{pourcentage} des livres cela représente-t-il (réponse en \%) ?
  \item Dans une bibliothèque, les \textbf{70} romans représentent \textbf{20 \%} de l'effectif total. Quel est cet \textbf{effectif total}, en nombre de livres ?
\end{enumerate}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 4 — Augmentation et diminution en pourcentage}}
\noindent Chaque question est indépendante. On attend le \textbf{coefficient multiplicateur} dans les justifications.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Le prix d'un appareil photo est de \textbf{240 \texteuro{}}. Il augmente de \textbf{15 \%}. Calculer le \textbf{nouveau prix}, en \texteuro{}.
  \item Le prix d'un aspirateur est de \textbf{200 \texteuro{}}. Il baisse de \textbf{40 \%} pendant les soldes. Calculer le \textbf{prix soldé}, en \texteuro{}.
  \item Le prix d'un vélo passe de \textbf{80 \texteuro{}} à \textbf{60 \texteuro{}}. Calculer le \textbf{taux d'évolution}, en \%, et préciser s'il s'agit d'une hausse ou d'une baisse.
\end{enumerate}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 5 — Vitesse moyenne}}
\noindent Un train parcourt \textbf{250 km} en \textbf{2 h 30 min}, à vitesse supposée constante.\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Calculer la \textbf{vitesse moyenne} du train, en km/h.
  \item Quelle distance, en km, parcourt-il en \textbf{1 h} ?
  \item Combien de temps lui faut-il pour parcourir \textbf{300 km} ? (réponse en heures)
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 1 — Correction}}
\noindent{\color{green!45!black}Un tableau est un \textbf{tableau de proportionnalité} lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant \textbf{toujours par le même nombre}. Ce nombre est le \textbf{coefficient de proportionnalité} : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{Tableau A} — on calcule chaque quotient :\par\addvspace{0.35em}
\begin{itemize}
  \item \(\dfrac{15}{6}\) = 2,5
  \item \(\dfrac{22{,}5}{9}\) = 2,5
  \item \(\dfrac{25}{10}\) = 2,5
  \item \(\dfrac{30}{12}\) = 2,5
\end{itemize}
\noindent Tous les quotients sont égaux à 2,5.\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Le tableau A \textbf{est} un tableau de proportionnalité, de coefficient 2,5.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{Tableau B} — on calcule de même :\par\addvspace{0.35em}
\begin{itemize}
  \item \(\dfrac{30}{4}\) = 7,5
  \item \(\dfrac{75}{10}\) = 7,5
  \item \(\dfrac{82{,}5}{11}\) = 7,5
  \item \(\dfrac{93}{12}\) = 7,75
\end{itemize}
\noindent Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 7,5, alors que la colonne « 12 » donne 7,75.\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Le tableau B \textbf{n'est pas} un tableau de proportionnalité.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Astuce :} il suffit de \textbf{deux} quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier \textbf{toutes} les colonnes.}\par\addvspace{0.4em}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 2 — Correction}}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Méthode 1 — le passage par l'unité.} On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{1.} Prix d'un seul sachet de croquettes :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}\(\dfrac{27{,}50}{11}\) = 2,50\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un sachet de croquettes coûte 2,50 \texteuro{}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.} Prix de 30 sachets de croquettes : on multiplie le prix unitaire par 30.\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}2,50 \(\times\) 30 = 75,00\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries 30 sachets de croquettes coûtent 75 \texteuro{}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Méthode 2 — le produit en croix.} Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut \(\dfrac{27{,}50 \times  30}{11}\) = 75,00, ce qui donne bien le même résultat.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.} Tableau complété :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Nombre de sachets de croquettes & \cellcolor{blue!7}\bfseries 11 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 1 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 30 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 100 \\ \hline
Prix (en \texteuro{}) & 27,50 & \colorbox{yellow!35}{2,50} & \colorbox{yellow!35}{75,00} & \colorbox{yellow!35}{250,00} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\color{green!45!black}Le \textbf{coefficient de proportionnalité} de ce tableau est 2,50 : c'est le prix d'un sachet de croquettes, en \texteuro{}.}\par\addvspace{0.4em}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 3 — Correction}}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Prendre t \% d'une quantité}, c'est la multiplier par \(\dfrac{\text{t}}{100}\). Un pourcentage est une \textbf{fraction de dénominateur 100} : c'est une situation de proportionnalité.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{1.} On cherche 60 \% de 400 :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}400 \(\times\) \(\dfrac{60}{100}\) = \(\dfrac{400 \times  60}{100}\) = 240\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Il y a 240 romans.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Calculer le pourcentage} que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.} La part est 80 sur 500 :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}\(\dfrac{80}{500}\) \(\times\) 100 = 0,16 \(\times\) 100 = 16\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Cela représente 16 \% des livres.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Retrouver le total} connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.} 70 représentent 20 \% du total :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}\(\dfrac{70 \times  100}{20}\) = 350\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries L'effectif total est de 350 livres.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Vérification (à faire systématiquement) :} 20 \% de 350, c'est 350 \(\times\) 0,2 = 70. C'est bien la part de départ.}\par\addvspace{0.4em}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 4 — Correction}}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Coefficient multiplicateur.} Augmenter de t \%, c'est multiplier par 1 + \(\dfrac{\text{t}}{100}\). Diminuer de t \%, c'est multiplier par 1 \(-\) \(\dfrac{\text{t}}{100}\). Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{1.} Augmentation de 15 \% : le coefficient multiplicateur est\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}1 + \(\dfrac{15}{100}\) = 1 + 0,15 = 1,15\par\addvspace{0.3em}
\noindent\hspace{1.2em}240 \(\times\) 1,15 = 276,00\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Le nouveau prix d'un appareil photo est de 276 \texteuro{}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.} Diminution de 40 \% : le coefficient multiplicateur est\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}1 \(-\) \(\dfrac{40}{100}\) = 1 \(-\) 0,4 = 0,6\par\addvspace{0.3em}
\noindent\hspace{1.2em}200 \(\times\) 0,6 = 120,00\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Le prix soldé d'un aspirateur est de 120 \texteuro{}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Piège classique :} une baisse de 40 \% ne se « rattrape » pas par une hausse de 40 \%. Reprendre 120 et l'augmenter de 40 \% donne 168, et non 200.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.} On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}\(\dfrac{60{,}00}{80}\) = 0,75\par\addvspace{0.3em}
\noindent On compare ce coefficient à 1 :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}0,75 \(-\) 1 = \(-\)0,25, soit \(-\)25 \%\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Le taux d'évolution est de 25 \%, il s'agit d'une baisse.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À retenir :} un coefficient \textbf{supérieur à 1} signale une hausse, un coefficient \textbf{inférieur à 1} une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.}\par\addvspace{0.4em}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 5 — Correction}}
\noindent{\color{green!45!black}La \textbf{vitesse moyenne} est une grandeur composée : v = \(\dfrac{\text{distance}}{\text{durée}}\). Distance et durée sont proportionnelles, le coefficient de proportionnalité \textbf{est} la vitesse. Attention aux unités : des km et des h donnent des km/h.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{1.} On divise la distance par la durée :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}v = \(\dfrac{250}{2{,}5}\) = 100\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries La vitesse moyenne est de 100 km/h.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.} En 1 h, soit 1 h :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}d = 100 \(\times\) 1 = 100\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Le train parcourt 100 km.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.} Pour 300 km :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}t = \(\dfrac{300}{100}\) = 3\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Il lui faut 3 h.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Conversion utile :} une durée décimale se convertit en minutes en multipliant la partie décimale par 60 (0,25 h = 15 min ; 0,5 h = 30 min ; 0,75 h = 45 min).}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
