\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\AtBeginDocument{%
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  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
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\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
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    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
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        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
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            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
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            -- cycle;
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}

\newcommand{\titre}{Proportionnalité}
\newcommand{\soustitre}{Cycle 4 --- Fiche n\textdegree 6}

\fancyhead[C]{%
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    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} PROP0006}
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}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Les 5 exercices ci-dessous balaient la proportionnalité au cycle 4 : reconnaître une situation de proportionnalité, calculer une quatrième proportionnelle, appliquer et retrouver un pourcentage, traiter une augmentation ou une diminution avec le coefficient multiplicateur, et utiliser une grandeur composée (vitesse, débit, consommation, échelle). C'est le thème le plus représenté au DNB.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 1 — Reconnaître la proportionnalité}}
\noindent Pour chacun des deux tableaux ci-dessous, dire s'il s'agit d'un tableau de proportionnalité. \textbf{Justifier}. Si oui, préciser le coefficient de proportionnalité.\par\addvspace{0.45em}
\noindent \textbf{Tableau A}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Nombre de cahiers & \cellcolor{blue!7}\bfseries 2 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 6 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 12 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 14 \\ \hline
Prix (en \texteuro{}) & 15 & 45 & 90 & 105 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent \textbf{Tableau B}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Nombre de cahiers & \cellcolor{blue!7}\bfseries 7 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 9 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 11 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 12 \\ \hline
Prix (en \texteuro{}) & 8,4 & 10,8 & 14,2 & 14,4 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 2 — Quatrième proportionnelle}}
\noindent Dans un magasin, \textbf{7 cahiers} coûtent \textbf{15,40 \texteuro{}}. Le prix est proportionnel à la quantité achetée.\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Calculer le prix d'\textbf{un seul cahier}, en \texteuro{}.
  \item Calculer le prix de \textbf{39 cahiers}, en \texteuro{}.
  \item Compléter le tableau de proportionnalité ci-dessous.
\end{enumerate}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Nombre de cahiers & \cellcolor{blue!7}\bfseries 7 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 1 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 39 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 100 \\ \hline
Prix (en \texteuro{}) & 15,40 & … & … & … \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 3 — Pourcentages}}
\noindent Chaque question est indépendante. Détailler les calculs.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Dans un lycée de \textbf{320 élèves}, \textbf{40 \%} sont internes. Combien cela représente-t-il d'élèves ?
  \item Dans un lycée de \textbf{400 élèves}, \textbf{64} sont internes. Quel \textbf{pourcentage} des élèves cela représente-t-il (réponse en \%) ?
  \item Dans un lycée, les \textbf{24} internes représentent \textbf{12 \%} de l'effectif total. Quel est cet \textbf{effectif total}, en nombre d'élèves ?
\end{enumerate}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 4 — Augmentation et diminution en pourcentage}}
\noindent Chaque question est indépendante. On attend le \textbf{coefficient multiplicateur} dans les justifications.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Le prix d'une trottinette est de \textbf{180 \texteuro{}}. Il augmente de \textbf{25 \%}. Calculer le \textbf{nouveau prix}, en \texteuro{}.
  \item Le prix d'un casque audio est de \textbf{150 \texteuro{}}. Il baisse de \textbf{30 \%} pendant les soldes. Calculer le \textbf{prix soldé}, en \texteuro{}.
  \item Le prix d'un smartphone passe de \textbf{50 \texteuro{}} à \textbf{42,50 \texteuro{}}. Calculer le \textbf{taux d'évolution}, en \%, et préciser s'il s'agit d'une hausse ou d'une baisse.
\end{enumerate}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 5 — Consommation de carburant}}
\noindent Une voiture consomme en moyenne \textbf{5 L aux 100 km}.\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Quel volume de carburant, en L, consomme-t-elle sur un trajet de \textbf{200 km} ?
  \item Le carburant coûte \textbf{1,90 \texteuro{} le litre}. Quel est le \textbf{coût du trajet}, en \texteuro{} (arrondir au centime) ?
  \item La consommation est-elle proportionnelle à la distance parcourue ? Justifier.
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 1 — Correction}}
\noindent{\color{green!45!black}Un tableau est un \textbf{tableau de proportionnalité} lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant \textbf{toujours par le même nombre}. Ce nombre est le \textbf{coefficient de proportionnalité} : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{Tableau A} — on calcule chaque quotient :\par\addvspace{0.35em}
\begin{itemize}
  \item \(\dfrac{15}{2}\) = 7,5
  \item \(\dfrac{45}{6}\) = 7,5
  \item \(\dfrac{90}{12}\) = 7,5
  \item \(\dfrac{105}{14}\) = 7,5
\end{itemize}
\noindent Tous les quotients sont égaux à 7,5.\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Le tableau A \textbf{est} un tableau de proportionnalité, de coefficient 7,5.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{Tableau B} — on calcule de même :\par\addvspace{0.35em}
\begin{itemize}
  \item \(\dfrac{8{,}4}{7}\) = 1,2
  \item \(\dfrac{10{,}8}{9}\) = 1,2
  \item \(\dfrac{14{,}2}{11}\) \(\approx\) 1,291
  \item \(\dfrac{14{,}4}{12}\) = 1,2
\end{itemize}
\noindent Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 1,2, alors que la colonne « 11 » donne 1,291.\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Le tableau B \textbf{n'est pas} un tableau de proportionnalité.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Astuce :} il suffit de \textbf{deux} quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier \textbf{toutes} les colonnes.}\par\addvspace{0.4em}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 2 — Correction}}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Méthode 1 — le passage par l'unité.} On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{1.} Prix d'un seul cahier :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}\(\dfrac{15{,}40}{7}\) = 2,20\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un cahier coûte 2,20 \texteuro{}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.} Prix de 39 cahiers : on multiplie le prix unitaire par 39.\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}2,20 \(\times\) 39 = 85,80\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries 39 cahiers coûtent 85,80 \texteuro{}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Méthode 2 — le produit en croix.} Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut \(\dfrac{15{,}40 \times  39}{7}\) = 85,80, ce qui donne bien le même résultat.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.} Tableau complété :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Nombre de cahiers & \cellcolor{blue!7}\bfseries 7 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 1 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 39 & \cellcolor{blue!7}\bfseries 100 \\ \hline
Prix (en \texteuro{}) & 15,40 & \colorbox{yellow!35}{2,20} & \colorbox{yellow!35}{85,80} & \colorbox{yellow!35}{220,00} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\color{green!45!black}Le \textbf{coefficient de proportionnalité} de ce tableau est 2,20 : c'est le prix d'un cahier, en \texteuro{}.}\par\addvspace{0.4em}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 3 — Correction}}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Prendre t \% d'une quantité}, c'est la multiplier par \(\dfrac{\text{t}}{100}\). Un pourcentage est une \textbf{fraction de dénominateur 100} : c'est une situation de proportionnalité.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{1.} On cherche 40 \% de 320 :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}320 \(\times\) \(\dfrac{40}{100}\) = \(\dfrac{320 \times  40}{100}\) = 128\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Il y a 128 internes.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Calculer le pourcentage} que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.} La part est 64 sur 400 :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}\(\dfrac{64}{400}\) \(\times\) 100 = 0,16 \(\times\) 100 = 16\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Cela représente 16 \% des élèves.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Retrouver le total} connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.} 24 représentent 12 \% du total :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}\(\dfrac{24 \times  100}{12}\) = 200\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries L'effectif total est de 200 élèves.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Vérification (à faire systématiquement) :} 12 \% de 200, c'est 200 \(\times\) 0,12 = 24. C'est bien la part de départ.}\par\addvspace{0.4em}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 4 — Correction}}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Coefficient multiplicateur.} Augmenter de t \%, c'est multiplier par 1 + \(\dfrac{\text{t}}{100}\). Diminuer de t \%, c'est multiplier par 1 \(-\) \(\dfrac{\text{t}}{100}\). Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{1.} Augmentation de 25 \% : le coefficient multiplicateur est\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}1 + \(\dfrac{25}{100}\) = 1 + 0,25 = 1,25\par\addvspace{0.3em}
\noindent\hspace{1.2em}180 \(\times\) 1,25 = 225,00\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Le nouveau prix d'une trottinette est de 225 \texteuro{}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.} Diminution de 30 \% : le coefficient multiplicateur est\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}1 \(-\) \(\dfrac{30}{100}\) = 1 \(-\) 0,3 = 0,7\par\addvspace{0.3em}
\noindent\hspace{1.2em}150 \(\times\) 0,7 = 105,00\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Le prix soldé d'un casque audio est de 105 \texteuro{}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Piège classique :} une baisse de 30 \% ne se « rattrape » pas par une hausse de 30 \%. Reprendre 105 et l'augmenter de 30 \% donne 136,5, et non 150.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.} On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}\(\dfrac{42{,}50}{50}\) = 0,85\par\addvspace{0.3em}
\noindent On compare ce coefficient à 1 :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}0,85 \(-\) 1 = \(-\)0,15, soit \(-\)15 \%\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Le taux d'évolution est de 15 \%, il s'agit d'une baisse.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À retenir :} un coefficient \textbf{supérieur à 1} signale une hausse, un coefficient \textbf{inférieur à 1} une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.}\par\addvspace{0.4em}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercice 5 — Correction}}
\noindent{\color{green!45!black}« Consommer \(\dfrac{5}{\text{100 km}}\) » signifie que le volume consommé est \textbf{proportionnel} à la distance, de coefficient \(\dfrac{5}{100}\) = 0,05 litre par kilomètre.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{1.} Pour 200 km :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}\(\dfrac{5 \times  200}{100}\) = 10\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries La voiture consomme 10 L.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.} Coût du trajet :\par\addvspace{0.35em}
\noindent\hspace{1.2em}10 \(\times\) 1,9 = 19 = 19\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Le trajet coûte environ 19 \texteuro{}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Oui : on multiplie toujours la distance par le même nombre (0,05 L/km) pour obtenir le volume consommé. C'est donc bien une situation de proportionnalité.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Nuance à connaître :} ce modèle est une \textbf{moyenne}. En pratique la consommation réelle dépend de la vitesse et du relief : la proportionnalité est un modèle simplifié, pas une loi exacte.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
