\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
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        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

\newcommand{\titre}{Autour de Thalès}
\newcommand{\soustitre}{Cycle 4 --- Fiche n\textdegree 249}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
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\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/exercices_thales.php?x=249}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} THAL0249}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\sloppy

\needspace{4\baselineskip}
\section*{ Exercice 1 }


\begin{center}\begin{tikzpicture}[line width=0.6pt]
  \draw[black] (1.050,3.430) -- (3.383,1.097);
  \draw[black] (5.717,2.263) -- (3.383,1.097);
  \draw[black] (1.050,3.430) -- (5.717,2.263);
  \draw[black] (3.383,2.847) -- (2.217,2.263);
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{15.9}{19.1}\selectfont] at (6.067,2.380) {W};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{15.9}{19.1}\selectfont] at (0.817,3.663) {M};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{15.9}{19.1}\selectfont] at (3.010,0.653) {C};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{15.9}{19.1}\selectfont] at (1.633,1.913) {D};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{15.9}{19.1}\selectfont] at (3.617,3.080) {H};
\end{tikzpicture}\end{center}


Dans la figure ci-dessus, les points M,D et C sont alignés,
    les points M,H et W sont alignés, et on sait que :

\begin{itemize}
\item (DH) // (CW)
\item  MD = 10{,}3 cm
\item  MC = 21{,}63 cm
\item  MH = 11{,}5 cm
\item  CW = 6{,}72 cm
\end{itemize}

Calculer MW et DH.


\needspace{4\baselineskip}
\section*{ Exercice 2 }


\begin{center}\begin{tikzpicture}[line width=0.6pt]
  \draw[black] (1.050,3.430) -- (3.383,1.097);
  \draw[black] (5.717,2.263) -- (3.383,1.097);
  \draw[black] (1.050,3.430) -- (5.717,2.263);
  \draw[black] (3.383,2.847) -- (2.217,2.263);
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{15.9}{19.1}\selectfont] at (6.067,2.380) {E};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{15.9}{19.1}\selectfont] at (0.817,3.663) {T};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{15.9}{19.1}\selectfont] at (3.010,0.653) {N};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{15.9}{19.1}\selectfont] at (1.633,1.913) {W};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{15.9}{19.1}\selectfont] at (3.617,3.080) {D};
\end{tikzpicture}\end{center}


Dans la figure ci-dessus, les points T,W et N sont alignés,
    les points T,D et E sont alignés, et on sait que :

\begin{itemize}
\item  TW = 7{,}81 cm
\item  TN = 25{,}74 cm
\item  TD = 9{,}4 cm
\item  TE = 31{,}02 cm
\item  NE = 11{,}55 cm
\end{itemize}

Les droites (WD) et (NE) sont-elles parallèles ? Justifier.


\newpage

\needspace{4\baselineskip}
\section*{ Exercice 3 }


\begin{center}\begin{tikzpicture}[line width=0.6pt]
  \draw[black] (1.050,3.430) -- (3.383,1.097);
  \draw[black] (5.717,2.263) -- (3.383,1.097);
  \draw[black] (1.050,3.430) -- (5.717,2.263);
  \draw[black] (3.383,2.847) -- (2.217,2.263);
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{15.9}{19.1}\selectfont] at (6.067,2.380) {A};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{15.9}{19.1}\selectfont] at (0.817,3.663) {S};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{15.9}{19.1}\selectfont] at (3.010,0.653) {G};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{15.9}{19.1}\selectfont] at (1.633,1.913) {C};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{15.9}{19.1}\selectfont] at (3.617,3.080) {B};
\end{tikzpicture}\end{center}


Dans la figure ci-dessus, les points S,C et G sont alignés,
    les points S,B et A sont alignés, et on sait que :

\begin{itemize}
\item  SC = 5{,}6 cm
\item  SG = 36{,}96 cm
\item  SB = 6{,}4 cm
\item  CB = 2{,}2 cm
\item  GA = 14{,}52 cm
\end{itemize}

Les droites (CB) et (GA) sont-elles parallèles ? Justifier.


\needspace{4\baselineskip}
\section*{ Exercice 4 }


\begin{center}\begin{tikzpicture}[line width=0.6pt]
  \draw[black] (2.374,3.363) -- (4.140,0.998);
  \draw[black] (6.043,1.726) -- (4.140,0.998);
  \draw[black] (1.295,2.959) -- (6.102,1.726);
  \draw[black] (2.374,3.363) -- (1.334,2.959);
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{13.6}{16.3}\selectfont] at (6.396,1.847) {C};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{13.6}{16.3}\selectfont] at (3.394,2.736) {P};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{13.6}{16.3}\selectfont] at (3.924,0.614) {J};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{13.6}{16.3}\selectfont] at (2.764,3.679) {A};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{13.6}{16.3}\selectfont] at (0.819,2.845) {K};
\end{tikzpicture}\end{center}


Dans la figure ci-dessus, les points P,A et J sont alignés,
    les points P,K et C sont alignés, et on sait que :

\begin{itemize}
\item (AK) // (JC)
\item  PJ = 45{,}24 cm
\item  PK = 11{,}9 cm
\item  AK = 5{,}6 cm
\item  JC = 21{,}84 cm
\end{itemize}

Calculer PA et PC.


\newpage

\needspace{4\baselineskip}
\section*{ Exercice 5 }


\begin{center}\begin{tikzpicture}[line width=0.6pt]
  \draw[black] (2.374,3.363) -- (4.140,0.998);
  \draw[black] (6.043,1.726) -- (4.140,0.998);
  \draw[black] (1.295,2.959) -- (6.102,1.726);
  \draw[black] (2.374,3.363) -- (1.334,2.959);
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{13.6}{16.3}\selectfont] at (6.396,1.847) {S};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{13.6}{16.3}\selectfont] at (3.394,2.736) {F};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{13.6}{16.3}\selectfont] at (3.924,0.614) {K};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{13.6}{16.3}\selectfont] at (2.764,3.679) {H};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{13.6}{16.3}\selectfont] at (0.819,2.845) {G};
\end{tikzpicture}\end{center}


Dans la figure ci-dessus, les points F,H et K sont alignés,
    les points F,G et S sont alignés, et on sait que :

\begin{itemize}
\item  FH = 12 cm
\item  FK = 75{,}6 cm
\item  FG = 15{,}8 cm
\item  FS = 99{,}54 cm
\item  HG = 4 cm
\end{itemize}

Les droites (HG) et (KS) sont-elles parallèles ? Justifier.


\needspace{4\baselineskip}
\section*{ Exercice 6 }


\begin{center}\begin{tikzpicture}[line width=0.6pt]
  \draw[black] (2.374,3.363) -- (4.140,0.998);
  \draw[black] (6.043,1.726) -- (4.140,0.998);
  \draw[black] (1.295,2.959) -- (6.102,1.726);
  \draw[black] (2.374,3.363) -- (1.334,2.959);
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{13.6}{16.3}\selectfont] at (6.396,1.847) {S};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{13.6}{16.3}\selectfont] at (3.394,2.736) {K};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{13.6}{16.3}\selectfont] at (3.924,0.614) {E};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{13.6}{16.3}\selectfont] at (2.764,3.679) {G};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{13.6}{16.3}\selectfont] at (0.819,2.845) {A};
\end{tikzpicture}\end{center}


Dans la figure ci-dessus, les points K,G et E sont alignés,
    les points K,A et S sont alignés, et on sait que :

\begin{itemize}
\item  KG = 11{,}7 cm
\item  KA = 16{,}7 cm
\item  KS = 56{,}78 cm
\item  GA = 5{,}95 cm
\item  ES = 20{,}06 cm
\end{itemize}

Les droites (GA) et (ES) sont-elles parallèles ? Justifier.

\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}

\needspace{4\baselineskip}
\subsection*{ Exercice 1 }


\begin{center}\begin{tikzpicture}[line width=0.6pt]
  \draw[black] (1.050,3.430) -- (3.383,1.097);
  \draw[black] (5.717,2.263) -- (3.383,1.097);
  \draw[black] (1.050,3.430) -- (5.717,2.263);
  \draw[black] (3.383,2.847) -- (2.217,2.263);
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{15.9}{19.1}\selectfont] at (6.067,2.380) {W};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{15.9}{19.1}\selectfont] at (0.817,3.663) {M};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{15.9}{19.1}\selectfont] at (3.010,0.653) {C};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{15.9}{19.1}\selectfont] at (1.633,1.913) {D};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{15.9}{19.1}\selectfont] at (3.617,3.080) {H};
\end{tikzpicture}\end{center}


Dans la figure ci-dessus, les points M,D et C sont alignés,
    les points M,H et W sont alignés, et on sait que :

\begin{itemize}
\item (DH) // (CW)
\item  MD = 10{,}3 cm
\item  MC = 21{,}63 cm
\item  MH = 11{,}5 cm
\item  CW = 6{,}72 cm
\end{itemize}

Calculer MW et DH.



Les droites (DC) et (HW) sont sécantes en M et les droites (DH) et (CW) sont parallèles.

D'après le théorème de Thalès :

\(\dfrac{\text{MD}}{\text{MC}}\) =
        \(\dfrac{\text{MH}}{\text{MW}}\) =
        \(\dfrac{\text{DH}}{\text{CW}}\)

D'où :

\(\dfrac{10{,}3}{21{,}63}\) =
        \(\dfrac{11{,}5}{\text{MW}}\) =
        \(\dfrac{\text{DH}}{6{,}72}\)

 MW = 11{,}5 \(\times\) 21{,}63 / 10{,}3 = 24{,}15 cm

 DH = 6{,}72 \(\times\) 10{,}3 / 21{,}63 = 3{,}2 cm


\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}

\needspace{4\baselineskip}
\subsection*{ Exercice 2 }


\begin{center}\begin{tikzpicture}[line width=0.6pt]
  \draw[black] (1.050,3.430) -- (3.383,1.097);
  \draw[black] (5.717,2.263) -- (3.383,1.097);
  \draw[black] (1.050,3.430) -- (5.717,2.263);
  \draw[black] (3.383,2.847) -- (2.217,2.263);
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{15.9}{19.1}\selectfont] at (6.067,2.380) {E};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{15.9}{19.1}\selectfont] at (0.817,3.663) {T};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{15.9}{19.1}\selectfont] at (3.010,0.653) {N};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{15.9}{19.1}\selectfont] at (1.633,1.913) {W};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{15.9}{19.1}\selectfont] at (3.617,3.080) {D};
\end{tikzpicture}\end{center}


Dans la figure ci-dessus, les points T,W et N sont alignés,
    les points T,D et E sont alignés, et on sait que :

\begin{itemize}
\item  TW = 7{,}81 cm
\item  TN = 25{,}74 cm
\item  TD = 9{,}4 cm
\item  TE = 31{,}02 cm
\item  NE = 11{,}55 cm
\end{itemize}

Les droites (WD) et (NE) sont-elles parallèles ? Justifier.



Les points T, W, N et T, D, E sont alignés dans le même ordre.

\begin{itemize}
\item  \(\dfrac{\text{TW}}{\text{TN}}\) =
                \(\dfrac{7{,}81}{25{,}74}\) =
                \(\dfrac{71}{234}\)
\item  \(\dfrac{\text{TD}}{\text{TE}}\) =
                \(\dfrac{9{,}4}{31{,}02}\) =
                \(\dfrac{10}{33}\)

Donc :

 \(\dfrac{\text{TW}}{\text{TN}}\) \(\neq\)
        \(\dfrac{\text{TD}}{\text{TE}}\)
\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent\textbf{Rédaction conseillée au collège :}\par

Les droites (WD) et (NE) ne sont pas parallèles. Si elles l'étaient alors ces rapports seraient égaux d'après le théorème de Thalès.

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent\textbf{Rédaction alternative :}\par

Les droites (WD) et (NE) ne sont pas parallèles d'après la contraposée du théorème de Thalès.

\end{itemize}

\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}

\needspace{4\baselineskip}
\subsection*{ Exercice 3 }


\begin{center}\begin{tikzpicture}[line width=0.6pt]
  \draw[black] (1.050,3.430) -- (3.383,1.097);
  \draw[black] (5.717,2.263) -- (3.383,1.097);
  \draw[black] (1.050,3.430) -- (5.717,2.263);
  \draw[black] (3.383,2.847) -- (2.217,2.263);
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{15.9}{19.1}\selectfont] at (6.067,2.380) {A};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{15.9}{19.1}\selectfont] at (0.817,3.663) {S};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{15.9}{19.1}\selectfont] at (3.010,0.653) {G};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{15.9}{19.1}\selectfont] at (1.633,1.913) {C};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{15.9}{19.1}\selectfont] at (3.617,3.080) {B};
\end{tikzpicture}\end{center}


Dans la figure ci-dessus, les points S,C et G sont alignés,
    les points S,B et A sont alignés, et on sait que :

\begin{itemize}
\item  SC = 5{,}6 cm
\item  SG = 36{,}96 cm
\item  SB = 6{,}4 cm
\item  CB = 2{,}2 cm
\item  GA = 14{,}52 cm
\end{itemize}

Les droites (CB) et (GA) sont-elles parallèles ? Justifier.



Les points S, C, G et S, B, A sont alignés dans le même ordre.

\begin{itemize}
\item  \(\dfrac{\text{SC}}{\text{SG}}\) =
                \(\dfrac{5{,}6}{36{,}96}\) =
                \(\dfrac{5}{33}\)
\item  \(\dfrac{\text{CB}}{\text{GA}}\) =
                \(\dfrac{2{,}2}{14{,}52}\) =
                \(\dfrac{5}{33}\)

Donc :

 \(\dfrac{\text{SC}}{\text{SG}}\) =
        \(\dfrac{\text{CB}}{\text{GA}}\)

Les droites (CB) et (GA) sont parallèles d'après la réciproque du théorème de Thalès.

\end{itemize}

\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}

\needspace{4\baselineskip}
\subsection*{ Exercice 4 }


\begin{center}\begin{tikzpicture}[line width=0.6pt]
  \draw[black] (2.374,3.363) -- (4.140,0.998);
  \draw[black] (6.043,1.726) -- (4.140,0.998);
  \draw[black] (1.295,2.959) -- (6.102,1.726);
  \draw[black] (2.374,3.363) -- (1.334,2.959);
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{13.6}{16.3}\selectfont] at (6.396,1.847) {C};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{13.6}{16.3}\selectfont] at (3.394,2.736) {P};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{13.6}{16.3}\selectfont] at (3.924,0.614) {J};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{13.6}{16.3}\selectfont] at (2.764,3.679) {A};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{13.6}{16.3}\selectfont] at (0.819,2.845) {K};
\end{tikzpicture}\end{center}


Dans la figure ci-dessus, les points P,A et J sont alignés,
    les points P,K et C sont alignés, et on sait que :

\begin{itemize}
\item (AK) // (JC)
\item  PJ = 45{,}24 cm
\item  PK = 11{,}9 cm
\item  AK = 5{,}6 cm
\item  JC = 21{,}84 cm
\end{itemize}

Calculer PA et PC.



Les droites (AJ) et (KC) sont sécantes en P et les droites (AK) et (JC) sont parallèles.

D'après le théorème de Thalès :

\(\dfrac{\text{PA}}{\text{PJ}}\) =
        \(\dfrac{\text{PK}}{\text{PC}}\) =
        \(\dfrac{\text{AK}}{\text{JC}}\)

D'où :

\(\dfrac{\text{PA}}{45{,}24}\) =
        \(\dfrac{11{,}9}{\text{PC}}\) =
        \(\dfrac{5{,}6}{21{,}84}\)

 PA = 45{,}24 \(\times\) 5{,}6 / 21{,}84 = 11{,}6 cm

 PC = 11{,}9 \(\times\) 21{,}84 / 5{,}6 = 46{,}41 cm


\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}

\needspace{4\baselineskip}
\subsection*{ Exercice 5 }


\begin{center}\begin{tikzpicture}[line width=0.6pt]
  \draw[black] (2.374,3.363) -- (4.140,0.998);
  \draw[black] (6.043,1.726) -- (4.140,0.998);
  \draw[black] (1.295,2.959) -- (6.102,1.726);
  \draw[black] (2.374,3.363) -- (1.334,2.959);
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{13.6}{16.3}\selectfont] at (6.396,1.847) {S};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{13.6}{16.3}\selectfont] at (3.394,2.736) {F};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{13.6}{16.3}\selectfont] at (3.924,0.614) {K};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{13.6}{16.3}\selectfont] at (2.764,3.679) {H};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{13.6}{16.3}\selectfont] at (0.819,2.845) {G};
\end{tikzpicture}\end{center}


Dans la figure ci-dessus, les points F,H et K sont alignés,
    les points F,G et S sont alignés, et on sait que :

\begin{itemize}
\item  FH = 12 cm
\item  FK = 75{,}6 cm
\item  FG = 15{,}8 cm
\item  FS = 99{,}54 cm
\item  HG = 4 cm
\end{itemize}

Les droites (HG) et (KS) sont-elles parallèles ? Justifier.



Les points F, H, K et F, G, S sont alignés dans le même ordre.

\begin{itemize}
\item  \(\dfrac{\text{FH}}{\text{FK}}\) =
                \(\dfrac{12}{75{,}6}\) =
                \(\dfrac{10}{63}\)
\item  \(\dfrac{\text{FG}}{\text{FS}}\) =
                \(\dfrac{15{,}8}{99{,}54}\) =
                \(\dfrac{10}{63}\)

Donc :

 \(\dfrac{\text{FH}}{\text{FK}}\) =
        \(\dfrac{\text{FG}}{\text{FS}}\)

Les droites (HG) et (KS) sont parallèles d'après la réciproque du théorème de Thalès.

\end{itemize}

\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}

\needspace{4\baselineskip}
\subsection*{ Exercice 6 }


\begin{center}\begin{tikzpicture}[line width=0.6pt]
  \draw[black] (2.374,3.363) -- (4.140,0.998);
  \draw[black] (6.043,1.726) -- (4.140,0.998);
  \draw[black] (1.295,2.959) -- (6.102,1.726);
  \draw[black] (2.374,3.363) -- (1.334,2.959);
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{13.6}{16.3}\selectfont] at (6.396,1.847) {S};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{13.6}{16.3}\selectfont] at (3.394,2.736) {K};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{13.6}{16.3}\selectfont] at (3.924,0.614) {E};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{13.6}{16.3}\selectfont] at (2.764,3.679) {G};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{13.6}{16.3}\selectfont] at (0.819,2.845) {A};
\end{tikzpicture}\end{center}


Dans la figure ci-dessus, les points K,G et E sont alignés,
    les points K,A et S sont alignés, et on sait que :

\begin{itemize}
\item  KG = 11{,}7 cm
\item  KA = 16{,}7 cm
\item  KS = 56{,}78 cm
\item  GA = 5{,}95 cm
\item  ES = 20{,}06 cm
\end{itemize}

Les droites (GA) et (ES) sont-elles parallèles ? Justifier.



Les points K, G, E et K, A, S sont alignés dans le même ordre.

\begin{itemize}
\item  \(\dfrac{\text{KA}}{\text{KS}}\) =
                \(\dfrac{16{,}7}{56{,}78}\) =
                \(\dfrac{5}{17}\)
\item  \(\dfrac{\text{GA}}{\text{ES}}\) =
                \(\dfrac{5{,}95}{20{,}06}\) =
                \(\dfrac{35}{118}\)

Donc :

 \(\dfrac{\text{KA}}{\text{KS}}\) \(\neq\)
        \(\dfrac{\text{GA}}{\text{ES}}\)
\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent\textbf{Rédaction conseillée au collège :}\par

Les droites (GA) et (ES) ne sont pas parallèles. Si elles l'étaient alors ces rapports seraient égaux d'après le théorème de Thalès.

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent\textbf{Rédaction alternative :}\par

Les droites (GA) et (ES) ne sont pas parallèles d'après la contraposée du théorème de Thalès.

\end{itemize}
\end{document}
