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% -------- PARAMÈTRES --------
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\newcommand{\soustitre}{5ème à DNB / Aires et périmètres}
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\newcommand{\duree}{1 h 30}
\newcommand{\bareme}{/20}
\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(0,-0.25)}, x=0.55cm, y=0.66cm]
    \path[
        decorate,
        decoration={
            text along path,
            text={|\sffamily\bfseries\scriptsize|site2wouf.fr},
            text align=center
        }
    ] (-1.3,0.66) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.38];
    \fill (0,-0.28) ellipse[x radius=0.48,y radius=0.42];
    \fill (-0.64,0.42) ellipse[x radius=0.22,y radius=0.31];
    \fill (-0.22,0.68) ellipse[x radius=0.22,y radius=0.35];
    \fill (0.22,0.68) ellipse[x radius=0.22,y radius=0.35];
    \fill (0.64,0.42) ellipse[x radius=0.22,y radius=0.31];
\end{tikzpicture}%
}

% -------- HEADER --------
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\raisebox{4pt}{%
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    \centering
    \logowouf
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    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.18\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.7cm]{\monurl}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Sujet original de préparation progressive de la 5ème au DNB. Compétences visées : calculer des périmètres, des aires, convertir des unités, utiliser le théorème de Pythagore, résoudre des problèmes d'échelle et modéliser des situations concrètes.
\end{center}

\vspace{0.5em}

\section*{Exercice 1 -- Formules à connaître}

Compléter le tableau suivant.

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.6}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
Figure & Périmètre & Aire \\
\hline
Carré de côté $c$ & & \\
\hline
Rectangle de longueur $L$ et largeur $l$ & & \\
\hline
Triangle de base $b$ et hauteur $h$ & & \\
\hline
Disque de rayon $r$ & & \\
\hline
Parallélogramme de base $b$ et hauteur $h$ & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Quelle est la différence entre périmètre et aire ?
    \item Donner l'unité adaptée pour mesurer une aire.
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 2 -- Carrés et rectangles}

Un rectangle a une longueur de $14$ cm et une largeur de $9$ cm.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Calculer son périmètre.
    \item Calculer son aire.
\end{enumerate}

Un carré a une aire de $81$ cm$^2$.

\begin{enumerate}[label=\arabic*),resume]
    \item Calculer la longueur de son côté.
    \item Calculer son périmètre.
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 3 -- Triangles}

On considère le triangle $ABC$ ci-dessous.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
    \coordinate (A) at (0,0);
    \coordinate (B) at (6,0);
    \coordinate (C) at (2,3);
    \coordinate (H) at (2,0);
    \draw[thick] (A)--(B)--(C)--cycle;
    \draw[dashed] (C)--(H);
    \draw (2.25,0)--(2.25,0.25)--(2,0.25);
    \node[below] at (3,0) {$10$ cm};
    \node[right] at (2,1.5) {$6$ cm};
    \node[below] at (A) {$A$};
    \node[below] at (B) {$B$};
    \node[above] at (C) {$C$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Calculer l'aire du triangle $ABC$.
    \item On sait que $AC=7$ cm et $BC=8$ cm. Calculer le périmètre du triangle.
    \item Expliquer pourquoi la hauteur n'est pas forcément un côté du triangle.
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 4 -- Figures composées}

La figure suivante est formée d'un rectangle et d'un demi-disque. Le rectangle mesure $12$ cm de long et $6$ cm de large. Le demi-disque a pour diamètre la largeur du rectangle.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
    \draw[thick] (0,0) rectangle (6,3);
    \draw[thick] (6,0) arc[start angle=-90,end angle=90,radius=1.5];
    \draw[dashed] (6,0)--(6,3);
    \node[below] at (3,0) {$12$ cm};
    \node[left] at (0,1.5) {$6$ cm};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Calculer l'aire du rectangle.
    \item Calculer l'aire du demi-disque en fonction de $\pi$.
    \item Calculer l'aire totale de la figure en fonction de $\pi$.
    \item Donner une valeur approchée de l'aire totale au cm$^2$ près.
    \item Calculer le périmètre de la figure en fonction de $\pi$.
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 5 -- Conversions d'unités}

Effectuer les conversions suivantes.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $3{,}5$ m en cm.
    \item $420$ cm en m.
    \item $2{,}4$ m$^2$ en cm$^2$.
    \item $75\,000$ mm$^2$ en cm$^2$.
    \item $0{,}08$ km$^2$ en m$^2$.
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 6 -- Cercle et disque}

Un rond-point a la forme d'un disque de rayon $8$ m.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Calculer son périmètre en fonction de $\pi$.
    \item Donner une valeur approchée du périmètre au mètre près.
    \item Calculer son aire en fonction de $\pi$.
    \item Donner une valeur approchée de l'aire au m$^2$ près.
    \item On installe une bordure tout autour. Si la bordure coûte $18$ euros par mètre, estimer le coût total.
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 7 -- Avec Pythagore}

Un jardin rectangulaire mesure $24$ m de long et $10$ m de large.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Calculer le périmètre du jardin.
    \item Calculer son aire.
    \item Un chemin va d'un coin du jardin au coin opposé. Calculer la longueur de ce chemin.
    \item On pose une clôture sur tout le contour, sauf un portail de $3$ m. Quelle longueur de clôture faut-il acheter ?
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 8 -- Agrandissement et réduction}

Une figure $F$ a une aire de $45$ cm$^2$ et un périmètre de $30$ cm.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item On agrandit la figure avec un coefficient $2$. Quel est le nouveau périmètre ?
    \item Quelle est la nouvelle aire ?
    \item On réduit la figure initiale avec un coefficient $0{,}4$. Quel est le nouveau périmètre ?
    \item Quelle est la nouvelle aire ?
    \item Expliquer pourquoi l'aire n'est pas multipliée par le même coefficient que les longueurs.
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 9 -- Aire hachurée}

Dans un carré de côté $10$ cm, on trace un disque de rayon $4$ cm. On s'intéresse à la partie du carré située à l'extérieur du disque.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.55]
    \fill[gray!20] (0,0) rectangle (5,5);
    \fill[white] (2.5,2.5) circle (2);
    \draw[thick] (0,0) rectangle (5,5);
    \draw[thick] (2.5,2.5) circle (2);
    \node[below] at (2.5,0) {$10$ cm};
    \draw[dashed] (2.5,2.5)--(4.5,2.5);
    \node[above] at (3.5,2.5) {$4$ cm};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Calculer l'aire du carré.
    \item Calculer l'aire du disque en fonction de $\pi$.
    \item Calculer l'aire hachurée en fonction de $\pi$.
    \item Donner une valeur approchée au cm$^2$ près.
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 10 -- Type brevet : terrain municipal}

Une commune veut aménager un terrain composé d'un rectangle et de deux demi-cercles, comme sur le schéma. La partie rectangulaire mesure $60$ m sur $32$ m. Les deux demi-cercles ont pour diamètre la largeur du rectangle.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.08]
    \draw[thick] (0,0)--(60,0);
    \draw[thick] (0,32)--(60,32);
    \draw[thick] (0,0) arc[start angle=-90,end angle=90,radius=16];
    \draw[thick] (60,32) arc[start angle=90,end angle=-90,radius=16];
    \draw[dashed] (0,0)--(0,32);
    \draw[dashed] (60,0)--(60,32);
    \node[below] at (30,0) {$60$ m};
    \node[left] at (0,16) {$32$ m};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Calculer l'aire de la partie rectangulaire.
    \item Montrer que les deux demi-cercles forment un disque de rayon $16$ m.
    \item Calculer l'aire totale du terrain en fonction de $\pi$.
    \item Donner une valeur approchée de cette aire au m$^2$ près.
    \item La commune veut semer du gazon. Un sac couvre $250$ m$^2$. Combien de sacs faut-il acheter ?
    \item Calculer le périmètre du terrain en fonction de $\pi$.
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 11 -- Synthèse DNB}

Un logo est composé d'un triangle rectangle et d'un demi-disque construit sur l'hypoténuse du triangle. Les côtés de l'angle droit mesurent $9$ cm et $12$ cm.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.45]
    \coordinate (A) at (0,0);
    \coordinate (B) at (12,0);
    \coordinate (C) at (0,9);
    \coordinate (M) at (6,4.5);
    \draw[thick] (A)--(B)--(C)--cycle;
    \draw[thick] (B) arc[start angle=-36.87,end angle=143.13,radius=7.5];
    \draw (0.7,0)--(0.7,0.7)--(0,0.7);
    \node[below] at (6,0) {$12$ cm};
    \node[left] at (0,4.5) {$9$ cm};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Calculer la longueur de l'hypoténuse du triangle.
    \item Calculer l'aire du triangle rectangle.
    \item Quel est le rayon du demi-disque ?
    \item Calculer l'aire du demi-disque en fonction de $\pi$.
    \item Calculer l'aire totale du logo en fonction de $\pi$.
    \item Donner une valeur approchée de l'aire totale au cm$^2$ près.
\end{enumerate}

\vfill
\begin{center}
    \textit{Fin du sujet}
\end{center}

\newpage

\section*{Correction}

\subsection*{Exercice 1}

Tableau complété :

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
Figure & Périmètre & Aire \\
\hline
Carré de côté $c$ & $4c$ & $c^2$ \\
\hline
Rectangle ($L$, $l$) & $2(L+l)$ & $L\times l$ \\
\hline
Triangle (base $b$, hauteur $h$) & somme des 3 côtés & $\dfrac{b\times h}{2}$ \\
\hline
Disque de rayon $r$ & $2\pi r$ & $\pi r^2$ \\
\hline
Parallélogramme ($b$, $h$) & somme des 4 côtés & $b\times h$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Le périmètre mesure le contour d'une figure ; l'aire mesure la surface intérieure.
    \item Une aire se mesure par exemple en cm$^2$, m$^2$ ou km$^2$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 2}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Le périmètre du rectangle vaut $2\times(14+9)=46$ cm.
    \item Son aire vaut $14\times9=126$ cm$^2$.
    \item Le côté du carré vaut $\sqrt{81}=9$ cm.
    \item Son périmètre vaut $4\times9=36$ cm.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 3}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item L'aire vaut $\dfrac{10\times6}{2}=30$ cm$^2$.
    \item Le périmètre vaut $10+7+8=25$ cm.
    \item Une hauteur est une droite perpendiculaire à un côté ou à son prolongement ; elle peut donc être située à l'intérieur ou à l'extérieur du triangle.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 4}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item L'aire du rectangle vaut $12\times6=72$ cm$^2$.
    \item Le demi-disque a pour rayon $3$ cm, donc son aire vaut $\dfrac{\pi\times3^2}{2}=\dfrac{9\pi}{2}$ cm$^2$.
    \item L'aire totale vaut $72+\dfrac{9\pi}{2}$ cm$^2$.
    \item $72+\dfrac{9\pi}{2}\approx86$ cm$^2$.
    \item Le périmètre vaut $12+12+6+3\pi=30+3\pi$ cm.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 5}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $3{,}5$ m $=350$ cm.
    \item $420$ cm $=4{,}2$ m.
    \item $2{,}4$ m$^2=24\,000$ cm$^2$.
    \item $75\,000$ mm$^2=750$ cm$^2$.
    \item $0{,}08$ km$^2=80\,000$ m$^2$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 6}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Le périmètre vaut $2\pi\times8=16\pi$ m.
    \item $16\pi\approx50$ m.
    \item L'aire vaut $\pi\times8^2=64\pi$ m$^2$.
    \item $64\pi\approx201$ m$^2$.
    \item Le coût est environ $50\times18=900$ euros.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 7}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Le périmètre vaut $2\times(24+10)=68$ m.
    \item L'aire vaut $24\times10=240$ m$^2$.
    \item La diagonale vaut $\sqrt{24^2+10^2}=\sqrt{676}=26$ m.
    \item Il faut $68-3=65$ m de clôture.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 8}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Le nouveau périmètre vaut $30\times2=60$ cm.
    \item La nouvelle aire vaut $45\times2^2=180$ cm$^2$.
    \item Le nouveau périmètre vaut $30\times0{,}4=12$ cm.
    \item La nouvelle aire vaut $45\times0{,}4^2=7{,}2$ cm$^2$.
    \item Les aires dépendent de deux dimensions : elles sont multipliées par le carré du coefficient.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 9}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item L'aire du carré vaut $10^2=100$ cm$^2$.
    \item L'aire du disque vaut $\pi\times4^2=16\pi$ cm$^2$.
    \item L'aire hachurée vaut $100-16\pi$ cm$^2$.
    \item $100-16\pi\approx50$ cm$^2$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 10}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item L'aire du rectangle vaut $60\times32=1\,920$ m$^2$.
    \item Deux demi-cercles de même diamètre forment un disque complet. Le diamètre vaut $32$ m, donc le rayon vaut $16$ m.
    \item L'aire totale vaut $1\,920+\pi\times16^2=1\,920+256\pi$ m$^2$.
    \item $1\,920+256\pi\approx2\,724$ m$^2$.
    \item $2\,724\div250\approx10{,}9$, donc il faut acheter $11$ sacs.
    \item Le périmètre vaut $2\times60+2\pi\times16=120+32\pi$ m.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 11}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item L'hypoténuse vaut $\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{225}=15$ cm.
    \item L'aire du triangle vaut $\dfrac{9\times12}{2}=54$ cm$^2$.
    \item Le rayon du demi-disque vaut $15\div2=7{,}5$ cm.
    \item L'aire du demi-disque vaut $\dfrac{\pi\times7{,}5^2}{2}=28{,}125\pi$ cm$^2$.
    \item L'aire totale vaut $54+28{,}125\pi$ cm$^2$.
    \item $54+28{,}125\pi\approx142$ cm$^2$.
\end{enumerate}

\end{document}