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% -------- PARAMÈTRES --------
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\begin{tikzpicture}[baseline={(0,-0.25)}, x=0.55cm, y=0.66cm]
    \path[
        decorate,
        decoration={
            text along path,
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% -------- HEADER --------
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}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Sujet original de préparation au DNB. Compétences visées : utiliser les critères de divisibilité, décomposer en facteurs premiers, calculer un PGCD, simplifier des fractions, résoudre des problèmes de partage et raisonner sur la divisibilité.
\end{center}

\vspace{0.5em}

\section*{Exercice 1 -- Vocabulaire et divisibilité}

Répondre aux questions suivantes.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Donner la définition d'un multiple d'un nombre entier.
    \item Donner la définition d'un diviseur d'un nombre entier.
    \item Dire si $7$ est un diviseur de $84$. Justifier.
    \item Dire si $96$ est un multiple de $8$. Justifier.
    \item Donner trois multiples de $15$ supérieurs à $100$.
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 2 -- Critères de divisibilité}

Pour chaque nombre, indiquer s'il est divisible par $2$, par $3$, par $5$, par $9$ et par $10$.

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Nombre & par $2$ & par $3$ & par $5$ & par $9$ & par $10$ \\
\hline
$360$ & & & & & \\
\hline
$1\,245$ & & & & & \\
\hline
$7\,812$ & & & & & \\
\hline
$9\,990$ & & & & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Expliquer le critère de divisibilité par $3$.
    \item Expliquer le critère de divisibilité par $9$.
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 3 -- Nombres premiers}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Rappeler la définition d'un nombre premier.
    \item Parmi les nombres suivants, entourer les nombres premiers :
    \[
        11 \quad 21 \quad 29 \quad 39 \quad 41 \quad 51 \quad 57 \quad 67.
    \]
    \item Expliquer pourquoi $51$ n'est pas premier.
    \item Donner tous les nombres premiers compris entre $20$ et $40$.
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 4 -- Décompositions en facteurs premiers}

Décomposer les nombres suivants en produit de facteurs premiers.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $84$
    \item $150$
    \item $252$
    \item $1\,260$
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
    \node at (0,0) {Exemple :};
    \node[draw,minimum width=1.2cm] at (2,0) {$60$};
    \node at (3.2,0) {$=2\times30$};
    \node at (5,0) {$=2\times2\times15$};
    \node at (7.4,0) {$=2^2\times3\times5$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 5 -- Fractions irréductibles}

Rendre les fractions suivantes irréductibles à l'aide d'une décomposition en facteurs premiers ou d'un PGCD.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $\dfrac{42}{56}$
    \item $\dfrac{84}{126}$
    \item $\dfrac{150}{210}$
    \item $\dfrac{1\,260}{1\,980}$
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 6 -- PGCD}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Calculer le PGCD de $72$ et $96$.
    \item Calculer le PGCD de $135$ et $210$.
    \item Calculer le PGCD de $462$ et $1\,078$.
    \item En déduire une simplification de $\dfrac{462}{1\,078}$.
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 7 -- Algorithme d'Euclide}

On veut calculer le PGCD de $1\,176$ et $882$.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Effectuer la division euclidienne de $1\,176$ par $882$.
    \item Effectuer la division euclidienne de $882$ par le reste obtenu.
    \item Continuer l'algorithme jusqu'à obtenir un reste nul.
    \item Donner le PGCD de $1\,176$ et $882$.
    \item La fraction $\dfrac{882}{1\,176}$ est-elle irréductible ? Si non, la rendre irréductible.
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 8 -- Problème de partage}

Un professeur dispose de $168$ stylos bleus et de $126$ stylos rouges. Il veut préparer des lots identiques en utilisant tous les stylos.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Pourquoi le nombre de lots doit-il être un diviseur commun de $168$ et $126$ ?
    \item Quel est le nombre maximal de lots identiques qu'il peut préparer ?
    \item Combien y aura-t-il de stylos bleus dans chaque lot ?
    \item Combien y aura-t-il de stylos rouges dans chaque lot ?
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 9 -- Engrenages}

Deux roues dentées tournent ensemble. La première possède $24$ dents et la seconde possède $40$ dents. Au départ, deux dents marquées sont en contact.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item On cherche le plus petit nombre de dents passées pour que les deux dents marquées soient à nouveau en contact. Doit-on chercher un multiple commun ou un diviseur commun ?
    \item Calculer le PPCM de $24$ et $40$.
    \item Combien de tours la première roue aura-t-elle effectués ?
    \item Combien de tours la seconde roue aura-t-elle effectués ?
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 10 -- Type brevet : mosaïque}

Une salle rectangulaire mesure $8{,}4$ m de long et $6{,}3$ m de large. On veut la carreler avec des carreaux carrés identiques, sans découpe, dont le côté est un nombre entier de centimètres. On veut utiliser les plus grands carreaux possibles.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Convertir les dimensions de la salle en centimètres.
    \item Expliquer pourquoi la longueur du côté d'un carreau doit diviser $840$ et $630$.
    \item Calculer la plus grande longueur possible du côté d'un carreau.
    \item Combien de carreaux faut-il dans la longueur ?
    \item Combien de carreaux faut-il dans la largeur ?
    \item Combien de carreaux faut-il au total ?
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 11 -- Synthèse DNB}

Un club organise une sortie. Il dispose de $294$ élèves et de $210$ accompagnateurs à répartir dans des groupes identiques. Tous les élèves et tous les accompagnateurs doivent être répartis. On souhaite former le plus grand nombre possible de groupes.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Calculer le plus grand nombre de groupes possibles.
    \item Combien d'élèves y aura-t-il dans chaque groupe ?
    \item Combien d'accompagnateurs y aura-t-il dans chaque groupe ?
    \item Vérifier que la fraction $\dfrac{210}{294}$ peut être simplifiée avec le nombre trouvé.
    \item Rendre la fraction $\dfrac{210}{294}$ irréductible.
\end{enumerate}

\vfill
\begin{center}
    \textit{Fin du sujet}
\end{center}

\newpage

\section*{Correction}

\subsection*{Exercice 1}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Un multiple de $a$ est un nombre qui peut s'écrire $a\times k$, avec $k$ entier.
    \item Un diviseur de $n$ est un entier qui divise $n$ sans reste.
    \item Oui, car $84=7\times12$.
    \item Oui, car $96=8\times12$.
    \item Par exemple $105$, $120$ et $135$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 2}

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Nombre & par $2$ & par $3$ & par $5$ & par $9$ & par $10$ \\
\hline
$360$ & oui & oui & oui & oui & oui \\
\hline
$1\,245$ & non & oui & oui & non & non \\
\hline
$7\,812$ & oui & oui & non & oui & non \\
\hline
$9\,990$ & oui & oui & oui & oui & oui \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Un nombre est divisible par $3$ si la somme de ses chiffres est divisible par $3$.
    \item Un nombre est divisible par $9$ si la somme de ses chiffres est divisible par $9$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 3}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Un nombre premier est un entier supérieur ou égal à $2$ qui possède exactement deux diviseurs positifs : $1$ et lui-même.
    \item Les nombres premiers sont $11$, $29$, $41$ et $67$.
    \item $51$ n'est pas premier car $51=3\times17$.
    \item Les nombres premiers compris entre $20$ et $40$ sont $23$, $29$, $31$ et $37$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 4}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $84=2^2\times3\times7$.
    \item $150=2\times3\times5^2$.
    \item $252=2^2\times3^2\times7$.
    \item $1\,260=2^2\times3^2\times5\times7$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 5}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $\dfrac{42}{56}=\dfrac{3}{4}$.
    \item $\dfrac{84}{126}=\dfrac{2}{3}$.
    \item $\dfrac{150}{210}=\dfrac{5}{7}$.
    \item $\dfrac{1\,260}{1\,980}=\dfrac{7}{11}$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 6}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $\text{PGCD}(72;96)=24$.
    \item $\text{PGCD}(135;210)=15$.
    \item $1\,078=2\times462+154$ et $462=3\times154$, donc $\text{PGCD}(462;1\,078)=154$.
    \item $\dfrac{462}{1\,078}=\dfrac{3}{7}$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 7}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $1\,176=1\times882+294$.
    \item $882=3\times294+0$.
    \item L'algorithme s'arrête car le reste est nul.
    \item $\text{PGCD}(1\,176;882)=294$.
    \item La fraction n'est pas irréductible : $\dfrac{882}{1\,176}=\dfrac{3}{4}$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 8}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Le nombre de lots doit diviser le nombre de stylos bleus et le nombre de stylos rouges pour qu'il n'y ait aucun reste.
    \item $\text{PGCD}(168;126)=42$, donc le nombre maximal de lots est $42$.
    \item $168\div42=4$ stylos bleus par lot.
    \item $126\div42=3$ stylos rouges par lot.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 9}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Il faut chercher un multiple commun, et plus précisément le plus petit multiple commun.
    \item $24=2^3\times3$ et $40=2^3\times5$, donc $\text{PPCM}(24;40)=2^3\times3\times5=120$.
    \item La première roue aura effectué $120\div24=5$ tours.
    \item La seconde roue aura effectué $120\div40=3$ tours.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 10}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $8{,}4$ m $=840$ cm et $6{,}3$ m $=630$ cm.
    \item Le côté du carreau doit diviser exactement les deux dimensions pour éviter les découpes.
    \item $\text{PGCD}(840;630)=210$, donc le plus grand côté possible est $210$ cm.
    \item $840\div210=4$ carreaux dans la longueur.
    \item $630\div210=3$ carreaux dans la largeur.
    \item Il faut $4\times3=12$ carreaux au total.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 11}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $\text{PGCD}(294;210)=42$, donc on peut former au maximum $42$ groupes.
    \item $294\div42=7$ élèves par groupe.
    \item $210\div42=5$ accompagnateurs par groupe.
    \item $42$ divise bien $210$ et $294$, donc $\dfrac{210}{294}=\dfrac{210\div42}{294\div42}$.
    \item $\dfrac{210}{294}=\dfrac{5}{7}$.
\end{enumerate}

\end{document}