\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\newcommand{\euro}{\texteuro}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\providecommand{\degres}{\textdegree}
\providecommand{\up}[1]{\textsuperscript{#1}}

% -------- PARAMÈTRES --------
\newcommand{\titre}{Diplôme national du brevet}
\newcommand{\soustitre}{Brevet des collèges — Amérique du Nord, 7 juin 2017}
\newcommand{\monurl}{https://site2wouf.fr/brevet-maths/dnb-ameri-nord-juin-2017}
\newcommand{\codefiche}{DNBAMN17}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{84pt}
\setlength{\headsep}{10pt}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\headrule}{}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.65\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre\par}
    {\normalsize\bfseries CORRIGÉ DE L'ÉPREUVE}
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.18\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.7cm]{\monurl}\\[3pt]{\footnotesize\bfseries\ttfamily\color{red}\codefiche}
\end{minipage}%
}\\[4mm]%
}

\newcommand{\exercice}[2]{%
  \bigskip\noindent
  {\large\textbf{Exercice #1 \hfill #2 points}}\par\medskip
}
\newcommand{\conclusion}[1]{\par\smallskip\textbf{Conclusion :} #1}


% ════════════════════════════════════════════════════════════════════
%  Figures — Brevet Amérique du Nord, 7 juin 2017
% ════════════════════════════════════════════════════════════════════

% ── Exercice 2 : la construction ──────────────────────────────────
% ABCD carré de côté 1 (unité arbitraire), cercle de centre A et de
% rayon AC = racine(2), E sur [AB) à cette distance de A, puis carré
% DEFG construit sur [DE].
\newcommand{\figconstruction}{%
\begin{tikzpicture}[scale=1.35,line join=round]
  \coordinate (A) at (0,0);
  \coordinate (B) at (1,0);
  \coordinate (C) at (1,1);
  \coordinate (D) at (0,1);
  \coordinate (E) at (1.4142,0);
  \coordinate (F) at (2.4142,1.4142);
  \coordinate (G) at (1,2.4142);
  \fill[black!25] (D) -- (E) -- (F) -- (G) -- cycle;
  \fill[black!45] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
  \draw[thick] (A) circle (1.4142);
  \draw[thick] (D) -- (E) -- (F) -- (G) -- cycle;
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
  \draw[thick] (A) -- (2.0,0);
  \node[below left=-2pt]  at (A) {\footnotesize A};
  \node[below=1pt]        at (B) {\footnotesize B};
  \node[above right=-3pt] at (C) {\footnotesize C};
  \node[above left=-3pt]  at (D) {\footnotesize D};
  \node[below right=-2pt] at (E) {\footnotesize E};
  \node[right=1pt]        at (F) {\footnotesize F};
  \node[above=1pt]        at (G) {\footnotesize G};
\end{tikzpicture}}

% ── Exercice 4, document 2 : la population française ──────────────
\newcommand{\graphpopulation}{%
\begin{tikzpicture}[scale=1,>=stealth]
  \def\ux{0.168} \def\uy{0.29}
  \draw[black!55] (0,0) grid[xstep=5*\ux,ystep=2*\uy] (45*\ux,16*\uy);
  \draw[->,thick] (0,0) -- (48*\ux,0);
  \draw[->,thick] (0,0) -- (0,17.4*\uy);
  \foreach \a in {0,5,...,45}{
    \pgfmathtruncatemacro{\an}{1970+\a}
    \node[below=2pt,scale=0.78] at (\a*\ux,0) {\footnotesize \an};}
  \foreach \p in {0,2,...,16}{
    \pgfmathtruncatemacro{\pv}{50+\p}
    \node[left=2pt,scale=0.82] at (0,\p*\uy) {\footnotesize \pv};}
  \draw[very thick] plot[smooth,tension=0.6] coordinates {
    (0,0.5*\uy) (5*\ux,2.6*\uy) (10*\ux,3.7*\uy) (15*\ux,5.2*\uy)
    (20*\ux,6.6*\uy) (25*\ux,7.8*\uy) (30*\ux,8.8*\uy) (35*\ux,11.0*\uy)
    (40*\ux,12.8*\uy) (45*\ux,14.3*\uy)};
  \node[rotate=90,anchor=south,scale=0.9] at (-0.95,8*\uy)
    {\footnotesize Populations (en millions)};
  \node[below,scale=0.95] at (22.5*\ux,-0.62) {\footnotesize Années};
\end{tikzpicture}}

% ── Exercice 4 : les deux diagrammes ──────────────────────────────
\newcommand{\repereallergies}[1]{%
\begin{tikzpicture}[scale=0.52,>=stealth]
  \draw[black!45] (0,1) -- (7.4,1); \draw[black!45] (0,2) -- (7.4,2);
  \draw[black!45] (0,3) -- (7.4,3); \draw[black!45] (0,4) -- (7.4,4);
  \draw[black!45] (0,5) -- (7.4,5); \draw[black!45] (0,6) -- (7.4,6);
  \draw[black!45] (0,7) -- (7.4,7); \draw[black!45] (0,8) -- (7.4,8);
  \draw[black!45] (0,9) -- (7.4,9);
  \draw[->,thick] (0,0) -- (8.0,0);
  \draw[->,thick] (0,0) -- (0,10.2);
  \foreach \y in {0,1,...,9}{
    \draw[thick] (-0.12,\y) -- (0.12,\y);
    \node[left=1pt,scale=0.9] at (-0.15,\y) {\footnotesize \y};}
  \node[anchor=west,scale=0.85] at (0.35,9.9) {\footnotesize Nombre d'élèves concernés};
  \foreach \i/\n in {1/Lait, 2/Fruits, 3/Arachides, 4/Poisson, 5/{Œuf}}{
    \node[rotate=30,anchor=north east,scale=0.9] at (\i*1.2+0.1,-0.15) {\footnotesize \n};}
  #1
\end{tikzpicture}}
\newcommand{\diaglucas}{\repereallergies{%
  \fill[black!25] (0.85,0) rectangle (1.55,6); \draw[thick] (0.85,0) rectangle (1.55,6);
  \fill[black!25] (2.05,0) rectangle (2.75,8); \draw[thick] (2.05,0) rectangle (2.75,8);}}
\newcommand{\diagmargot}{\repereallergies{%
  \draw[very thick] (0,0) -- (1.2,6) -- (2.4,8);}}
\newcommand{\diagcomplet}{\repereallergies{%
  \foreach \i/\h in {1/6, 2/8, 3/11, 4/5, 5/9}{
    \fill[black!25] (\i*1.2-0.35,0) rectangle (\i*1.2+0.35,\h);
    \draw[thick] (\i*1.2-0.35,0) rectangle (\i*1.2+0.35,\h);}}}

% ── Exercice 5 : le plateau de jeu ────────────────────────────────
% Les points de l'arrière-plan sont espacés de 40 unités.
% Le chat est en (-120 ; -80), la balle en (160 ; 120).
\newcommand{\plateaujeu}[1]{% #1 = 1 pour tracer le trajet du déplacement 2
\begin{tikzpicture}[scale=0.55,>=stealth]
  \foreach \i in {-6,...,6}{ \foreach \j in {-4,...,4}{
    \fill[black!75] (\i,\j) circle (1.6pt); }}
  \draw[->,thick] (-6.5,0) -- (6.6,0);
  \draw[->,thick] (0,-4.5) -- (0,4.6);
  \node[below right=0pt] at (0,0) {\footnotesize O};
  \fill (4,3) circle (5.5pt);
  \node[above right=0pt] at (4,3) {\footnotesize balle};
  \draw[thick,fill=black!30] (-3.22,-2.22) rectangle (-2.78,-1.78);
  \node[below left=-1pt] at (-3,-2) {\footnotesize chat};
  \ifnum#1=1
    \draw[->,very thick,red] (-3,-2) -- (-1,-2) -- (1,-2) -- (1,2)
       -- (1,4) -- (3,4) -- (3,3) -- (4,3);
  \fi
\end{tikzpicture}}

% ── Exercice 6 : le jardin de Leïla ───────────────────────────────
% OB = 6 m et OF = 4 m sont des murs ; BCDEF est le grillage.
% L'enclos OCDE est un rectangle : OC = 6 + BC et OE = 4 + FE.
\newcommand{\figjardin}{%
\begin{tikzpicture}[scale=0.30,line join=round]
  \draw[thick] (0,0) rectangle (17,-12);
  \draw[line width=2pt] (0,0) -- (6,0);
  \draw[line width=2pt] (0,0) -- (0,-4);
  \draw[thick,dashed] (6,0) -- (11,0) -- (11,-7) -- (0,-7);
  \draw[thick,dashed] (0,-4) -- (0,-7);
  \node[above left=-2pt]  at (0,0)  {\footnotesize O};
  \node[above]            at (6,0)  {\footnotesize B};
  \node[above]            at (11,0) {\footnotesize C};
  \node[left=2pt]         at (0,-4) {\footnotesize F};
  \node[left=2pt]         at (0,-7) {\footnotesize E};
  \node[below right=-2pt] at (11,-7) {\footnotesize D};
  \node at (5.5,-3.5) {\footnotesize ENCLOS};
\end{tikzpicture}}


\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{1}{4,5}

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|>{\raggedright\arraybackslash}m{11.9cm}|}
\hline
\textbf{Question} & \textbf{Réponse} & \textbf{Pourquoi}\\
\hline
\textbf{1.} & \textbf{B} &
On réduit au même dénominateur 12 :
$\dfrac{7}{4}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{21}{12}+\dfrac{8}{12}=\dfrac{29}{12}$. Les réponses A et C
reviennent à additionner numérateurs et dénominateurs séparément, ce qui est faux.\\
\hline
\textbf{2.} & \textbf{C} &
$5x+12=3$ donne $5x=3-12=-9$, puis $x=\dfrac{-9}{5}=-1{,}8$. On vérifie :
$5\times(-1{,}8)+12=-9+12=3$.\\
\hline
\textbf{3.} & \textbf{B} &
$\sqrt{5}\approx2{,}236$, donc $\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}\approx\dfrac{3{,}236}{2}\approx1{,}618$,
soit 1,6 au dixième près. C'est le nombre d'or.\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{2}{9,5}

\begin{enumerate}
  \item On construit d'abord le carré ABCD de 3 cm de côté, puis le cercle de centre A passant
  par C, et enfin le point E où ce cercle rencontre la demi-droite [AB). Il reste à construire
  le carré DEFG à partir du segment [DE].

  \item ~
  \begin{enumerate}
    \item [AC] est une diagonale du carré ABCD, dont les côtés mesurent 10 cm. Le triangle ABC
    est rectangle en B, donc d'après le théorème de Pythagore :
    \[
    \mathrm{AC}^{2}=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}=10^{2}+10^{2}=200 ,
    \]
    \[
    \mathrm{AC}=\sqrt{200}\ \text{cm} .
    \]

    \item Le point E appartient au cercle de centre A et de rayon [AC] : la distance de A à E
    est donc égale au rayon de ce cercle.

    \conclusion{$\mathrm{AE}=\mathrm{AC}=\sqrt{200}$ cm.}

    \item L'aire du carré DEFG vaut $\mathrm{DE}^{2}$. Or le triangle ADE est rectangle en A —
    les côtés [AD] et [AB] du carré sont perpendiculaires, et E appartient à la demi-droite
    [AB). D'après le théorème de Pythagore :
    \[
    \mathrm{DE}^{2}=\mathrm{AD}^{2}+\mathrm{AE}^{2}=10^{2}+\left(\sqrt{200}\right)^{2}
    =100+200=300 .
    \]
    L'aire du carré ABCD vaut quant à elle $10^{2}=100$ cm$^{2}$. Or :
    \[
    300=3\times100 .
    \]
    \conclusion{l'aire de DEFG est bien le \boxed{\text{triple}} de celle de ABCD.}

    \smallskip
    Il n'est pas nécessaire de calculer DE : l'aire du carré s'exprime directement avec
    $\mathrm{DE}^{2}$, que Pythagore fournit tel quel.
  \end{enumerate}

  \item L'aire de DEFG doit valoir 48 cm$^{2}$. Comme elle est le triple de celle de ABCD :
  \[
  \text{aire de ABCD}=\frac{48}{3}=16\ \text{cm}^{2} .
  \]
  Or cette aire vaut $\mathrm{AB}^{2}$ :
  \[
  \mathrm{AB}^{2}=16,\qquad \mathrm{AB}=4 \quad\text{(une longueur est positive)} .
  \]
  \conclusion{il faut choisir $\boxed{\mathrm{AB}=4\ \text{cm}}$.}
\end{enumerate}

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{3}{6}

\begin{enumerate}
  \item Les boules étant indiscernables au toucher, les 12 tirages sont équiprobables.

  \smallskip
  Numéros pairs : 2, 4, 6, 8, 10, 12 — il y en a 6.\\
  Multiples de 3 : 3, 6, 9, 12 — il y en a 4.
  \[
  p(\text{pair})=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}
  \qquad\text{et}\qquad
  p(\text{multiple de 3})=\frac{4}{12}=\frac{1}{3} .
  \]
  Or $\dfrac{1}{2}>\dfrac{1}{3}$.

  \conclusion{il est plus probable d'obtenir un \boxed{\text{numéro pair}}.}

  \item Tous les numéros vont de 1 à 12 : ils sont donc tous inférieurs à 20.

  \conclusion{c'est un évènement certain, sa probabilité vaut $\boxed{1}$.}

  \item Les diviseurs de 6 sont 1, 2, 3 et 6 : on retire donc 4 boules, et il en reste
  $12-4=8$, portant les numéros 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11 et 12.

  \smallskip
  Parmi ces huit numéros, les nombres premiers — ceux qui ont exactement deux diviseurs — sont
  5, 7 et 11. Les autres sont composés : 4, 8, 10 et 12 sont pairs, et $9=3\times3$.
  \[
  p=\frac{3}{8}=0{,}375 .
  \]
  La probabilité est donc bien égale à 0,375.
\end{enumerate}

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{4}{10}

\textbf{Partie 1}

\begin{enumerate}
  \item On lit sur le document 2 qu'en 2015 la population était d'environ 64 millions
  d'habitants. Le document 1 indique que 4,7 \% d'entre eux souffraient d'allergies :
  \[
  64\ 000\ 000\times0{,}047=\np{3008000} .
  \]
  En 2010, les personnes concernées étaient deux fois moins nombreuses :
  \[
  \np{3008000}\div2=\np{1504000} .
  \]
  \conclusion{environ $\boxed{\np{1500000}\ \text{personnes}}$ souffraient d'allergies
  alimentaires en 2010, à \np{100000} près.}

  \item En 1970, la population était d'environ 50 millions d'habitants, et 1 \% était concerné :
  \[
  50\ 000\ 000\times0{,}01=500\ 000 .
  \]
  On compare avec 2015 :
  \[
  \frac{\np{3008000}}{500\ 000}\approx6{,}0 .
  \]
  \conclusion{oui, c'est \boxed{\text{vrai}} : il y avait environ 6 fois plus de personnes
  concernées en 2015 qu'en 1970.}

  \smallskip
  On notera que la population n'a augmenté que d'un quart environ sur la période : l'essentiel
  de cette multiplication par 6 vient de la hausse du \emph{pourcentage} de personnes
  allergiques, passé de 1 \% à 4,7 \%.
\end{enumerate}

\medskip
\textbf{Partie 2}

\begin{enumerate}
  \item On calcule la proportion d'élèves allergiques dans le collège :
  \[
  \frac{32}{681}\approx0{,}04699=4{,}699\ \% .
  \]
  La proportion française est de 4,7 \%, c'est-à-dire $0{,}047$. Or $0{,}04699<0{,}047$.

  \conclusion{non, elle n'est pas supérieure : les deux proportions sont pratiquement
  \boxed{\text{égales}}, celle du collège étant même très légèrement inférieure. Il aurait
  fallu 33 élèves allergiques pour dépasser la moyenne nationale.}

  \item Le tableau compte les élèves \emph{par aliment}, et non par élève. Un même élève peut
  être allergique à plusieurs aliments : il est alors compté dans plusieurs colonnes.

  \conclusion{la somme 39 dépasse 32 parce que \boxed{\text{certains élèves sont comptés
  plusieurs fois}} — 7 fois de plus au total, ce qui correspond aux allergies multiples.}

  \item ~
  \begin{enumerate}
    \item Les aliments ne sont pas des nombres : ils ne se rangent pas dans un ordre naturel et
    il n'existe rien «~entre~» le lait et les fruits. Relier les points par des segments,
    comme le fait Margot, suggère une évolution continue qui n'a aucun sens ici.

    \conclusion{c'est \boxed{\text{Lucas}} qui a fait le bon choix : un diagramme en bâtons
    convient pour des catégories.}

    \item On complète le diagramme en bâtons avec les cinq effectifs du tableau : 6, 8, 11, 5
    et 9.

    \begin{center}
    \diagcomplet
    \end{center}
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{5}{4,5}

\begin{enumerate}
  \item Les points de l'arrière-plan sont espacés de 40 unités. Le chat, en
  $(-120\,;\,-80)$, se trouve à 3 points à gauche et 2 points en dessous de l'origine : cela
  confirme l'échelle.

  \smallskip
  La balle est à 4 points à droite et 3 points au-dessus de O :
  \[
  x=4\times40=160
  \qquad\text{et}\qquad
  y=3\times40=120 .
  \]
  \conclusion{le centre de la balle a pour coordonnées $\boxed{(160\,;\,120)}$.}

  \item ~
  \begin{enumerate}
    \item La touche $\rightarrow$ ajoute 80 à $x$, tandis que la touche $\leftarrow$ ajoute
    seulement $-40$. Les deux déplacements ne se compensent donc pas :
    \[
    80+(-40)=40 .
    \]
    \conclusion{après ces deux touches, le chat s'est déplacé de \boxed{40\ \text{unités vers la
    droite}} au lieu de revenir à son point de départ.}

    \item On part de $(-120\,;\,-80)$ et on cumule les effets :
    \[
    x=-120+80+80=40 ,
    \]
    \[
    y=-80+80-40=-40 .
    \]
    \conclusion{le chat se trouve alors en $\boxed{(40\,;\,-40)}$.}

    \item Pour atteindre la balle, il faut passer de $(-120\,;\,-80)$ à $(160\,;\,120)$, soit
    ajouter 280 à $x$ et 200 à $y$. On calcule l'effet de chaque proposition :

    \begin{center}
    \renewcommand{\arraystretch}{1.35}
    \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
    \hline
    & \textbf{Effet sur $x$} & \textbf{Effet sur $y$} & \textbf{Position atteinte}\\
    \hline
    \textbf{Déplacement 1} & $7\times80=560$ & $5\times80=400$ & $(440\,;320)$\\
    \hline
    \textbf{Déplacement 2} & $4\times80-40=280$ & $3\times80-40=200$ & $(160\,;120)$\\
    \hline
    \textbf{Déplacement 3} & $4\times80=320$ & $3\times80-2\times40=160$ & $(200\,;80)$\\
    \hline
    \end{tabular}
    \end{center}

    \conclusion{seul le \boxed{\text{déplacement 2}} amène le chat sur la balle.}

    \begin{center}
    \plateaujeu{1}
    \end{center}
  \end{enumerate}

  \item Le dernier script surveille en permanence le contact avec la balle. Dès que le chat la
  touche, la condition «~Balle touchée~» devient vraie.

  \conclusion{le chat annonce «~Je t'ai attrapé~» pendant 2 secondes, puis le bloc
  \boxed{\text{Départ}} le ramène à sa position initiale : une nouvelle partie peut commencer.}
\end{enumerate}

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{6}{10}

Avant tout, exprimons les dimensions de l'enclos. Les points O, B, C sont alignés, de même que
O, F, E :
\[
\mathrm{OC}=\mathrm{OB}+\mathrm{BC}=6+\mathrm{BC}
\qquad\text{et}\qquad
\mathrm{OE}=\mathrm{OF}+\mathrm{FE}=4+\mathrm{FE} .
\]
L'enclos OCDE étant un rectangle, ses côtés opposés sont égaux : $\mathrm{CD}=\mathrm{OE}$ et
$\mathrm{DE}=\mathrm{OC}$.

\begin{enumerate}
  \item ~
  \begin{enumerate}
    \item Avec BC $=5$ et FE $=15$ :
    \[
    \mathrm{OC}=6+5=11
    \qquad\text{et}\qquad
    \mathrm{OE}=4+15=19 .
    \]
    Le grillage suit le trajet B $\rightarrow$ C $\rightarrow$ D $\rightarrow$ E $\rightarrow$
    F :
    \[
    \underbrace{5}_{\mathrm{BC}}+\underbrace{19}_{\mathrm{CD}}+\underbrace{11}_{\mathrm{DE}}
    +\underbrace{15}_{\mathrm{EF}}=50 .
    \]
    Leïla utilise donc bien la totalité de son rouleau de 50 m.

    \item L'aire du rectangle OCDE est le produit de ses deux dimensions :
    \[
    \mathcal{A}=\mathrm{OC}\times\mathrm{OE}=11\times19=209 .
    \]
    \conclusion{l'aire de l'enclos est bien de $\boxed{209\ \text{m}^{2}}$.}
  \end{enumerate}

  \item On vérifie la formule de la voisine pour $x=5$ :
  \[
  \mathrm{A}(5)=-5^{2}+18\times5+144=-25+90+144=209 .
  \]
  On retrouve exactement l'aire calculée à la question 1.b.

  \conclusion{la formule est \boxed{\text{cohérente}} avec le résultat précédent.}

  \smallskip
  On peut d'ailleurs la retrouver. Le grillage mesurant toujours 50 m :
  \[
  \mathrm{BC}+\mathrm{CD}+\mathrm{DE}+\mathrm{EF}=x+(4+\mathrm{FE})+(6+x)+\mathrm{FE}=50 ,
  \]
  soit $2x+2\,\mathrm{FE}=40$, donc $\mathrm{FE}=20-x$. L'aire vaut alors :
  \[
  \mathrm{A}(x)=(6+x)\times(4+20-x)=(6+x)(24-x)=-x^{2}+18x+144 .
  \]

  \item ~
  \begin{enumerate}
    \item Étirer une formule vers la droite remplace chaque référence par celle de la colonne
    correspondante. En B2 la formule porte sur B1 ; en F2 elle portera donc sur F1.

    \conclusion{la cellule F2 contient $\boxed{\texttt{=-F1*F1+18*F1+144}}$.}

    \item On parcourt la ligne 2 : les aires valent 209, 216, 221, 224, \textbf{225}, 224, 221,
    216. La plus grande est 225, obtenue pour $x=9$.

    \conclusion{Leïla choisira $\boxed{\mathrm{BC}=9\ \text{m}}$.}

    \item Avec $x=9$ :
    \[
    \mathrm{OC}=6+9=15
    \qquad\text{et}\qquad
    \mathrm{FE}=20-9=11,\ \text{donc}\ \mathrm{OE}=4+11=15 .
    \]
    \conclusion{l'enclos mesure $\boxed{15\ \text{m}\times15\ \text{m}}$ : c'est un
    \textbf{carré} de 225 m$^{2}$.}

    \smallskip
    Ce n'est pas un hasard : à périmètre imposé, c'est toujours le carré qui offre la plus
    grande aire.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}
