\documentclass[a4paper,11pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[a4paper,top=3.2cm,bottom=2cm,left=2cm,right=2cm]{geometry}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

\newcommand{\titre}{Proportionnalité}
\newcommand{\soustitre}{Cycle 4 --- Fiche n\textdegree 332}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/exercices_proportionnalite.php?x=332}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} PROP0332}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Les 5 exercices ci-dessous balaient la proportionnalité au cycle 4 : reconnaître une situation de proportionnalité, calculer une quatrième proportionnelle, appliquer et retrouver un pourcentage, traiter une augmentation ou une diminution avec le coefficient multiplicateur, et utiliser une grandeur composée (vitesse, débit, consommation, échelle). C'est le thème le plus représenté au DNB.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 1 — Reconnaître la proportionnalité}}
\noindent Pour chacun des deux tableaux ci-dessous, dire s'il s'agit d'un tableau de proportionnalité. \textbf{Justifier}. Si oui, préciser le coefficient de proportionnalité.\par\addvspace{0.45em}
\noindent \textbf{Tableau A}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Masse de pommes (en kg) & \cellcolor{blue!7}\bfseries 4 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 8 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 11 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 13 \\ \hline
Prix (en \texteuro{}) & 3 & 6 & 8,25 & 9,75 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent \textbf{Tableau B}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Masse de pommes (en kg) & \cellcolor{blue!7}\bfseries 5 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 10 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 13 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 14 \\ \hline
Prix (en \texteuro{}) & 2,5 & 7,5 & 6,5 & 7 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 2 — Quatrième proportionnelle}}
\noindent Dans un magasin, \textbf{13 croissants} coûtent \textbf{9,75 \texteuro{}}. Le prix est proportionnel à la quantité achetée.\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Calculer le prix d'\textbf{un seul croissant}, en \texteuro{}.
  \item Calculer le prix de \textbf{22 croissants}, en \texteuro{}.
  \item Compléter le tableau de proportionnalité ci-dessous.
\end{enumerate}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Nombre de croissants & \cellcolor{blue!7}\bfseries 13 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 1 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 22 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 100 \\ \hline
Prix (en \texteuro{}) & 9,75 & … & … & … \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 3 — Pourcentages}}
\noindent Chaque question est indépendante. Détailler les calculs.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Dans une commune de \textbf{360 habitants}, \textbf{40 \%} sont moins de 20 ans. Combien cela représente-t-il d'habitants ?
  \item Dans une commune de \textbf{200 habitants}, \textbf{72} sont moins de 20 ans. Quel \textbf{pourcentage} des habitants cela représente-t-il (réponse en \%) ?
  \item Dans une commune, les \textbf{75} moins de 20 ans représentent \textbf{25 \%} de l'effectif total. Quel est cet \textbf{effectif total}, en nombre d'habitants ?
\end{enumerate}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 4 — Augmentation et diminution en pourcentage}}
\noindent Chaque question est indépendante. On attend le \textbf{coefficient multiplicateur} dans les justifications.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Le prix d'un casque audio est de \textbf{80 \texteuro{}}. Il augmente de \textbf{20 \%}. Calculer le \textbf{nouveau prix}, en \texteuro{}.
  \item Le prix d'un smartphone est de \textbf{125 \texteuro{}}. Il baisse de \textbf{40 \%} pendant les soldes. Calculer le \textbf{prix soldé}, en \texteuro{}.
  \item Le prix d'un aspirateur passe de \textbf{150 \texteuro{}} à \textbf{135 \texteuro{}}. Calculer le \textbf{taux d'évolution}, en \%, et préciser s'il s'agit d'une hausse ou d'une baisse.
\end{enumerate}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 5 — Vitesse moyenne}}
\noindent Un train parcourt \textbf{260 km} en \textbf{3 h 15 min}, à vitesse supposée constante.\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Calculer la \textbf{vitesse moyenne} du train, en km/h.
  \item Quelle distance, en km, parcourt-il en \textbf{1 h 30 min} ?
  \item Combien de temps lui faut-il pour parcourir \textbf{240 km} ? (réponse en heures)
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 1 — Correction}}
\noindent{\color{green!45!black}Un tableau est un \textbf{tableau de proportionnalité} lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant \textbf{toujours par le même nombre}. Ce nombre est le \textbf{coefficient de proportionnalité} : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{Tableau A} — on calcule chaque quotient :\par\addvspace{0.35em}
\begin{itemize}
  \item \(\dfrac{3}{4}\) = 0,75
  \item \(\dfrac{6}{8}\) = 0,75
  \item \(\dfrac{8{,}25}{11}\) = 0,75
  \item \(\dfrac{9{,}75}{13}\) = 0,75
\end{itemize}
\noindent Tous les quotients sont égaux à 0,75.\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Le tableau A \textbf{est} un tableau de proportionnalité, de coefficient 0,75.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{Tableau B} — on calcule de même :\par\addvspace{0.35em}
\begin{itemize}
  \item \(\dfrac{2{,}5}{5}\) = 0,5
  \item \(\dfrac{7{,}5}{10}\) = 0,75
  \item \(\dfrac{6{,}5}{13}\) = 0,5
  \item \(\dfrac{7}{14}\) = 0,5
\end{itemize}
\noindent Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 0,5, alors que la colonne « 10 » donne 0,75.\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Le tableau B \textbf{n'est pas} un tableau de proportionnalité.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Astuce :} il suffit de \textbf{deux} quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier \textbf{toutes} les colonnes.}\par\addvspace{0.4em}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 2 — Correction}}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Méthode 1 — le passage par l'unité.} On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{1.} Prix d'un seul croissant :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}\(\dfrac{9{,}75}{13}\) = 0,75\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un croissant coûte 0,75 \texteuro{}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.} Prix de 22 croissants : on multiplie le prix unitaire par 22.\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}0,75 \(\times\) 22 = 16,50\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries 22 croissants coûtent 16,50 \texteuro{}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Méthode 2 — le produit en croix.} Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut \(\dfrac{9{,}75 \times  22}{13}\) = 16,50, ce qui donne bien le même résultat.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.} Tableau complété :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Nombre de croissants & \cellcolor{blue!7}\bfseries 13 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 1 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 22 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 100 \\ \hline
Prix (en \texteuro{}) & 9,75 & \colorbox{yellow!35}{0,75} & \colorbox{yellow!35}{16,50} & \colorbox{yellow!35}{75,00} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\color{green!45!black}Le \textbf{coefficient de proportionnalité} de ce tableau est 0,75 : c'est le prix d'un croissant, en \texteuro{}.}\par\addvspace{0.4em}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 3 — Correction}}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Prendre t \% d'une quantité}, c'est la multiplier par \(\dfrac{\text{t}}{100}\). Un pourcentage est une \textbf{fraction de dénominateur 100} : c'est une situation de proportionnalité.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{1.} On cherche 40 \% de 360 :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}360 \(\times\) \(\dfrac{40}{100}\) = \(\dfrac{360 \times  40}{100}\) = 144\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Il y a 144 moins de 20 ans.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Calculer le pourcentage} que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.} La part est 72 sur 200 :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}\(\dfrac{72}{200}\) \(\times\) 100 = 0,36 \(\times\) 100 = 36\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Cela représente 36 \% des habitants.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Retrouver le total} connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.} 75 représentent 25 \% du total :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}\(\dfrac{75 \times  100}{25}\) = 300\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries L'effectif total est de 300 habitants.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Vérification (à faire systématiquement) :} 25 \% de 300, c'est 300 \(\times\) 0,25 = 75. C'est bien la part de départ.}\par\addvspace{0.4em}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 4 — Correction}}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Coefficient multiplicateur.} Augmenter de t \%, c'est multiplier par 1 + \(\dfrac{\text{t}}{100}\). Diminuer de t \%, c'est multiplier par 1 \(-\) \(\dfrac{\text{t}}{100}\). Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{1.} Augmentation de 20 \% : le coefficient multiplicateur est\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}1 + \(\dfrac{20}{100}\) = 1 + 0,2 = 1,2\par\addvspace{0.3em}
\noindent\hspace{1.2em}80 \(\times\) 1,2 = 96,00\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Le nouveau prix d'un casque audio est de 96 \texteuro{}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.} Diminution de 40 \% : le coefficient multiplicateur est\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}1 \(-\) \(\dfrac{40}{100}\) = 1 \(-\) 0,4 = 0,6\par\addvspace{0.3em}
\noindent\hspace{1.2em}125 \(\times\) 0,6 = 75,00\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Le prix soldé d'un smartphone est de 75 \texteuro{}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Piège classique :} une baisse de 40 \% ne se « rattrape » pas par une hausse de 40 \%. Reprendre 75 et l'augmenter de 40 \% donne 105, et non 125.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.} On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}\(\dfrac{135{,}00}{150}\) = 0,9\par\addvspace{0.3em}
\noindent On compare ce coefficient à 1 :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}0,9 \(-\) 1 = \(-\)0,1, soit \(-\)10 \%\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Le taux d'évolution est de 10 \%, il s'agit d'une baisse.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À retenir :} un coefficient \textbf{supérieur à 1} signale une hausse, un coefficient \textbf{inférieur à 1} une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.}\par\addvspace{0.4em}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 5 — Correction}}
\noindent{\color{green!45!black}La \textbf{vitesse moyenne} est une grandeur composée : v = \(\dfrac{\text{distance}}{\text{durée}}\). Distance et durée sont proportionnelles, le coefficient de proportionnalité \textbf{est} la vitesse. Attention aux unités : des km et des h donnent des km/h.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{1.} On divise la distance par la durée :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}v = \(\dfrac{260}{3{,}25}\) = 80\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries La vitesse moyenne est de 80 km/h.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.} En 1 h 30 min, soit 1,5 h :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}d = 80 \(\times\) 1,5 = 120\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Le train parcourt 120 km.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.} Pour 240 km :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}t = \(\dfrac{240}{80}\) = 3\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Il lui faut 3 h.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Conversion utile :} une durée décimale se convertit en minutes en multipliant la partie décimale par 60 (0,25 h = 15 min ; 0,5 h = 30 min ; 0,75 h = 45 min).}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
