\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

\newcommand{\titre}{Autour de Thalès}
\newcommand{\soustitre}{Cycle 4 --- Fiche n\textdegree 372}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
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\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/exercices_thales.php?x=372}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} THAL0372}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\sloppy

\needspace{4\baselineskip}
\section*{ Exercice 1 }


\begin{center}\begin{tikzpicture}[line width=0.6pt]
  \draw[black] (1.050,3.430) -- (3.383,1.097);
  \draw[black] (5.717,2.263) -- (3.383,1.097);
  \draw[black] (1.050,3.430) -- (5.717,2.263);
  \draw[black] (3.383,2.847) -- (2.217,2.263);
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{15.9}{19.1}\selectfont] at (6.067,2.380) {A};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{15.9}{19.1}\selectfont] at (0.817,3.663) {L};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{15.9}{19.1}\selectfont] at (3.010,0.653) {R};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{15.9}{19.1}\selectfont] at (1.633,1.913) {F};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{15.9}{19.1}\selectfont] at (3.617,3.080) {B};
\end{tikzpicture}\end{center}


Dans la figure ci-dessus, les points L,F et R sont alignés,
    les points L,B et A sont alignés, et on sait que :

\begin{itemize}
\item  LF = 8{,}3 cm
\item  LB = 10{,}3 cm
\item  LA = 59{,}74 cm
\item  FB = 4{,}4 cm
\item  RA = 25{,}49 cm
\end{itemize}

Les droites (FB) et (RA) sont-elles parallèles ? Justifier.


\needspace{4\baselineskip}
\section*{ Exercice 2 }


\begin{center}\begin{tikzpicture}[line width=0.6pt]
  \draw[black] (1.050,3.430) -- (3.383,1.097);
  \draw[black] (5.717,2.263) -- (3.383,1.097);
  \draw[black] (1.050,3.430) -- (5.717,2.263);
  \draw[black] (3.383,2.847) -- (2.217,2.263);
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{15.9}{19.1}\selectfont] at (6.067,2.380) {A};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{15.9}{19.1}\selectfont] at (0.817,3.663) {H};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{15.9}{19.1}\selectfont] at (3.010,0.653) {F};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{15.9}{19.1}\selectfont] at (1.633,1.913) {S};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{15.9}{19.1}\selectfont] at (3.617,3.080) {J};
\end{tikzpicture}\end{center}


Dans la figure ci-dessus, les points H,S et F sont alignés,
    les points H,J et A sont alignés, et on sait que :

\begin{itemize}
\item  HS = 7{,}9 cm
\item  HF = 10{,}27 cm
\item  HJ = 8{,}1 cm
\item  HA = 10{,}53 cm
\item  FA = 2{,}08 cm
\end{itemize}

Les droites (SJ) et (FA) sont-elles parallèles ? Justifier.


\newpage

\needspace{4\baselineskip}
\section*{ Exercice 3 }


\begin{center}\begin{tikzpicture}[line width=0.6pt]
  \draw[black] (1.050,3.430) -- (3.383,1.097);
  \draw[black] (5.717,2.263) -- (3.383,1.097);
  \draw[black] (1.050,3.430) -- (5.717,2.263);
  \draw[black] (3.383,2.847) -- (2.217,2.263);
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{15.9}{19.1}\selectfont] at (6.067,2.380) {M};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{15.9}{19.1}\selectfont] at (0.817,3.663) {E};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{15.9}{19.1}\selectfont] at (3.010,0.653) {D};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{15.9}{19.1}\selectfont] at (1.633,1.913) {A};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{15.9}{19.1}\selectfont] at (3.617,3.080) {F};
\end{tikzpicture}\end{center}


Dans la figure ci-dessus, les points E,A et D sont alignés,
    les points E,F et M sont alignés, et on sait que :

\begin{itemize}
\item (AF) // (DM)
\item  EA = 7{,}7 cm
\item  ED = 40{,}81 cm
\item  EF = 9{,}1 cm
\item  DM = 10{,}6 cm
\end{itemize}

Calculer EM et AF.


\needspace{4\baselineskip}
\section*{ Exercice 4 }


\begin{center}\begin{tikzpicture}[line width=0.6pt]
  \draw[black] (2.374,3.363) -- (4.140,0.998);
  \draw[black] (6.043,1.726) -- (4.140,0.998);
  \draw[black] (1.295,2.959) -- (6.102,1.726);
  \draw[black] (2.374,3.363) -- (1.334,2.959);
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{13.6}{16.3}\selectfont] at (6.396,1.847) {S};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{13.6}{16.3}\selectfont] at (3.394,2.736) {M};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{13.6}{16.3}\selectfont] at (3.924,0.614) {J};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{13.6}{16.3}\selectfont] at (2.764,3.679) {F};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{13.6}{16.3}\selectfont] at (0.819,2.845) {W};
\end{tikzpicture}\end{center}


Dans la figure ci-dessus, les points M,F et J sont alignés,
    les points M,W et S sont alignés, et on sait que :

\begin{itemize}
\item  MF = 11{,}8 cm
\item  MJ = 60{,}18 cm
\item  MW = 13{,}8 cm
\item  MS = 70{,}38 cm
\item  JS = 27{,}03 cm
\end{itemize}

Les droites (FW) et (JS) sont-elles parallèles ? Justifier.


\newpage

\needspace{4\baselineskip}
\section*{ Exercice 5 }


\begin{center}\begin{tikzpicture}[line width=0.6pt]
  \draw[black] (2.374,3.363) -- (4.140,0.998);
  \draw[black] (6.043,1.726) -- (4.140,0.998);
  \draw[black] (1.295,2.959) -- (6.102,1.726);
  \draw[black] (2.374,3.363) -- (1.334,2.959);
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{13.6}{16.3}\selectfont] at (6.396,1.847) {A};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{13.6}{16.3}\selectfont] at (3.394,2.736) {K};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{13.6}{16.3}\selectfont] at (3.924,0.614) {W};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{13.6}{16.3}\selectfont] at (2.764,3.679) {D};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{13.6}{16.3}\selectfont] at (0.819,2.845) {T};
\end{tikzpicture}\end{center}


Dans la figure ci-dessus, les points K,D et W sont alignés,
    les points K,T et A sont alignés, et on sait que :

\begin{itemize}
\item  KD = 8{,}4 cm
\item  KT = 9{,}1 cm
\item  KA = 34{,}58 cm
\item  DT = 5{,}2 cm
\item  WA = 19{,}73 cm
\end{itemize}

Les droites (DT) et (WA) sont-elles parallèles ? Justifier.


\needspace{4\baselineskip}
\section*{ Exercice 6 }


\begin{center}\begin{tikzpicture}[line width=0.6pt]
  \draw[black] (2.374,3.363) -- (4.140,0.998);
  \draw[black] (6.043,1.726) -- (4.140,0.998);
  \draw[black] (1.295,2.959) -- (6.102,1.726);
  \draw[black] (2.374,3.363) -- (1.334,2.959);
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{13.6}{16.3}\selectfont] at (6.396,1.847) {E};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{13.6}{16.3}\selectfont] at (3.394,2.736) {P};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{13.6}{16.3}\selectfont] at (3.924,0.614) {L};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{13.6}{16.3}\selectfont] at (2.764,3.679) {G};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{13.6}{16.3}\selectfont] at (0.819,2.845) {N};
\end{tikzpicture}\end{center}


Dans la figure ci-dessus, les points P,G et L sont alignés,
    les points P,N et E sont alignés, et on sait que :

\begin{itemize}
\item (GN) // (LE)
\item  PG = 10{,}5 cm
\item  PL = 18{,}9 cm
\item  PN = 13{,}7 cm
\item  LE = 6{,}12 cm
\end{itemize}

Calculer PE et GN.

\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}

\needspace{4\baselineskip}
\subsection*{ Exercice 1 }


\begin{center}\begin{tikzpicture}[line width=0.6pt]
  \draw[black] (1.050,3.430) -- (3.383,1.097);
  \draw[black] (5.717,2.263) -- (3.383,1.097);
  \draw[black] (1.050,3.430) -- (5.717,2.263);
  \draw[black] (3.383,2.847) -- (2.217,2.263);
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{15.9}{19.1}\selectfont] at (6.067,2.380) {A};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{15.9}{19.1}\selectfont] at (0.817,3.663) {L};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{15.9}{19.1}\selectfont] at (3.010,0.653) {R};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{15.9}{19.1}\selectfont] at (1.633,1.913) {F};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{15.9}{19.1}\selectfont] at (3.617,3.080) {B};
\end{tikzpicture}\end{center}


Dans la figure ci-dessus, les points L,F et R sont alignés,
    les points L,B et A sont alignés, et on sait que :

\begin{itemize}
\item  LF = 8{,}3 cm
\item  LB = 10{,}3 cm
\item  LA = 59{,}74 cm
\item  FB = 4{,}4 cm
\item  RA = 25{,}49 cm
\end{itemize}

Les droites (FB) et (RA) sont-elles parallèles ? Justifier.



Les points L, F, R et L, B, A sont alignés dans le même ordre.

\begin{itemize}
\item  \(\dfrac{\text{LB}}{\text{LA}}\) =
                \(\dfrac{10{,}3}{59{,}74}\) =
                \(\dfrac{5}{29}\)
\item  \(\dfrac{\text{FB}}{\text{RA}}\) =
                \(\dfrac{4{,}4}{25{,}49}\) =
                \(\dfrac{440}{2549}\)

Donc :

 \(\dfrac{\text{LB}}{\text{LA}}\) \(\neq\)
        \(\dfrac{\text{FB}}{\text{RA}}\)
\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent\textbf{Rédaction conseillée au collège :}\par

Les droites (FB) et (RA) ne sont pas parallèles. Si elles l'étaient alors ces rapports seraient égaux d'après le théorème de Thalès.

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent\textbf{Rédaction alternative :}\par

Les droites (FB) et (RA) ne sont pas parallèles d'après la contraposée du théorème de Thalès.

\end{itemize}

\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}

\needspace{4\baselineskip}
\subsection*{ Exercice 2 }


\begin{center}\begin{tikzpicture}[line width=0.6pt]
  \draw[black] (1.050,3.430) -- (3.383,1.097);
  \draw[black] (5.717,2.263) -- (3.383,1.097);
  \draw[black] (1.050,3.430) -- (5.717,2.263);
  \draw[black] (3.383,2.847) -- (2.217,2.263);
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{15.9}{19.1}\selectfont] at (6.067,2.380) {A};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{15.9}{19.1}\selectfont] at (0.817,3.663) {H};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{15.9}{19.1}\selectfont] at (3.010,0.653) {F};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{15.9}{19.1}\selectfont] at (1.633,1.913) {S};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{15.9}{19.1}\selectfont] at (3.617,3.080) {J};
\end{tikzpicture}\end{center}


Dans la figure ci-dessus, les points H,S et F sont alignés,
    les points H,J et A sont alignés, et on sait que :

\begin{itemize}
\item  HS = 7{,}9 cm
\item  HF = 10{,}27 cm
\item  HJ = 8{,}1 cm
\item  HA = 10{,}53 cm
\item  FA = 2{,}08 cm
\end{itemize}

Les droites (SJ) et (FA) sont-elles parallèles ? Justifier.



Les points H, S, F et H, J, A sont alignés dans le même ordre.

\begin{itemize}
\item  \(\dfrac{\text{HS}}{\text{HF}}\) =
                \(\dfrac{7{,}9}{10{,}27}\) =
                \(\dfrac{10}{13}\)
\item  \(\dfrac{\text{HJ}}{\text{HA}}\) =
                \(\dfrac{8{,}1}{10{,}53}\) =
                \(\dfrac{10}{13}\)

Donc :

 \(\dfrac{\text{HS}}{\text{HF}}\) =
        \(\dfrac{\text{HJ}}{\text{HA}}\)

Les droites (SJ) et (FA) sont parallèles d'après la réciproque du théorème de Thalès.

\end{itemize}

\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}

\needspace{4\baselineskip}
\subsection*{ Exercice 3 }


\begin{center}\begin{tikzpicture}[line width=0.6pt]
  \draw[black] (1.050,3.430) -- (3.383,1.097);
  \draw[black] (5.717,2.263) -- (3.383,1.097);
  \draw[black] (1.050,3.430) -- (5.717,2.263);
  \draw[black] (3.383,2.847) -- (2.217,2.263);
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{15.9}{19.1}\selectfont] at (6.067,2.380) {M};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{15.9}{19.1}\selectfont] at (0.817,3.663) {E};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{15.9}{19.1}\selectfont] at (3.010,0.653) {D};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{15.9}{19.1}\selectfont] at (1.633,1.913) {A};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{15.9}{19.1}\selectfont] at (3.617,3.080) {F};
\end{tikzpicture}\end{center}


Dans la figure ci-dessus, les points E,A et D sont alignés,
    les points E,F et M sont alignés, et on sait que :

\begin{itemize}
\item (AF) // (DM)
\item  EA = 7{,}7 cm
\item  ED = 40{,}81 cm
\item  EF = 9{,}1 cm
\item  DM = 10{,}6 cm
\end{itemize}

Calculer EM et AF.



Les droites (AD) et (FM) sont sécantes en E et les droites (AF) et (DM) sont parallèles.

D'après le théorème de Thalès :

\(\dfrac{\text{EA}}{\text{ED}}\) =
        \(\dfrac{\text{EF}}{\text{EM}}\) =
        \(\dfrac{\text{AF}}{\text{DM}}\)

D'où :

\(\dfrac{7{,}7}{40{,}81}\) =
        \(\dfrac{9{,}1}{\text{EM}}\) =
        \(\dfrac{\text{AF}}{10{,}6}\)

 EM = 9{,}1 \(\times\) 40{,}81 / 7{,}7 = 48{,}23 cm

 AF = 10{,}6 \(\times\) 7{,}7 / 40{,}81 = 2 cm


\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}

\needspace{4\baselineskip}
\subsection*{ Exercice 4 }


\begin{center}\begin{tikzpicture}[line width=0.6pt]
  \draw[black] (2.374,3.363) -- (4.140,0.998);
  \draw[black] (6.043,1.726) -- (4.140,0.998);
  \draw[black] (1.295,2.959) -- (6.102,1.726);
  \draw[black] (2.374,3.363) -- (1.334,2.959);
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{13.6}{16.3}\selectfont] at (6.396,1.847) {S};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{13.6}{16.3}\selectfont] at (3.394,2.736) {M};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{13.6}{16.3}\selectfont] at (3.924,0.614) {J};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{13.6}{16.3}\selectfont] at (2.764,3.679) {F};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{13.6}{16.3}\selectfont] at (0.819,2.845) {W};
\end{tikzpicture}\end{center}


Dans la figure ci-dessus, les points M,F et J sont alignés,
    les points M,W et S sont alignés, et on sait que :

\begin{itemize}
\item  MF = 11{,}8 cm
\item  MJ = 60{,}18 cm
\item  MW = 13{,}8 cm
\item  MS = 70{,}38 cm
\item  JS = 27{,}03 cm
\end{itemize}

Les droites (FW) et (JS) sont-elles parallèles ? Justifier.



Les points M, F, J et M, W, S sont alignés dans le même ordre.

\begin{itemize}
\item  \(\dfrac{\text{MF}}{\text{MJ}}\) =
                \(\dfrac{11{,}8}{60{,}18}\) =
                \(\dfrac{10}{51}\)
\item  \(\dfrac{\text{MW}}{\text{MS}}\) =
                \(\dfrac{13{,}8}{70{,}38}\) =
                \(\dfrac{10}{51}\)

Donc :

 \(\dfrac{\text{MF}}{\text{MJ}}\) =
        \(\dfrac{\text{MW}}{\text{MS}}\)

Les droites (FW) et (JS) sont parallèles d'après la réciproque du théorème de Thalès.

\end{itemize}

\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}

\needspace{4\baselineskip}
\subsection*{ Exercice 5 }


\begin{center}\begin{tikzpicture}[line width=0.6pt]
  \draw[black] (2.374,3.363) -- (4.140,0.998);
  \draw[black] (6.043,1.726) -- (4.140,0.998);
  \draw[black] (1.295,2.959) -- (6.102,1.726);
  \draw[black] (2.374,3.363) -- (1.334,2.959);
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{13.6}{16.3}\selectfont] at (6.396,1.847) {A};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{13.6}{16.3}\selectfont] at (3.394,2.736) {K};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{13.6}{16.3}\selectfont] at (3.924,0.614) {W};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{13.6}{16.3}\selectfont] at (2.764,3.679) {D};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{13.6}{16.3}\selectfont] at (0.819,2.845) {T};
\end{tikzpicture}\end{center}


Dans la figure ci-dessus, les points K,D et W sont alignés,
    les points K,T et A sont alignés, et on sait que :

\begin{itemize}
\item  KD = 8{,}4 cm
\item  KT = 9{,}1 cm
\item  KA = 34{,}58 cm
\item  DT = 5{,}2 cm
\item  WA = 19{,}73 cm
\end{itemize}

Les droites (DT) et (WA) sont-elles parallèles ? Justifier.



Les points K, D, W et K, T, A sont alignés dans le même ordre.

\begin{itemize}
\item  \(\dfrac{\text{KT}}{\text{KA}}\) =
                \(\dfrac{9{,}1}{34{,}58}\) =
                \(\dfrac{5}{19}\)
\item  \(\dfrac{\text{DT}}{\text{WA}}\) =
                \(\dfrac{5{,}2}{19{,}73}\) =
                \(\dfrac{520}{1973}\)

Donc :

 \(\dfrac{\text{KT}}{\text{KA}}\) \(\neq\)
        \(\dfrac{\text{DT}}{\text{WA}}\)
\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent\textbf{Rédaction conseillée au collège :}\par

Les droites (DT) et (WA) ne sont pas parallèles. Si elles l'étaient alors ces rapports seraient égaux d'après le théorème de Thalès.

\needspace{3\baselineskip}\par\smallskip\noindent\textbf{Rédaction alternative :}\par

Les droites (DT) et (WA) ne sont pas parallèles d'après la contraposée du théorème de Thalès.

\end{itemize}

\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}

\needspace{4\baselineskip}
\subsection*{ Exercice 6 }


\begin{center}\begin{tikzpicture}[line width=0.6pt]
  \draw[black] (2.374,3.363) -- (4.140,0.998);
  \draw[black] (6.043,1.726) -- (4.140,0.998);
  \draw[black] (1.295,2.959) -- (6.102,1.726);
  \draw[black] (2.374,3.363) -- (1.334,2.959);
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{13.6}{16.3}\selectfont] at (6.396,1.847) {E};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{13.6}{16.3}\selectfont] at (3.394,2.736) {P};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{13.6}{16.3}\selectfont] at (3.924,0.614) {L};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{13.6}{16.3}\selectfont] at (2.764,3.679) {G};
  \node[black, anchor=base, font=\fontsize{13.6}{16.3}\selectfont] at (0.819,2.845) {N};
\end{tikzpicture}\end{center}


Dans la figure ci-dessus, les points P,G et L sont alignés,
    les points P,N et E sont alignés, et on sait que :

\begin{itemize}
\item (GN) // (LE)
\item  PG = 10{,}5 cm
\item  PL = 18{,}9 cm
\item  PN = 13{,}7 cm
\item  LE = 6{,}12 cm
\end{itemize}

Calculer PE et GN.



Les droites (GL) et (NE) sont sécantes en P et les droites (GN) et (LE) sont parallèles.

D'après le théorème de Thalès :

\(\dfrac{\text{PG}}{\text{PL}}\) =
        \(\dfrac{\text{PN}}{\text{PE}}\) =
        \(\dfrac{\text{GN}}{\text{LE}}\)

D'où :

\(\dfrac{10{,}5}{18{,}9}\) =
        \(\dfrac{13{,}7}{\text{PE}}\) =
        \(\dfrac{\text{GN}}{6{,}12}\)

 PE = 13{,}7 \(\times\) 18{,}9 / 10{,}5 = 24{,}66 cm

 GN = 6{,}12 \(\times\) 10{,}5 / 18{,}9 = 3{,}4 cm

\end{document}
