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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
{\Large\bfseries Diplôme national du brevet\\[4pt]
Brevet des collèges — Amérique du Nord, juin 2008}
\end{center}

\vspace{3mm}

\begin{center}
\colorbox{gray!15}{\parbox{0.85\textwidth}{\centering\Large\bfseries CORRIGÉ DE L'ÉPREUVE}}
\end{center}

\bigskip
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip
 
On donne les nombres :

\[\text{A} = \dfrac{3}{7} - \dfrac{2}{7}\times \dfrac{21}{8}~  ; \quad \text{B} = \dfrac{3 \times 10^2 \times 1,8 \times 10^{-3}}{6 \times 10^4} ~; \quad \text{C} = \sqrt{12} - 5\sqrt{75} + 2\sqrt{147}.\]

\begin{enumerate}
\item  %Calculer A et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
$\text{A} = \dfrac{3}{7} - \dfrac{2}{7}\times \dfrac{21}{8} =  \dfrac{3}{7} - \dfrac{2 \times 3 \times 7}{7 \times 2 \times 4} =  \dfrac{3}{7} - \dfrac{3}{4} = \dfrac{3\times 4}{7\times 4} - \dfrac{3\times 7}{4\times 7} = \dfrac{12 - 21}{4\times 7} = - \dfrac{9}{28}$.
%Écrire toutes les étapes du calcul. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Donner l'écriture décimale de B.
$\text{B} = \dfrac{3 \times 10^2 \times 1,8 \times 10^{-3}}{6 \times 10^4} = \dfrac{5,4 \times 10^{-1}}{6\times 10^4} = 0,9 \times 10^{- 5} = \np{0,000009}$. 
		\item %Exprimer B en écriture scientifique.
$\text{B} =  \np{0,000009} = 9 \times 10^{- 6}$.
	 \end{enumerate}  
\item %Écrire C sous la forme $a\sqrt{3}$, où  $a$ est un nombre entier.
C $ = \sqrt{12} - 5\sqrt{75} + 2\sqrt{147} = \sqrt{4\times 3} - 5 \sqrt{25\times 3} + 2\sqrt{49\times 3} = $

$\sqrt{4}\times \sqrt{3}  - 5\sqrt{25}\times \sqrt{3} + 2\sqrt{49}\times \sqrt{3} = 2\sqrt{3} - 25\sqrt{3} + 14\sqrt{3} = - 9\sqrt{3}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
On pose : $D = (12x + 3)(2x - 7) - (2x - 7)^2$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  %Développer et réduire $D$. 
$D = 24x^2 - 84x + 6x - 21 -\left(4x^2 + 49 - 28x \right) =  24x^2 - 84x + 6x - 21 - 4x^2 - 49 + 28x = 20x^2 - 50x - 70$.
\item  %Factoriser $D$.
$D = (12x + 3)(2x - 7) - (2x - 7)^2 = (2x - 7)[(12x + 3) - (2x - 7)] = (2x - 7)(12x + 3 - 2x + 7) = (2x - 7)(10x + 10) = 10(2x - 7)(x + 1)$. 
\item  %Calculer $D$ pour $x = 2$ puis  pour $x = - 1$.
Pour $x = 2$, \:$D = 20\times 2^2 - 50\times 2 - 70 = 80 - 100 - 70 = - 90$.

Pour $x = - 1$,\:$D = 10\times (2 - 7)(- 1 + 1) = - 50 \times 0 = 0$.  
\item  %Résoudre l'équation $(2x - 7)(x + 1) = 0.$
$(2x - 7)(x + 1) = 0$ donc $\left\{\begin{array}{l c l}
2x - 7&=&0\\
x + 1&=&0
\end{array}\right.$ d'où $\left\{\begin{array}{l c l}
2x &=&7\\
x &=&- 1
\end{array}\right.$ et enfin 

$\left\{\begin{array}{l c l}
x &=&\frac{7}{2}\\
x &=&- 1
\end{array}\right.$.
L'équation a deux solutions : $- 1$ et $\frac{7}{2}$.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  %En précisant la méthode utilisée, calculer le PGCD de $378$ et $270$. 
Par l'algorithme d'Euclide :

$378 = 270 \times 1 + 108$ ;

$270 = 108 \times 2 + 54$ ;

$108 = 54 \times 2 + 0$.

Donc 54 est le PGCD à 378 et 270.
\item  %Pour une kermesse, un comité des fêtes dispose de $378$~billes et $270$~calots.

%Il veut faire le plus grand nombre de lots identiques en utilisant toutes les billes et tous les calots. 
	\begin{enumerate}
		\item  %Combien de lots identiques pourra-t-il faire ?
Le nombre de billes et le nombre de calots dans chaque lot doit être un diviseur respectivement de 378 et de 270. Le nombre de  lots doit être un diviseur de 378 et de 270, donc un diviseur commun. Le plus grand nombre de lots sera obtenu avec le PGCD à 378 et 270.
		\item  %Quelle sera la composition de chacun de ces lots ?
Comme $378 = 54 \times 7$ et $270 = 54 \times 5$, il y aura dans chaque lot 7 billes et 5 calots.
   	\end{enumerate}
\end{enumerate}
   
\vspace{0,5cm}

 \textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}    

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip
 
%Dans le plan muni d'un repère orthonormé (O ; I , J), on considère les points : A$(-2~ ;~ 1)$ \quad      B(0 ; 5)  \quad   C$(6~;~-3)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  ~%Sur la copie, faire une figure et placer les points A, B et C.
\begin{center}
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(-3,-4)(9,6)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-3,-4)(9,6)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(7,6)
\psdots(-2,0)(0,5)(6,-3)(8,2)%ABC
\uput[ul](-2,0){A} \uput[ur](0,5){B} \uput[dr](6,-3){C}
\uput[ur](8,2){M}
\psline(0,5)(8,2)
\psset{arrowsize=3pt 4}
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(-2,0)(0,5)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(6,-3)(8,2) 
\pspolygon(-2,0)(0,5)(6,-3)
\end{pspicture}
\end{center}
 
\item  %Montrer que : AC $= 4\sqrt{5}$.
On a $\text{AC}^2 = (6 - (- 2))^2 + (- 3 - 1)^2 = 8^2 + (- 4)^2 = 64 + 16 = 80 = 16 \times 5$. Donc  $\text{AC} = \sqrt{16 \times 5} = \sqrt{16} \times \sqrt{5} = 4\sqrt{5}$.
\item  %On admet que AB $= 2\sqrt{5}$ et BC = 10. Démontrer que le triangle ABC est rectangle.
On a  $\text{BC}^2 = 10^2 = 100$ ;

$\text{BA}^2 + \text{AC}^2 = \left(2\sqrt{5} \right)^2 + 80 = 4\times 5 + 80 = 20 + 80 = 100$.

On a donc : $\text{BC}^2 = \text{BA}^2 + \text{AC}^2$, ce qui montre par réciproque du théorème de Pythagore que le triangle ABC est rectangle en A.
\item  %Sur la figure, placer le point M tel que les vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{CM}}$ soient égaux.
Voir la figure. 
\item  %Préciser la nature du quadrilatère ABMC. Justifier.
L'égalité  $\vect{\text{AB}} = \vect{\text{CM}}$ montre que le quadrilatère ABMC est un parallélogramme. Comme il a un angle droit, c'est donc un rectangle, mais pas un carré car $\text{AB} \ne \text{AC}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
%\emph{La figure ci-dessous n'est pas en vraie grandeur ; on ne demande pas de la reproduire.}
%
%\medskip
%
%\parbox{0.6\linewidth}{On considère un cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de diamètre $8$~cm.
% 
%I et J sont deux points de  diamétralement opposés ;
% 
%K est un point de $\mathcal{C}$ tel que JK = $4$~cm. 
%\begin{enumerate}
%\item  Préciser la nature du triangle IJK. Justifier. 
%\item  Préciser la nature du triangle OJK. Justifier. 
%\item  On appelle R le symétrique de K par rapport à la droite (IJ). Démontrer que le quadrilatère ROKJ est un losange.
%\end{enumerate}}\hfill 
%\parbox{0.35\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(4,4)
%\pscircle(2,2){2}\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](2,2)
%\pspolygon(0.04,1.6)(3.96,2.4)(3.2,0.4)
%\uput[l](0.04,1.6){I} \uput[r](3.96,2.4){J} \uput[dr](3.2,0.4){K}
%\uput[u](2,2){O} \uput[ur](3.4,3.4){$\mathcal{C}$}
%\end{pspicture}}
\begin{enumerate}
\item Le triangle IJK est inscrit dans un cercle qui admet pour diamètre l'un de ses côtés [IJ] ; il est donc rectangle en K.
\item Puisque IJ $ = 8$, le rayon du cercle est égal à 4~cm.
On a $\text{OJ} = \text{OK}  = \text{JK} = 4$ : le triangle OJK est donc équilatéral.
\item Puisque R est le symétrique de K autour de la droite (IJ) la droite (KR) est perpendiculaire à la droite (OI)  ; dans le triangle équilatéral OJK, cette droite est aussi la médiatrice de [OJ], donc [OJ] et [KR] ont le même milieu ce qui montre que le quadrilatère ROKJ est un parallélogramme. Comme il a deux côtés consécutifs ([OK] et [KJ]) de même longueur c'est un losange. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip
  
%\emph{La figure ci-dessous n'est pas en vraie grandeur ; on ne demande pas de la reproduire.}
%
%\parbox{0.55\linewidth}{Les droites (AM) et (BN) sont sécantes en O.
%
%Les dimensions sont en centimètres.
%
%On donne : OA = 3 ; OB = 2,5 ; OM = 5,4 ;
%
%ON = 4,5.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  %Montrer que les droites (AB) et (MN) sont parallèles.
On a $\dfrac{\text{OM}}{\text{OA}} = \dfrac{5,4}{3} = 1,8$ et $\dfrac{\text{ON}}{\text{OB}} = \dfrac{4,5}{2,5} = \dfrac{45}{25} = \dfrac{9}{5} = 1,8$.

Donc $\dfrac{\text{OM}}{\text{OA}} = \dfrac{\text{ON}}{\text{OB}}$ ce qui montre par réciproque de la propriété de Thalès que les  droites (AB) et (MN) sont parallèles.
\item  %On suppose que AB = 1,2. Calculer la distance MN.
On sait que l'on a encore toujours par Thalès :  $\dfrac{\text{MN}}{\text{AB}} = 1,8$ soit $\text{MN} = 1,8 \times 1,2 = 2,16$~cm.
\item  %Choisir parmi les quatre nombres suivants :
Le rapport des longueurs des côtés des deux triangles ONM et OAB étant égal à 1,8, le rapport de leurs aires est égal à $1,8^2 = 3,24$.
%\textbf{a.}~0,6~~\textbf{b.}~1,8~~\textbf{c.}~ 3,24 ~~\textbf{d.}~3,6

%celui qui est égal à $\dfrac{\text{aire du triangle ONM}}{\text{aire du triangle OAB}}$.

%Sur la copie, indiquer ce nombre (sans justification).

%\end{enumerate}}\hfill
%\parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=0.7cm}
%\begin{pspicture}(6.5,7.5)
%\psline(1.4,1)(6.5,2.3)
%\psline(0.2,5.8)(5.7,7.4)
%\psline(1.1,7)(6.5,1.2)
%\psline(2.8,7)(3.9,0.6)
%\uput[ul](1.8,6.1){A} \uput[ur](2.9,6.6){B} \uput[l](3.2,4.7){O} \uput[u](5.7,2.2){M} \uput[dl](3.7,1.6){N} 
%\end{pspicture}}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}    

\medskip

\textbf{Première partie }

\medskip
 
%Un club de squash propose trois tarifs à ses adhérents :
% 
%\begin{itemize}
%\item Tarif A : 8~\euro{} par séance. 
%\item Tarif B : achat d'une carte privilège à 40~\euro{} pour l'année donnant droit à un tarif réduit de 5~\euro{} par séance. 
%\item Tarif C : achat d'une carte confort à 160~\euro{} valable une année et donnant droit à un accès illimité à la salle. 
%\end{itemize}
%     
%Mélissa, nouvelle adhérente au club, étudie les différents tarifs.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Compléter le tableau : 
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline		
Nombre de séances				&10	&18 	&25 \\ \hline
Dépense totale avec le tarif A	&80	&144	&200  \\ \hline   
Dépense totale avec le tarif B 	&90	&130	&165  \\ \hline  
Dépense totale avec le tarif C 	&160&160	&160  \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
  
		\item  %Quel est le tarif le plus avantageux si Mélissa désire faire $10$~séances ?
Pour 10 séances il est plus avantageux de choisir le tarif A.
   	\end{enumerate} 
\item %On appelle $x$ le nombre de séances. 
	\begin{enumerate}
		\item  %Exprimer, en fonction de $x$, la dépense totale  $f(x)$ lorsque Mélissa fait $x$ séances avec le tarif A.
$f(x) = 8x$. 
		\item  %Exprimer, en fonction de $x$, la dépense totale  $g(x)$ lorsque Mélissa fait $x$ séances avec le tarif B.
$g(x) = 40 + 5x$. 
		\item  %Exprimer, en fonction de $x$, la dépense totale  $h(x)$ lorsque Mélissa fait $x$ séances avec le tarif C.
		$h(x) = 160$.
 	  \end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  %Résoudre l'inéquation $5x + 40 \leqslant 8x$.
$5x + 40 \leqslant 8x$ d'où $40 \leqslant 3x$  ou $\dfrac{40}{3} \leqslant x$, donc $x \geqslant 13,333...$.
		\item  %Expliquer, en rédigeant votre réponse, à quoi correspondent les nombres entiers qui sont solutions de cette inéquation.
L'inéquation précédente peut s'écrire $g(x) \leqslant f(x)$, autrement dit \og pour quels nombres de séances le tarif B est-il plus avantageux que le tarif A ? \fg.

La réponse est : à partir de 14 séances le tarif B est plus avantageux que le tarif A.  
   	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\medskip   
   
\textbf{Deuxième partie}
 
\begin{enumerate}
\item  %Sur une feuille de papier millimétrée, placée verticalement, tracer un repère orthogonal en plaçant l'origine O en bas à gauche et en prenant  comme unités : 0,5~cm pour une séance sur l'axe des abscisses et 1~cm pour 10~\euro{} sur l'axe des ordonnées.
Voir ci-dessous. 
\item  ~%Représenter, dans ce repère, les trois fonctions $f,~g$ et $h$,    pour $x$ compris entre $0$ et $30$.
\begin{center}
\psset{xunit=0.35cm,yunit=0.075cm}
\begin{pspicture}(-1,-10)(30,250)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=10]{->}(0,0)(30,240)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=10](0,0)(30,240)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{30}{8 x mul}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{30}{5 x mul 40 add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=green]{0}{30}{160}
\uput[u](1,10){\blue $f$} \uput[u](1,50){\red $g$} \uput[u](1,160){\green $h$} 
\psset{arrowsize=3pt 4}
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](10,0)(10,80)(0,80)
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](24,160)(24,0)
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](0,130)(18,130)(18,0)
\end{pspicture}
\end{center} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Vérifier, par lecture graphique le résultat de la question 1. b. de la première partie ; on fera apparaître sur le dessin les tracés nécessaires.
		On trace la verticale contenant le point de coordonnées (10~;~0) ; la première représentation rencontrée est celle de $f$.
		\item  %Déterminer, par lecture graphique, le nombre de séances à partir duquel le tarif C devient avantageux.
		On constate graphiquement que le tarif B et le tarif C reviennent au même pour 24 séances ; donc à partir de 25 séances le tarif C est le plus avantageux. 
		\item  %Mélissa souhaite ne pas dépasser 130~\euro{} pour cette activité ; déterminer par lecture graphique, le tarif qu'elle doit choisir si elle veut faire le plus de  séances possibles ; on fera apparaître sur le dessin les tracés nécessaires.
		On tracez l'horizontale contenant le point de coordonnées (0~;~130) ; la dernière courbe rencontrée est la représentation de $g$ au point d'abscisse 18. Pour 130~\euro{} elle pourra avec le tarif B faire un maximum de 18 séances. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
	
\textbf{Troisième partie}
 
%L'amie de Mélissa avait prévu de faire du squash une fois par semaine et avait choisi le tarif C ; elle n'a pu se libérer pour ce sport qu'une semaine sur  deux.
%
%A-t-elle fait le bon choix ? 

%\emph{On rappelle qu'une année comporte $52$~semaines.}
Elle a donc fait 26 séances .

Avec le tarif A elle aurait payé : $26 \times 8 = 208$~\euro.

Avec le tarif B elle aurait payé : $40 + 26 \times 5 = 40 + 130 = 170$~\euro.

Avec le tarif C elle a payé 160~\euro : elle a quand même choisi la solution la moins onéreuse. 

\end{document}
