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% -------- PARAMÈTRES --------
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\newcommand{\soustitre}{Tout sur le calcul littéral -- préparation au DNB}
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\begin{tikzpicture}[baseline={(0,-0.25)}, x=0.55cm, y=0.66cm]
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        decorate,
        decoration={
            text along path,
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    \fill (0,-0.28) ellipse[x radius=0.48,y radius=0.42];
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% -------- HEADER --------
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    \qrcode[height=1.7cm]{\monurl}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Sujet original de préparation progressive. Compétences visées : traduire une situation par une expression littérale, substituer une valeur, réduire, supprimer des parenthèses, développer, factoriser, utiliser les identités remarquables et résoudre des équations simples de type DNB.
\end{center}

\vspace{0.5em}

\section*{Exercice 1 -- Traduire avec des lettres}

On note $x$ un nombre quelconque.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Écrire en expression littérale : le double de $x$.
    \item Écrire : la somme de $x$ et de $7$.
    \item Écrire : le produit de $5$ par la somme de $x$ et de $3$.
    \item Écrire : le carré de la différence entre $x$ et $4$.
    \item Écrire : le nombre entier qui suit $x$, puis celui qui précède $x$.
    \item Traduire par une phrase l'expression $3x+8$.
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 2 -- Calculer une expression}

On considère l'expression
\[
A=4x^2-3x+5.
\]

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Calculer $A$ pour $x=0$.
    \item Calculer $A$ pour $x=2$.
    \item Calculer $A$ pour $x=-1$.
    \item Calculer $A$ pour $x=\dfrac{1}{2}$.
\end{enumerate}

On considère aussi $B=2(a+b)-3a$.

\begin{enumerate}[label=\arabic*),resume]
    \item Calculer $B$ pour $a=4$ et $b=7$.
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 3 -- Réduire une expression}

Réduire les expressions suivantes.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $3x+5x$
    \item $7a-2a+4a$
    \item $5x+3-2x+8$
    \item $4y^2+3y-2y^2+7y-1$
    \item $6ab-2a+3ab+5a$
    \item $2x^2+3x+4-5x^2+x-9$
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 4 -- Supprimer des parenthèses}

Réduire les expressions suivantes.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $C=7x+(3x-5)$
    \item $D=9a-(4a+2)$
    \item $E=5y-(2y-7)$
    \item $F=3x+2-(x-8)$
    \item $G=(4t-1)-(2t+6)+(t-3)$
    \item $H=10-(2x-5)+(3x+1)$
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 5 -- Développer}

Développer et réduire.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $2(x+5)$
    \item $-3(a-4)$
    \item $5(2x-7)$
    \item $(x+3)(x+4)$
    \item $(2x-1)(x+5)$
    \item $(3a+2)(4a-1)$
    \item $(x-6)(x+6)$
    \item $(2y-3)^2$
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 6 -- Factoriser}

Factoriser les expressions suivantes.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $6x+9$
    \item $12a-8$
    \item $5x^2+10x$
    \item $7y(y+2)+3(y+2)$
    \item $4x^2-25$
    \item $x^2+6x+9$
    \item $9a^2-12a+4$
    \item $(x+1)(x-3)+5(x-3)$
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 7 -- Identités remarquables}

Compléter puis utiliser les identités remarquables.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $(a+b)^2=\ldots$
    \item $(a-b)^2=\ldots$
    \item $(a-b)(a+b)=\ldots$
    \item Développer $(x+7)^2$.
    \item Développer $(3x-2)^2$.
    \item Développer $(5x-1)(5x+1)$.
    \item Factoriser $x^2-16$.
    \item Factoriser $x^2-10x+25$.
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 8 -- Équations simples}

Résoudre les équations suivantes.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $3x+5=20$
    \item $7x-4=3x+12$
    \item $5(2x-1)=25$
    \item $4x+3=2x-9$
    \item $\dfrac{x}{3}+4=10$
    \item $2(x+5)-3x=7$
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 9 -- Programmes de calcul}

Voici deux programmes de calcul.

\begin{center}
\fbox{%
\begin{minipage}{0.42\textwidth}
\textbf{Programme A}\par
Choisir un nombre.\par
Ajouter $4$.\par
Multiplier le résultat par $3$.\par
Soustraire $12$.
\end{minipage}}
\hfill
\fbox{%
\begin{minipage}{0.42\textwidth}
\textbf{Programme B}\par
Choisir un nombre.\par
Multiplier par $3$.\par
Ajouter le double du nombre choisi.\par
Soustraire $2$ fois le nombre choisi.
\end{minipage}}
\end{center}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Tester les deux programmes avec le nombre $5$.
    \item On note $x$ le nombre choisi. Écrire l'expression obtenue avec le programme A.
    \item Développer et réduire cette expression.
    \item Écrire puis réduire l'expression obtenue avec le programme B.
    \item Que peut-on dire des deux programmes ? Justifier.
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 10 -- Type DNB : géométrie et calcul littéral}

On considère un rectangle de longueur $x+5$ cm et de largeur $x-2$ cm, avec $x>2$.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Exprimer son périmètre $P$ en fonction de $x$, puis réduire.
    \item Exprimer son aire $\mathcal A$ en fonction de $x$, puis développer.
    \item Calculer le périmètre et l'aire pour $x=7$.
    \item Pour quelle valeur de $x$ le périmètre vaut-il $34$ cm ?
\end{enumerate}

On considère maintenant un carré de côté $x+1$ cm.

\begin{enumerate}[label=\arabic*),resume]
    \item Exprimer son aire développée.
    \item Pour quelle valeur de $x$ le rectangle et le carré ont-ils la même aire ? Écrire et résoudre l'équation correspondante.
\end{enumerate}

\vspace{1em}

\section*{Exercice 11 -- Synthèse DNB}

On donne l'expression
\[
K=(2x-3)^2-(x+4)(2x-3).
\]

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Développer et réduire $K$.
    \item Factoriser $K$.
    \item Calculer $K$ pour $x=3$ en utilisant la forme la plus simple.
    \item Résoudre l'équation $K=0$ à l'aide de la forme factorisée.
    \item Vérifier une des solutions dans l'expression de départ.
\end{enumerate}

\vfill
\begin{center}
    \textit{Fin du sujet}
\end{center}

\newpage

\section*{Correction}

\subsection*{Exercice 1}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Le double de $x$ est $2x$.
    \item La somme de $x$ et de $7$ est $x+7$.
    \item Le produit de $5$ par la somme de $x$ et de $3$ est $5(x+3)$.
    \item Le carré de la différence entre $x$ et $4$ est $(x-4)^2$.
    \item Le nombre suivant est $x+1$ et le précédent est $x-1$.
    \item $3x+8$ peut se lire : « le triple de $x$ augmenté de $8$ ».
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 2}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Pour $x=0$, $A=5$.
    \item Pour $x=2$, $A=4\times4-6+5=15$.
    \item Pour $x=-1$, $A=4+3+5=12$.
    \item Pour $x=\dfrac12$, $A=4\times\dfrac14-\dfrac32+5=\dfrac92$.
    \item Pour $a=4$ et $b=7$, $B=2(11)-12=10$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 3}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $3x+5x=8x$.
    \item $7a-2a+4a=9a$.
    \item $5x+3-2x+8=3x+11$.
    \item $4y^2+3y-2y^2+7y-1=2y^2+10y-1$.
    \item $6ab-2a+3ab+5a=9ab+3a$.
    \item $2x^2+3x+4-5x^2+x-9=-3x^2+4x-5$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 4}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $C=7x+3x-5=10x-5$.
    \item $D=9a-4a-2=5a-2$.
    \item $E=5y-2y+7=3y+7$.
    \item $F=3x+2-x+8=2x+10$.
    \item $G=4t-1-2t-6+t-3=3t-10$.
    \item $H=10-2x+5+3x+1=x+16$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 5}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $2(x+5)=2x+10$.
    \item $-3(a-4)=-3a+12$.
    \item $5(2x-7)=10x-35$.
    \item $(x+3)(x+4)=x^2+7x+12$.
    \item $(2x-1)(x+5)=2x^2+9x-5$.
    \item $(3a+2)(4a-1)=12a^2+5a-2$.
    \item $(x-6)(x+6)=x^2-36$.
    \item $(2y-3)^2=4y^2-12y+9$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 6}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $6x+9=3(2x+3)$.
    \item $12a-8=4(3a-2)$.
    \item $5x^2+10x=5x(x+2)$.
    \item $7y(y+2)+3(y+2)=(y+2)(7y+3)$.
    \item $4x^2-25=(2x-5)(2x+5)$.
    \item $x^2+6x+9=(x+3)^2$.
    \item $9a^2-12a+4=(3a-2)^2$.
    \item $(x+1)(x-3)+5(x-3)=(x-3)(x+6)$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 7}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.
    \item $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.
    \item $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.
    \item $(x+7)^2=x^2+14x+49$.
    \item $(3x-2)^2=9x^2-12x+4$.
    \item $(5x-1)(5x+1)=25x^2-1$.
    \item $x^2-16=(x-4)(x+4)$.
    \item $x^2-10x+25=(x-5)^2$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 8}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $3x+5=20$, donc $x=5$.
    \item $7x-4=3x+12$, donc $4x=16$ et $x=4$.
    \item $5(2x-1)=25$, donc $2x-1=5$, $2x=6$ et $x=3$.
    \item $4x+3=2x-9$, donc $2x=-12$ et $x=-6$.
    \item $\dfrac{x}{3}+4=10$, donc $\dfrac{x}{3}=6$ et $x=18$.
    \item $2(x+5)-3x=7$, donc $2x+10-3x=7$, $-x=-3$ et $x=3$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 9}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Avec $5$, le programme A donne $(5+4)\times3-12=15$ et le programme B donne $15+10-10=15$.
    \item Le programme A donne $3(x+4)-12$.
    \item $3(x+4)-12=3x+12-12=3x$.
    \item Le programme B donne $3x+2x-2x=3x$.
    \item Les deux programmes sont équivalents : ils donnent toujours $3x$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 10}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $P=2(x+5)+2(x-2)=4x+6$.
    \item $\mathcal A=(x+5)(x-2)=x^2+3x-10$.
    \item Pour $x=7$, $P=34$ cm et $\mathcal A=49+21-10=60$ cm$^2$.
    \item $4x+6=34$, donc $4x=28$ et $x=7$.
    \item L'aire du carré est $(x+1)^2=x^2+2x+1$.
    \item On résout $(x+1)^2=(x+5)(x-2)$, soit $x^2+2x+1=x^2+3x-10$, donc $2x+1=3x-10$, d'où $x=11$.
    Vérification : carré de côté $12$, aire $144$ cm$^2$ ; rectangle $16\times 9$, aire $144$ cm$^2$. $\checkmark$
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 11}

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item $K=(4x^2-12x+9)-(2x^2+5x-12)=2x^2-17x+21$.
    \item $K=(2x-3)\bigl((2x-3)-(x+4)\bigr)=(2x-3)(x-7)$.
    \item Pour $x=3$, $K=(6-3)(3-7)=3\times(-4)=-12$.
    \item $K=0$ donne $(2x-3)(x-7)=0$, donc $x=\dfrac32$ ou $x=7$.
    \item Pour $x=7$, $K=(14-3)^2-(7+4)(14-3)=11^2-11\times11=0$.
\end{enumerate}

\end{document}