\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

\newcommand{\titre}{Autour de Pythagore}
\newcommand{\soustitre}{Cycle 4 --- Fiche n\textdegree 130}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/exercices_pythagore.php?x=130}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} PYTH0130}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\sloppy

\needspace{5\baselineskip}
\section*{ Exercice 1 }

 BWH est un triangle rectangle en B, tel que BW = 27{,}9 km et WH = 145{,}5 km.

Après avoir fait un schéma, calcule, en rédigeant la longueur du segment [BH].

 
\needspace{5\baselineskip}
\section*{ Exercice 2 }

 SDL est un triangle tel que :

\begin{itemize}
\item  SD = 21 m
\item  SL = 41{,}6 m
\item  DL = 46{,}6 m
\end{itemize}

Ce triangle est-il rectangle ? Justifie.


\needspace{5\baselineskip}
\section*{ Exercice 3 }

 MSA est un triangle rectangle en M, tel que MS = 16 hm et MA = 159{,}6 hm.

Après avoir fait un schéma, calcule, en rédigeant la longueur du segment [SA].

 
\needspace{5\baselineskip}
\section*{ Exercice 4 }

 GBP est un triangle tel que :

\begin{itemize}
\item  GB = 116{,}8 cm
\item  GP = 326{,}4 cm
\item  BP = 346{,}4 cm
\end{itemize}

Ce triangle est-il rectangle ? Justifie.


\needspace{5\baselineskip}
\section*{ Exercice 5 }

 HPA est un triangle rectangle en H, tel que HA = 112 dm et PA = 113 dm.

Après avoir fait un schéma, calcule, en rédigeant la longueur du segment [HP].

 \newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\par\medskip\noindent\begin{minipage}{\linewidth}
\subsection*{ Exercice 1 }
 
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.95,line width=0.6pt]
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (0,2.7);
\coordinate (C) at (3.9,0);
\draw[thick] (A)--(B)--(C)--cycle;
\draw (0,0.34)--(0.34,0.34)--(0.34,0);
\node[below left] at (A) {$\mathrm{B}$};
\node[above left] at (B) {$\mathrm{W}$};
\node[below right] at (C) {$\mathrm{H}$};
\node[left] at (0,1.35) {27,9};
\node[below] at (1.95,0) {?};
\node[above right] at (1.95,1.35) {145,5};
\end{tikzpicture}
\end{center}


 (En km)

Dans le triangle BWH rectangle en B d'après le théorème de Pythagore :

 WH\textsuperscript{2} = BW\textsuperscript{2} + BH\textsuperscript{2}

145{,}5\textsuperscript{2} = 27{,}9\textsuperscript{2} + BH\textsuperscript{2}

21170{,}25 = 778{,}41 + BH\textsuperscript{2}

BH\textsuperscript{2} = 21170{,}25 - 778{,}41

BH\textsuperscript{2} = 20391{,}84

BH = \(\sqrt{20391{,}84}\) km

BH = 142{,}8 km
\end{minipage}\par
\par\medskip\noindent\begin{minipage}{\linewidth}
\subsection*{ Exercice 2 }
 
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.95,line width=0.6pt]
\coordinate (A) at (0.8,2.5);
\coordinate (B) at (0,0);
\coordinate (C) at (3.9,0);
\draw[thick] (A)--(B)--(C)--cycle;
\node[above] at (A) {$\mathrm{S}$};
\node[below left] at (B) {$\mathrm{D}$};
\node[below right] at (C) {$\mathrm{L}$};
\node[left] at (0.4,1.25) {21};
\node[above right] at (2.35,1.25) {41,6};
\node[below] at (1.95,0) {46,6};
\end{tikzpicture}
\end{center}


 (En m)

Dans le triangle SDL :

\begin{itemize}
\item DL\textsuperscript{2} = 46{,}6\textsuperscript{2} = 2171{,}56
 \item SD\textsuperscript{2} + SL\textsuperscript{2} =  21\textsuperscript{2} + 41{,}6\textsuperscript{2} = 441 + 1730{,}56 = 2171{,}56
\end{itemize}

Donc DL\textsuperscript{2} = SD\textsuperscript{2} + SL\textsuperscript{2}

{\color{red} D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle SDL est rectangle en S.}
\end{minipage}\par
\par\medskip\noindent\begin{minipage}{\linewidth}
\subsection*{ Exercice 3 }
 
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.95,line width=0.6pt]
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (0,2.7);
\coordinate (C) at (3.9,0);
\draw[thick] (A)--(B)--(C)--cycle;
\draw (0,0.34)--(0.34,0.34)--(0.34,0);
\node[below left] at (A) {$\mathrm{M}$};
\node[above left] at (B) {$\mathrm{S}$};
\node[below right] at (C) {$\mathrm{A}$};
\node[left] at (0,1.35) {16};
\node[below] at (1.95,0) {159,6};
\node[above right] at (1.95,1.35) {?};
\end{tikzpicture}
\end{center}


 (En hm)

Dans le triangle MSA rectangle en M d'après le théorème de Pythagore :

 SA\textsuperscript{2} = MS\textsuperscript{2} + MA\textsuperscript{2}

SA\textsuperscript{2} = 16\textsuperscript{2} + 159{,}6\textsuperscript{2}

SA\textsuperscript{2} = 256 + 25472{,}16

SA\textsuperscript{2} = 25728{,}16

SA = \(\sqrt{25728{,}16}\) hm

SA = 160{,}4 hm
\end{minipage}\par
\par\medskip\noindent\begin{minipage}{\linewidth}
\subsection*{ Exercice 4 }
 
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.95,line width=0.6pt]
\coordinate (A) at (0.8,2.5);
\coordinate (B) at (0,0);
\coordinate (C) at (3.9,0);
\draw[thick] (A)--(B)--(C)--cycle;
\node[above] at (A) {$\mathrm{G}$};
\node[below left] at (B) {$\mathrm{B}$};
\node[below right] at (C) {$\mathrm{P}$};
\node[left] at (0.4,1.25) {116,8};
\node[above right] at (2.35,1.25) {326,4};
\node[below] at (1.95,0) {346,4};
\end{tikzpicture}
\end{center}


 (En cm)

Dans le triangle GBP :

\begin{itemize}
\item BP\textsuperscript{2} = 346{,}4\textsuperscript{2} = 119992{,}96
 \item GB\textsuperscript{2} + GP\textsuperscript{2} =  116{,}8\textsuperscript{2} + 326{,}4\textsuperscript{2} = 13642{,}24 + 106536{,}96 = 120179{,}2
\end{itemize}

Donc BP\textsuperscript{2} \(\neq\) GB\textsuperscript{2} + GP\textsuperscript{2}

{\color{red} Le triangle GBP n'est pas rectangle. (S'il l'était, alors l'égalité ci-dessus serait vérifiée d'après le théorème de Pythagore.)}

\subsection*{\color{green!60!black} Rédaction alternative :}

{\color{green!60!black} D'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle GBP n'est pas rectangle.
           }
\end{minipage}\par
\par\medskip\noindent\begin{minipage}{\linewidth}
\subsection*{ Exercice 5 }
 
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.95,line width=0.6pt]
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (0,2.7);
\coordinate (C) at (3.9,0);
\draw[thick] (A)--(B)--(C)--cycle;
\draw (0,0.34)--(0.34,0.34)--(0.34,0);
\node[below left] at (A) {$\mathrm{H}$};
\node[above left] at (B) {$\mathrm{P}$};
\node[below right] at (C) {$\mathrm{A}$};
\node[left] at (0,1.35) {?};
\node[below] at (1.95,0) {112};
\node[above right] at (1.95,1.35) {113};
\end{tikzpicture}
\end{center}


 (En dm)

Dans le triangle HPA rectangle en H d'après le théorème de Pythagore :

 PA\textsuperscript{2} = HP\textsuperscript{2} + HA\textsuperscript{2}

113\textsuperscript{2} = HP\textsuperscript{2} + 112\textsuperscript{2}

12769 = HP\textsuperscript{2} + 12544

HP\textsuperscript{2} = 12769 - 12544

HP\textsuperscript{2} = 225

HP = \(\sqrt{225}\) dm

HP = 15 dm
\end{minipage}\par
\end{document}
