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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
{\Large\bfseries Diplôme national du brevet\\[4pt]
Brevet des collèges — Amérique du Nord, juin 2012}
\end{center}

\vspace{3mm}

\begin{center}
\colorbox{gray!15}{\parbox{0.85\textwidth}{\centering\Large\bfseries CORRIGÉ DE L'ÉPREUVE}}
\end{center}

\bigskip
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

%Quatre affirmations sont données ci-dessous. 
%
%\medskip

\textbf{Affirmation 1 :} $\dfrac{1}{8} = \dfrac{125}{\np{1000}} = 0,125$. Vraie % est un nombre décimal.

\medskip
  
\textbf{Affirmation 2 :} $72 = 1\times 72 = 2 \times 36 = 3 \times 24$ cela fait déjà 6 diviseurs. Fausse.% a exactement cinq diviseurs.

\medskip
 
\textbf{Affirmation 3 :} %Si $n$ est un entier, $(n - 1) (n + 1) + 1$ est toujours égal au carré d'un entier.
$(n - 1) (n + 1) + 1 = n^2 - 1 + 1 = n^2$. Vraie
\medskip
 
\textbf{Affirmation 4 :} %Deux nombres impairs sont toujours premiers entre eux.
Fausse : 3 et 9 sont impairs et ne sont pas premiers entre eux.
%\medskip
 
%Pour chacune, indiquer si elle est vraie ou fausse en argumentant la réponse. 
%
\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip 

%Deux classes du collège ont répondu à la question suivante :
% 
%\og Combien de livres avez-vous empruntés durant les 12 derniers mois ? \fg
%
%Les deux classes ont communiqué les réponses de deux façons différentes :
% 
%\begin{tabular}{l l}
%Classe \no 1 :& 1~;~2~;~ 2~;~2~;~2~;~3~;~3~;~3~;~3~;~3~;~3~;~3~;~3~;~6~;~6~;~ 6~;~6~;~6~;~7~;~7~;~7\\
%\end{tabular} 
%
%\begin{tabular}{l l r}
%Classe \no 2 :& Effectif total :& 25\\ 
%	&Moyenne : 	&4\\ 
%	&Étendue : 	&8\\ 
%	&Médiane : 	&5\\
%\end{tabular}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Comparer les nombres moyens de livres empruntés dans chaque classe.
Classe 1 : moyenne des livres empruntés $\dfrac{84}{21} = 4$ identique à celle de la classe 2. 
\item %Un \og  grand lecteur \fg{} est un élève qui a emprunté 5 livres ou plus.
 
%Quelle classe a le plus de \og  grands lecteurs \fg{}?
Il y en a 8 dans la classe 1 et il y en a au moins 12 dans la classe 2. 
\item %Dans quelle classe se trouve l'élève ayant emprunté le plus de livres ?
Dans la classe 2 l'étendue est égale à 8 ; même s'il y a un élève qui n'a pas emprunté de livre, il y en a au moins un qui a emprunté au moins 8 livres. C'est donc dans la classe 2 qu'il y a le plus grand lecteur des deux classes.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip
 
%Léa observe à midi, au microscope, une cellule de bambou. 
%
%Au bout d'une heure, la cellule s'est divisée en deux. On a alors deux cellules. 
%
%Au bout de deux heures, ces deux cellules se sont divisées en deux.
% 
%Léa note toutes les heures les résultats de son observation.
% 
%� quelle heure notera-t-elle, pour la première fois, plus de 200 cellules ?
% 
%\emph{Vous laisserez apparentes toutes vos recherches.\\
% Même si le travail n'est pas terminé, il en sera tenu compte dans la notation.} 
Chaque heure le nombre de cellules est doublé : on a donc successivement :

$2~;~4~;~8~;~16~;~32~;~64~;~128~;~256~;~\ldots$

C'est donc à la 8\up{e} heure que le nombre dépassera 200.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(5,2.5)
%\psdots(0.7,0)(3.9,0)(1.3,1.8)(3.3,1.8)(2.3,1.1)
%\psline(0.7,0)(3.3,1.8)(1.3,1.8)(3.9,0)
%\psline[linewidth=1.5pt](1.3,1.8)(3.3,1.8)
%\uput[d](0.7,0){A}\uput[d](3.9,0){B}\uput[u](1.3,1.8){C}\uput[u](3.3,1.8){D}
%\uput[u](2.3,1.1){G}
%\psline[linestyle=dashed](0,0)(4.5,0)
%\end{pspicture}
%\end{center}
% 
%On a modélisé géométriquement un tabouret pliant par les segments [CB] et [AD] pour l'armature métallique et le segment [CD] pour l'assise en toile. 
%
%On a CG = DG = 30 cm, AG = BG = 45 cm et AB = 51 cm.
% 
%Pour des raisons de confort, l'assise [CD] est parallèle au sol représenté par la droite (AB). 
%
%\medskip
%
%Déterminer la longueur CD de l'assise.
% 
%\emph{Vous laisserez apparentes toutes vos recherches. 
%Même si le travail n'est pas terminé, il en sera tenu compte dans la notation.}

Toutes les conditions d'application du théorème de Thalès sont établies ; on peut donc écrire :

$\dfrac{\text{CG}}{\text{GB}} = \dfrac{\text{DG}}{\text{GA}} = \dfrac{\text{CD}}{\text{AB}}$, soit 
$\dfrac{30}{45} = \dfrac{30}{45} = \dfrac{\text{CD}}{51}$.

En simplifiant par 15, on a donc $\dfrac{2}{3} =  \dfrac{\text{CD}}{51}$, soit CD $ = 51 \times \dfrac{2}{3} = 34$~(cm).  
\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
%\parbox{0.65\linewidth}{On considère un sablier composé de deux cônes identiques 
%de même sommet C et dont le rayon de la base est AK = 1,5~cm. Pour le protéger, il est enfermé dans un cylindre de hauteur 6~cm et de même base que les deux cônes.
%\begin{enumerate}
%\item On note V le volume du cylindre et V$_{1}$ le volume du sablier.
% 
%Tous les volumes seront exprimés en cm$^3$.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la valeur exacte du volume V du cylindre est $13,5 \pi$.
Le cylindre a un rayon de 1,5~cm et une hauteur de 6~cm, son volume est :

V $ = \pi \times 1,5^2 \times 6 = \pi \times 2,25 \times 6 = 13,5\pi$. 
		\item %Montrer que la valeur exacte de V$_{1}$ est $4,5 \pi$.
Les deux cônes sont identiques, ils ont la même hauteur $\dfrac{6}{2} = 3$ et pour rayon de leur base 1,5~cm. Leur volume est donc :

$\dfrac{\pi \times 1,5^2 \times 3}{3} = 2,25\pi$, donc V$_1 = 2\times 2,25\pi = 4,5\pi$. 
		\item %Quelle fraction du volume du cylindre, le volume du sablier occupe-t-il ?
On a $\dfrac{\text{V}_1}{\text{V}} = \dfrac{4,5\pi}{13,5\pi} = \dfrac{4,5}{13,5} = \dfrac{1}{3}$.		
%(On donnera le résultat sous la forme d'une fraction irréductible)
	\end{enumerate}

%}\hfill
%\parbox{0.29\linewidth}{\psset{unit=0.8cm}
%\begin{pspicture}(4.5,7)
%\scalebox{.99}[0.35]{\psarc(2,2.175){2}{180}{0}}%
%\scalebox{.99}[0.35]{\psarc[linestyle=dashed](2,2.175){2}{0}{180}}%
%\psellipse(2,6)(2,0.65)
%\pspolygon(0,0.875)(4,6)(4,0.875)(0,6)
%\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2,3.45)(3,4.7)(1,4.7)
%\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2,4.7)(1,0.23)
%\uput[l](2,3.45){C}\uput[u](2,6){A}
%\psdots(2,0.7)(2,6)
%\uput[u](2,0.7){O}\uput[r](4,6){K}
%\end{pspicture}}

%\medskip
% 
%\emph{Rappel :} La formule du volume du cône est :  $\dfrac{\text{aire de la base} \times  \text{hauteur}}{3}$
% 
%\begin{enumerate}
\item%[\textbf{2.}] On a mis 12 cm$^3$ de sable dans le sablier.
 
%Sachant que le sable va s'écouler d'un cône à l'autre avec un débit de 240~cm$^3$/h, quel temps sera mesuré par ce sablier ?
On a vu que le volume de la partie haute est égale à $2,25\pi \approx 7,1$~cm$^3$. Il va être très difficile de mettre 12~cm$^3$ dedans...

\emph{Remarque } : si le sable pouvait rentrer il s'écoulerait à la vitesse de 240 cm$^3$ par 60 minutes soit à la vitesse de 4 cm$^3$ par minute. Comme $12 = 3 \times 4$, le sable s'écoulera en 3~min (durée habituelle d'un sablier). 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip 

%\parbox{0.55\linewidth}{Construire un carré dont l'aire est égale à la somme des aires des deux carrés représentés ci-contre. 
%
%\emph{Vous 	laisserez 	apparentes 	toutes 	vos 
%recherches.\\ 
%Même si le travail n'est pas terminé, il en sera tenu compte dans la notation}.}
%\hfill
%\parbox{0.43\linewidth}{
%\psset{unit=0.9cm}\begin{pspicture}(6,4)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2,1.95)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2,0)(6,4)
%\rput(1,1){4~cm$^2$}
%\psline(1.9,0.9)(2.1,1.1)
%\psline(1.9,1)(2.1,1.2)
%\psline(1.9,2.9)(2.1,3.1)
%\psline(1.9,3)(2.1,3.2)
%\end{pspicture}}
La mesure chaque côté du petit carré est égale à 2, puisque $2^2 = 4$.
Donc la mesure chaque côté du grand est égale à 4 ; son aire est égale à $4^2 = 16$.

Il faut donc trouver un carré de côté $c$ tel que :

$c^2 = 4 + 16 = 20$ ; on en déduit que $c = \sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = \sqrt{4} \times \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$.

Pour construire cette longueur il suffit de construire un triangle rectangle dont les côtés mesurent 2 et 4, puisque comme on vient de le voir d'après les théorème de Pythagore :

$2^2 + 4^2 = 20 = \left(2\sqrt{5}\right)^2$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,6.6)
%\psgrid
\pspolygon(0.5,0.5)(4.5,0.5)(0.5,2.5)
\rput{-90}(4.5,0.5){\psline(0,0)(-4,2)}
\rput(0.5,2.5){\psline(0,0)(2,4)}
\psline(2.5,6.5)(6.5,4.5)
\uput[d](2.5,0.5){4} \uput[l](0.5,1.5){2}
\rput{-26.5}(2.5,1.8){$2\sqrt{5}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\vspace{0,5cm}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip 

%Dans un collège de Caen (Normandie) est organisé un échange avec le Mexique pour les élèves de 3\up{e} qui étudient l'espagnol en seconde langue.
%
%\medskip
% 
%\textbf{Partie 1 -  L'inscription des élèves}
%
%\medskip
% 
%Le tableau ci-dessous permet de déterminer la répartition de la seconde langue étudiée par les 320 élèves de 4\up{e} et de 3\up{e} de ce collège.
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|m{3.5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%Seconde langue étudiée	&4\up{e}	&3\up{e} 	&Total\\ \hline\hline 
%Espagnol				&84			&			& \\ \hline
%Allemand 				&22 		&24 		&\\ \hline
%Italien 				&62 		&50			& \\ \hline
%Total 					&			&			&320\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center} 

\begin{enumerate}
\item %Combien d'élèves peuvent être concernés par cet échange ?
Soit $x$ le nombre d'élèves de 3\up{e} faisant de l'espagnol en seconde langue.

Le total des élèves est :

$84 + x + 22 + 24 + 62 + 50 = 320$ ou $x + 242 = 320$ et enfin $x = 78$.

Il y a donc $84 + 78 = 162$ élèves qui peuvent être concernés par cet échange. 
\item %24 élèves vont participer à ce voyage.
 
%Est-il vrai que cela représente plus de 12\,\% des élèves de 3\up{e}?
Il y a en 3\up{e} $78 + 24 + 50 = 152$ élèves.

Or $\dfrac{24}{152} \times 100 = \dfrac{300}{19} \approx 15,8\,\%$ soit effectivement plus de 12\,\%.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie II - Le financement}

\medskip

%Afin de financer cet échange, deux actions sont mises en {\oe}uvre : un repas mexicain et une tombola.
%
%\medskip
  
\begin{enumerate}
\item %Le repas mexicain, où chaque participant paye 15~\euro. 

%Au menu, on trouve un plat typique du Mexique, le \emph{Chili con carne}.
%
%\medskip
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%\multicolumn{2}{|c|}{\large Recette pour 4 personnes}\\ \hline\hline 
%50~g de beurre &500~g de b{\oe}uf haché\\ 
%2 gros oignons &65~g de concentré de \\ 
%2 gousses d'ail&tomate \\ 
%30~cl de bouillon de b{\oe}uf&400~g de haricots rouges\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%\medskip
% 
%50 personnes participent à ce repas. 
	\begin{enumerate}
		\item %Donner la quantité de b{\oe}uf haché, de haricots rouges, d'oignons et de concentré de tomate nécessaire.
		On a $\dfrac{50}{4} = \dfrac{25}{2} = 12,5$. Il faut donc multiplier toutes les quantités de la recette par 12,5.
		
B{\oe}uf haché  : \np{6250}~g ; haricots rouges \np{5000}~g soit 5~kg ;

Oignons : 25 ; concentré de tomate : 812,5~g. 
		\item %Les dépenses pour ce repas sont de 261~\euro, quel est le bénéfice ?
		
On récupère  : $50 \times 15 = 750$~\euro. IL y a donc un bénéfice de $750 - 261 =  489$~\euro.
	\end{enumerate}
\item %La tombola, où 720~tickets sont vendus au prix de 2~\euro.
 
%Les lots sont fournis gratuitement par trois magasins qui ont accepté de sponsoriser le projet.
%
%Il y a trois lots à gagner : un lecteur DVD portable, une machine à pain et une mini-chaîne Hifi. 
%
%Un élève achète 1 ticket. 
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle probabilité a-t-il de gagner l'un des lots ? 
La probabilité est égale à $\dfrac{3}{720} = \dfrac{1}{240} \approx \np{0,0042}$ soit 0,4\,\% à peu près.
		\item %Quelle probabilité a-t-il de gagner la mini-chaîne Hifi ?
La probabilité est égale à $\dfrac{1}{720}  \approx \np{0,0014}$ soit 0,15\,\% à peu près.
	\end{enumerate} 
\item %Montrer que la somme récupérée par les deux actions est de \np{1929}~\euro.
Avec la tombola on récupère $720 \times 2 = \np{1440}$~\euro.

La somme récupérée au total est égale à : $489 + \np{1440} = \np{1929}$~\euro.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie II - Le voyage}

\medskip

%Le voyage se décompose en deux parties : le trajet Caen-Paris (256~km) se fait en bus puis le trajet Paris-Mexico (\np{9079}~km) en avion.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Le prix d'un billet d'avion aller-retour coûte 770,30~\euro{} par personne. 

%L'argent récolté par le repas mexicain et la tombola permet de réduire équitablement ce prix pour les 24 élèves participants. 

%Quelle est la participation demandée par élève pour les billets d'avion ? (arrondir à l'unité) 
Les billets d'avion reviennent à $24 \times 770,30 = \np{18487,20}$~\euro.

On déduit les \np{1929}~\euro des deux actions ; reste à payer : $\np{18487,20} - \np{1929} = \np{16658,20}$~\euro.

Il faut donc demander à chaque élève : $\dfrac{\np{16658,20}}{24} \approx 690$~\euro à l'euro près.
\item %Le décollage se fait à 13~h~30. Cependant, les élèves et les accompagnateurs doivent être impérativement à l'aéroport de Paris-Roissy à 11~h~30.
 
%On estime la vitesse moyenne du bus à 80~km/h.

%Jusqu'à quelle heure peut-il partir de Caen ? 
Pour parcourir 256 km à 80 km/h, il faut $\dfrac{256}{80} = 3,2$~h soit 3~h et $0,2 \times 60 = 12$~min.

Il faut donc partir au plus tard à 11 h 30 moins 3 h 12 min soit 8~h 18~min.
\item %L'avion arrive à Mexico à 17~h~24 heure locale. Il faut compter 7 heures de décalage avec la France. 
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle est la durée du trajet ?
		Quand l'avion arrive il est 17 h 24 + 7 h = 24 h 24 heure française. Soit un trajet de :
		
24 h 24 moins 13 h 30 = 10~h 54~min.		 
		\item %Quelle est la vitesse moyenne de l'avion ? (arrondir à l'unité) 
10 h 54 min correspondent à 600 + 54 = 654~min
		La vitesse moyenne de l'avion est $\dfrac{\np{9709}}{654} \approx \np{14,8456}$~(km/min) soit $60 \times \np{14,8456} \approx 891$~(km/h).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}
