\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
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% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
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\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
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        postaction={decorate},
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    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
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        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
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            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
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            -- cycle;
    \end{scope}
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}

\newcommand{\titre}{Proportionnalité}
\newcommand{\soustitre}{Cycle 4 --- Fiche n\textdegree 386}

\fancyhead[C]{%
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    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} PROP0386}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Les 5 exercices ci-dessous balaient la proportionnalité au cycle 4 : reconnaître une situation de proportionnalité, calculer une quatrième proportionnelle, appliquer et retrouver un pourcentage, traiter une augmentation ou une diminution avec le coefficient multiplicateur, et utiliser une grandeur composée (vitesse, débit, consommation, échelle). C'est le thème le plus représenté au DNB.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 1 — Reconnaître la proportionnalité}}
\noindent Pour chacun des deux tableaux ci-dessous, dire s'il s'agit d'un tableau de proportionnalité. \textbf{Justifier}. Si oui, préciser le coefficient de proportionnalité.\par\addvspace{0.45em}
\noindent \textbf{Tableau A}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Longueur de tissu (en m) & \cellcolor{blue!7}\bfseries 2 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 8 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 9 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 10 \\ \hline
Prix (en \texteuro{}) & 0,5 & 2 & 2,25 & 2,5 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent \textbf{Tableau B}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Longueur de tissu (en m) & \cellcolor{blue!7}\bfseries 2 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 5 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 6 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 12 \\ \hline
Prix (en \texteuro{}) & 6 & 15 & 18 & 38,5 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 2 — Quatrième proportionnelle}}
\noindent Dans un magasin, \textbf{14 stylos} coûtent \textbf{75,60 \texteuro{}}. Le prix est proportionnel à la quantité achetée.\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Calculer le prix d'\textbf{un seul stylo}, en \texteuro{}.
  \item Calculer le prix de \textbf{25 stylos}, en \texteuro{}.
  \item Compléter le tableau de proportionnalité ci-dessous.
\end{enumerate}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Nombre de stylos & \cellcolor{blue!7}\bfseries 14 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 1 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 25 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 100 \\ \hline
Prix (en \texteuro{}) & 75,60 & … & … & … \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 3 — Pourcentages}}
\noindent Chaque question est indépendante. Détailler les calculs.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Dans un festival de \textbf{160 festivaliers}, \textbf{25 \%} sont venus en train. Combien cela représente-t-il de festivaliers ?
  \item Dans un festival de \textbf{300 festivaliers}, \textbf{108} sont venus en train. Quel \textbf{pourcentage} des festivaliers cela représente-t-il (réponse en \%) ?
  \item Dans un festival, les \textbf{8} venus en train représentent \textbf{4 \%} de l'effectif total. Quel est cet \textbf{effectif total}, en nombre de festivaliers ?
\end{enumerate}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 4 — Augmentation et diminution en pourcentage}}
\noindent Chaque question est indépendante. On attend le \textbf{coefficient multiplicateur} dans les justifications.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Le prix d'une guitare est de \textbf{80 \texteuro{}}. Il augmente de \textbf{12 \%}. Calculer le \textbf{nouveau prix}, en \texteuro{}.
  \item Le prix d'une paire de baskets est de \textbf{300 \texteuro{}}. Il baisse de \textbf{25 \%} pendant les soldes. Calculer le \textbf{prix soldé}, en \texteuro{}.
  \item Le prix d'un manteau passe de \textbf{50 \texteuro{}} à \textbf{60 \texteuro{}}. Calculer le \textbf{taux d'évolution}, en \%, et préciser s'il s'agit d'une hausse ou d'une baisse.
\end{enumerate}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 5 — Débit d'un robinet}}
\noindent Un robinet remplit une cuve de \textbf{200 L} en \textbf{8 min}, à débit constant.\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Calculer le \textbf{débit} du robinet, en L/min.
  \item Quel volume d'eau, en L, coule-t-il en \textbf{40 min} ?
  \item Combien de temps faut-il, en minutes, pour remplir un bassin de \textbf{2500 L} ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 1 — Correction}}
\noindent{\color{green!45!black}Un tableau est un \textbf{tableau de proportionnalité} lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant \textbf{toujours par le même nombre}. Ce nombre est le \textbf{coefficient de proportionnalité} : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{Tableau A} — on calcule chaque quotient :\par\addvspace{0.35em}
\begin{itemize}
  \item \(\dfrac{0{,}5}{2}\) = 0,25
  \item \(\dfrac{2}{8}\) = 0,25
  \item \(\dfrac{2{,}25}{9}\) = 0,25
  \item \(\dfrac{2{,}5}{10}\) = 0,25
\end{itemize}
\noindent Tous les quotients sont égaux à 0,25.\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Le tableau A \textbf{est} un tableau de proportionnalité, de coefficient 0,25.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{Tableau B} — on calcule de même :\par\addvspace{0.35em}
\begin{itemize}
  \item \(\dfrac{6}{2}\) = 3
  \item \(\dfrac{15}{5}\) = 3
  \item \(\dfrac{18}{6}\) = 3
  \item \(\dfrac{38{,}5}{12}\) \(\approx\) 3,208
\end{itemize}
\noindent Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 3, alors que la colonne « 12 » donne 3,208.\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Le tableau B \textbf{n'est pas} un tableau de proportionnalité.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Astuce :} il suffit de \textbf{deux} quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier \textbf{toutes} les colonnes.}\par\addvspace{0.4em}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 2 — Correction}}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Méthode 1 — le passage par l'unité.} On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{1.} Prix d'un seul stylo :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}\(\dfrac{75{,}60}{14}\) = 5,40\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un stylo coûte 5,40 \texteuro{}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.} Prix de 25 stylos : on multiplie le prix unitaire par 25.\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}5,40 \(\times\) 25 = 135,00\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries 25 stylos coûtent 135 \texteuro{}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Méthode 2 — le produit en croix.} Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut \(\dfrac{75{,}60 \times  25}{14}\) = 135,00, ce qui donne bien le même résultat.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.} Tableau complété :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Nombre de stylos & \cellcolor{blue!7}\bfseries 14 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 1 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 25 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 100 \\ \hline
Prix (en \texteuro{}) & 75,60 & \colorbox{yellow!35}{5,40} & \colorbox{yellow!35}{135,00} & \colorbox{yellow!35}{540,00} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\color{green!45!black}Le \textbf{coefficient de proportionnalité} de ce tableau est 5,40 : c'est le prix d'un stylo, en \texteuro{}.}\par\addvspace{0.4em}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 3 — Correction}}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Prendre t \% d'une quantité}, c'est la multiplier par \(\dfrac{\text{t}}{100}\). Un pourcentage est une \textbf{fraction de dénominateur 100} : c'est une situation de proportionnalité.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{1.} On cherche 25 \% de 160 :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}160 \(\times\) \(\dfrac{25}{100}\) = \(\dfrac{160 \times  25}{100}\) = 40\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Il y a 40 venus en train.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Calculer le pourcentage} que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.} La part est 108 sur 300 :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}\(\dfrac{108}{300}\) \(\times\) 100 = 0,36 \(\times\) 100 = 36\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Cela représente 36 \% des festivaliers.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Retrouver le total} connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.} 8 représentent 4 \% du total :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}\(\dfrac{8 \times  100}{4}\) = 200\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries L'effectif total est de 200 festivaliers.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Vérification (à faire systématiquement) :} 4 \% de 200, c'est 200 \(\times\) 0,04 = 8. C'est bien la part de départ.}\par\addvspace{0.4em}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 4 — Correction}}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Coefficient multiplicateur.} Augmenter de t \%, c'est multiplier par 1 + \(\dfrac{\text{t}}{100}\). Diminuer de t \%, c'est multiplier par 1 \(-\) \(\dfrac{\text{t}}{100}\). Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{1.} Augmentation de 12 \% : le coefficient multiplicateur est\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}1 + \(\dfrac{12}{100}\) = 1 + 0,12 = 1,12\par\addvspace{0.3em}
\noindent\hspace{1.2em}80 \(\times\) 1,12 = 89,60\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Le nouveau prix d'une guitare est de 89,60 \texteuro{}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.} Diminution de 25 \% : le coefficient multiplicateur est\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}1 \(-\) \(\dfrac{25}{100}\) = 1 \(-\) 0,25 = 0,75\par\addvspace{0.3em}
\noindent\hspace{1.2em}300 \(\times\) 0,75 = 225,00\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Le prix soldé d'une paire de baskets est de 225 \texteuro{}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Piège classique :} une baisse de 25 \% ne se « rattrape » pas par une hausse de 25 \%. Reprendre 225 et l'augmenter de 25 \% donne 281,25, et non 300.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.} On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}\(\dfrac{60{,}00}{50}\) = 1,2\par\addvspace{0.3em}
\noindent On compare ce coefficient à 1 :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}1,2 \(-\) 1 = 0,2, soit 20 \%\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Le taux d'évolution est de 20 \%, il s'agit d'une hausse.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À retenir :} un coefficient \textbf{supérieur à 1} signale une hausse, un coefficient \textbf{inférieur à 1} une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.}\par\addvspace{0.4em}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 5 — Correction}}
\noindent{\color{green!45!black}Le \textbf{débit} est une grandeur composée : débit = \(\dfrac{\text{volume}}{\text{durée}}\). Le volume écoulé est proportionnel à la durée, et le débit est le coefficient de proportionnalité.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{1.} On divise le volume par la durée :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}\(\dfrac{200}{8}\) = 25\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Le débit du robinet est de 25 L/min.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.} En 40 min :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}25 \(\times\) 40 = 1000\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Il coule 1000 L.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.} Pour 2500 L :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}\(\dfrac{2500}{25}\) = 100\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Il faut 100 min, soit 1 h 40 min.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Vigilance sur les unités :} un débit en L/min multiplié par une durée en \textbf{minutes} donne bien des litres. Si la durée est donnée en heures, il faut d'abord la convertir en minutes.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
