\documentclass[a4paper,11pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[a4paper,top=3.2cm,bottom=2cm,left=2cm,right=2cm]{geometry}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text,calc,patterns,arrows.meta}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{pifont}
\usepackage{scratch3}
\usepackage[np]{numprint}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{tgheros}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{lscape}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{colortbl}
\usepackage{makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{marvosym}
\usepackage{ifthen}
\usepackage{xspace}
\usepackage{cancel}

% -- pstricks via auto-pst-pdf --
\usepackage[runs=2]{auto-pst-pdf}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add,pst-eucl,pst-node,pst-slpe,pst-grad,pst-fun}

\newcommand{\euro}{\texteuro}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\providecommand{\degres}{\textdegree}
\providecommand{\up}[1]{\textsuperscript{#1}}

% -------- PARAMÈTRES --------
\newcommand{\titre}{Brevet des collèges}
\newcommand{\soustitre}{Amérique du Nord -- juin 2019}
\newcommand{\monurl}{https://site2wouf.fr}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{84pt}
\setlength{\headsep}{10pt}
\renewcommand{\headrule}{{\color{gray!25}\hrule width\headwidth height\headrulewidth}}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.65\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.18\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.7cm]{\monurl}
\end{minipage}%
}\\[4mm]%
}

% -- Commandes personnalisées APMEP --
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
{\Large\bfseries Diplôme national du brevet\\[4pt]
Brevet des collèges — Amérique du Nord, juin 2019}
\end{center}

\vspace{3mm}

\begin{center}
\colorbox{gray!15}{\parbox{0.85\textwidth}{\centering\Large\bfseries CORRIGÉ DE L'ÉPREUVE}}
\end{center}

\bigskip
%\fbox{\begin{minipage}{0.98\linewidth}
%		\textbf{\hfill~ Indication portant sur l'ensemble du sujet \hfill~ \\
%		Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.\\
%		Pour chaque question, si le travail n'est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche; elle sera prise en compte dans la notation.
%		}
%\end{minipage}}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 \hfill 14 points}}

\medskip

%\parbox{9cm}{On considère la figure ci-contre, réalisée à main levée et qui n'est pas à l'échelle.
%	
%On donne les informations suivantes :
%\begin{itemize}
%	\item les droites (ER) et (FT) sont sécantes en A ;
%	
%	\item $\text{AE}=\np[cm]{8}$, $\text{AF}=\np[cm]{10}$, $\text{EF}=\np[cm]{6}$ ;
%	
%	\item $\text{AR}=\np[cm]{12}$, $\text{AT}=\np[cm]{14}$
%\end{itemize}
%}\hfill
%\begin{tikzpicture}[baseline = (current bounding box.center),line width=0.9pt, line cap=round, pencildraw/.style={black, decorate, decoration={random steps,segment length=1.5pt,amplitude=0.2pt},smooth},x=3mm,y=3mm]
%\draw[pencildraw] (-1.74,-0.94)-- (0.,0.) -- (4.5,1.6)-- (7.8,2.7) -- (8.8,3.26)
%(-1.6,0.3)-- (0.,0.) -- (6.2,-2) -- (10,-2.6) -- (12.8,-3.3)
%
%(11,-4.4)-- (10,-2.6)-- (7.8,2.7)-- (7.4,4) (4.,3.)-- (4.5,1.6) -- (6.2,-2) -- (7.9,-4.4);
%\newcommand{\croix}[3]{\draw [pencildraw,shift = {#1}] (-2pt,-2pt)--(2pt,2pt) (-3pt,3pt)--(0,0)--(3pt,-3pt) (0,0) node[#2] {#3}}
%
%\croix{(0,0)}{shift={(90:3mm)}}{A};
%\croix{(4.5,1.6)}{shift={(70:3mm)}}{E};
%\croix{(7.8,2.7)}{shift={(70:3mm)}}{R};
%\croix{(6.2,-2)}{shift={(-100:3mm)}}{F};
%\croix{(10,-2.6)}{shift={(-100:3mm)}}{T};
%
%\end{tikzpicture} \hfill{}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
	\item %Démontrer que le triangle AEF est rectangle en E.
On a AE$^2 = 8^2 = 64$ ; EF$^2 = 6^2 = 36$ et F$^2 = 10^2 = 100$.

Or $64 + 36 = 100$, soit AE$^2 + \text{EF}^2 = \text{AE}^2$.

Donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle AEF est rectangle en E.	
	\item %En déduire une mesure de l'angle $\widehat{\text{EAF}}$ au degré près.
On sait que dans le triangle rectangle en E, $\cos \widehat{\text{EAF}} = \dfrac{\text{AE}}{\text{AF}} = \dfrac{8}{10} = 0,8$.
	
Grâce à la calculatrice on en déduit que $\widehat{\text{EAF}} \approx 36,8$, soit 37\degres{} au degré près.
	\item %Les droites (EF) et (RT) sont-elles parallèles ?
Si les droites sont parallèles, le théorème de Thalès permet d'écrire que 

$\dfrac{\text{AE}}{\text{AR}} = \dfrac{\text{AF}}{\text{AT}}$, soit $\dfrac{8}{12} = \dfrac{10}{14}$ ; or $8 \times 14 = 112$ et $12 \times 10 = 120$. Les quotients ne sont pas égaux, les droites ne sont pas parallèles.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 \hfill 17 points}}

\medskip


%Voici quatre affirmations. Pour chacune d'entre elles, dire si elle est vraie ou fausse. On rappelle que la réponse doit être justifiée.
%
%\medskip

\begin{enumerate}[itemsep=5mm]
	\item %\textbf{Affirmation 1 :} $\dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3 + 1}{5 + 2}$.
$\bullet~~$ $\dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{2}  = \dfrac{3\times 2}{5\times 2} + \dfrac{1\times 5}{2\times 5} = \dfrac{6 + 5}{10} = \dfrac{11}{10}$ ;

$\bullet~~$$\dfrac{3 + 1}{5 + 2} = \dfrac{4}{7}$.

Le premier nombre est supérieur à 1, le second est inférieur à 1 : ils ne sont donc pas égaux. \hfill \textbf{Affirmation fausse}	
	\item %On considère la fonction $f: x \longmapsto 5 - 3x$.
		
%\textbf{Affirmatíon 2 :} l'image de $-1$ par $f$ est $-2$.	
On a $f(- 1) = 5 - 3\times (- 1) = 5 + 3 = 8 \ne - 2$. \hfill \textbf{Affirmation fausse}

	\item %On considère deux expériences aléatoires :
%		\begin{itemize}
%			\item \emph{expérience n\up{o}\,$1$ :} choisir au hasard un nombre entier compris entre 1 et 11 (1 et 11 inclus).			
%			\item \emph{expérience n\up{o}\,$2$ :} lancer un dé équilibré à six faces numérotées de 1 à 6 et annoncer le nombre qui apparait sur la face du dessus.
%		\end{itemize}
	
%\textbf{Affirmation 3 :} il est plus probable de choisir un nombre premier dans l'expérience n\up{o}\,1 que d'obtenir un nombre pair dans l'experience n\up{o}\,2.

De 1 à 11, il y a 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 soit 5 nombres sur 11 qui sont des naturels premiers. La probabilité de choisir un naturel premier est donc égale à $\dfrac{5}{11}$.

2 ; 4 ; 6 sont pairs  ; il y a donc $\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$.

$\dfrac{5}{11} < \dfrac{5,5}{11} = \dfrac{1}{2}$. Donc \hfill \textbf{Affirmation fausse}.	
	\item %\textbf{Affirmation 4 :} pour tout nombre $x$, \quad $(2x + 1)^2 - 4 = (2x + 3)(2x - 1)$.
	Quel que soit le nombre $x$,
	
$(2x + 1)^2 - 4 = (2x + 1)^2 - 2^2\: \left(\text{identité}\: a^2 - b^2\right) = (2x + 1 + 2)(2x + 1- 2) = (2x + 3)(2x - 1)$. 

\hfill \textbf{Affirmation vraie}.
\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3 \hfill 12 points}}

\medskip

%Le diagramme ci-dessous représente, pour six pays, la quantité de nourriture gaspillée (en kg) par habitant en 2010.
%
%\begin{center}
%	\begin{tikzpicture}[y=0.125mm,x=4mm]% l'échelle ridicule proposée ici est celle du sujet original
%		\draw [xstep=24,ystep=20,gray!50,line width=0.5pt] (0,0) grid (24,580);
%		\foreach \a in {0,4,...,24}{
%		\draw[gray!50,line width=0.5pt] (\a,0)--(\a,-4pt);}	
%		\draw [xstep=24.1,ystep=100,black,line width=0.7pt] (0,0) grid (24,580);	
%		\foreach \o in {0,100,...,500}{
%			\node at (-1.2,\o) {\o};}
%		
%		\draw[fill=black!65] ( 1,0) rectangle (3 ,545);	
%		\node[rotate=65,left] at(2,-30) {Pays A};
%		\draw[fill=black!65] ( 5,0) rectangle (7 ,215);
%		\node[rotate=65,left] at(6,-30) {Pays B};
%		\draw[fill=black!65] ( 9,0) rectangle (11,150);	
%		\node[rotate=65,left] at(10,-30) {Pays C};
%		\draw[fill=black!65] (13,0) rectangle (15,137.5);
%		\node[rotate=65,left] at(14,-30) {Pays D};
%		\draw[fill=black!65] (17,0) rectangle (19,130);	
%		\node[rotate=65,left] at(18,-30) {Pays E};
%		\draw[fill=black!65] (21,0) rectangle (23,110);
%		\node[rotate=65,left] at(22,-30) {Pays F};
%		\node at (12,610){Quantité de nourriture gaspillée en kg par habitant en 2010};
%	\end{tikzpicture}
%\end{center}

\begin{enumerate}
	\item %Donner approximativement la quantité de nourriture gaspillée par un habitant du pays D en 2010.	
On lit approximativement 130~kg.
	\item %Peut-on affirmer que le gaspillage de nourriture d'un habitant du pays F représente environ un cinquième du gaspillage de nourriture d'un habitant du pays A ?
On lit pour un habitant du pays F à peu près 110 et pour un habitant du pays A un peu plus de 540~kg. Comme $5 \times 110 = 550$ l'affirmation est correcte.	
	\item %On veut rendre compte de la quantité de nourriture gaspillée pour d'autres pays. On réalise alors le tableau ci-dessous à l'aide d'un tableur. \hfill \textit{Rappel :} 1 tonne = \np[kg]{1000}.	

%\medskip
%
%	\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\columncolor[gray]{.8} \rule[-2.5mm]{0mm}{7mm} \centering \arraybackslash \sffamily} m{5mm}| >{\centering \arraybackslash} p{1.5cm} | *{3}{>{\centering \arraybackslash\rule[-2.5mm]{0mm}{7mm}}X|}} \hline
%	\rowcolor[gray]{.8}	&\textsf{A}&\textsf{B}&\textsf{C}&\textsf{D}\\ \hline
%		1& &\parbox{\linewidth}{
%			\rule{0pt}{10pt}Quantité de nourriture gaspillée par habitant en 2010 (en kg)\rule[-4pt]{0pt}{1pt}}
%		&\parbox{\linewidth}{Nombre d'habitants en 2010 (en millions)} 
%		&\parbox{\linewidth}{Quantité totale de nourriture gaspillée (en tonnes)}\\ \hline	
%	2 & Pays X & 345 & 10,9 & \np{3760500}\\ \hline	
%	3 & Pays Y & 212 & 9,4  &             \\ \hline
%	4 & Pays Z & 135 & 46,6 &             \\ \hline
%	\end{tabularx}

	\begin{enumerate}
		\item  %Quelle est la quantité totale de nourriture gaspillée par les habitants du pays X en 2010 ?
Le résultat est dans le tableau. On peut le justifier :

La quantité totale pour les habitants du pays X est :
		
$345 \times 10,9 \times 10^6 = \np{3760500000}$~kg soit \np{3760500}~tonnes.	
		\item %Voici trois propositions de formule, recopier sur votre copie celle qu'on a saisie dans la cellule \textsf{D2} avant de l'étirer jusqu'en \textsf{D4}.
		
%\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash} X|}} \hline
%\textbf{Proposition 1}&\textbf{Proposition 2}&\textbf{Proposition 3}\\ \hline
%\textsf{=B2*C2*\np{1000000}}&\textsf{=B2*C2}& \textsf{=B2*C2*\np{1000}}\\ \hline
%\end{tabularx}
\textsf{=B2*C2*\np{1000}}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4 \hfill 10 points}}

\medskip

%\parbox{5cm}{On a programmé un jeu.
%Le but du jeu est de sortir du
%labyrinthe.
%Au début du jeu, le lutin se
%place au point de départ.
%Lorsque le lutin touche un mur,
%représenté par un trait noir
%épais, il revient au point de
%départ.}
%\hfill
%\begin{tikzpicture}[x=5.5mm,y=5.5mm,>=stealth,baseline={(0,0)}]
%		\foreach \x in {-7,...,7}{
%			\foreach \y in {-5,...,5}{
%				\draw[gray,fill=gray] (\x,\y) circle (0.5mm);
%			}}
%		\draw[line width=.25mm,gray] (-7.5,0)--(7.5,0) (0,-5.5)--(0,5.5) (0,0) node [above left]{{\Large O}};
%		\node at(-4,1){\includegraphics[height=0.7cm]{chat}};
%		\draw[line width = 1mm, line cap = round, line join = round] 
%		(-7,-5)--(-7,5)--(7,5)--(7,-3) 
%		(-5,-2)--(-5,-5)--(7,-5) (1,-5)--(1,-3) (3,-5)--(3,-3)
%		(-7,0)--(-5,0)--(-5,3) (-3,-3)--(-3,5) 
%		(-1,-5)--(-1,-1)--(5,-1)--(5,-3)
%		(-1,5)--(-1,1)--(5,1)--(5,3)--(1,3);
%		\draw [<-,line width=.8pt] (-5.9,-4.1)--(-5.3,-5.5) node[below]{point de départ};
%		\draw [<-,line width=.8pt] (6.9,-4.1)--(5,-5.5) node[below ]{point de sortie};
%	\end{tikzpicture}
%
%L'arrière-plan est constitué d'un repère d'origine O avec des points espacés de 30 unités verticalement et horizontalement.
%
%Dans cet exercice, on considèrera que seuls les murs du labyrinthe sont noirs.
%
%Voici le programme :
%
%\begin{tabular}{p{9cm}}
%\begin{tikzpicture}[>=stealth]
%\node at (0,0)[below right] {\begin{scratch}[scale=0.8]
%	\blockinit{quand \greenflag est cliqué}
%	\blockmove{aller à x: \ovalnum{-180} y: \ovalnum{-120}}
%	\blockinfloop{répéter indéfiniment}{
%		\blockifelse{si ~\boolsensing{couleur ~\pencolor{black}~ touchée ?}~ alors}{\blocklook{dire ~\ovalnum{perdu}~ pendant ~ \ovalnum{2} ~ secondes}
%			\blockmove{aller à x: \ovalnum{~~} ~~y: \ovalnum{~~}}
%		}{\blockmoreblocks{Réussite}}}
%	\end{scratch}
%};
%\draw [<-] (2.4,-2.8) -- (3.2,-2) node[right]{Couleur : noir};
%\end{tikzpicture}\\
%Le bloc \begin{scratch}[scale=0.7]
%	\blockmoreblocks{Réussite} \end{scratch} correspond à un sous-programme qui fait dire \og Gagné !\fg{} au lutin lorsqu'il est situé au point de sortie; le jeu s'arrête alors.
%\end{tabular}
%\hfill
%\begin{tabular}{l}
%	\begin{scratch}[scale=0.75]
%			\blockinitclone{quand \selectmenu{flèche haut} est pressé }
%			\blockmove{ajouter ~\ovalnum{30}~ à y}
%			\blockcontrol{attendre ~\ovalnum{0.1}~ secondes}
%	\end{scratch}\\
%	\begin{scratch}[scale=0.75]
%			\blockinitclone{quand \selectmenu{flèche bas} est pressé }
%			\blockmove{ajouter ~\ovalnum{-30}~ à y}
%			\blockcontrol{attendre ~\ovalnum{0.1}~ secondes}
%	\end{scratch}\\
%	\begin{scratch}[scale=0.75]
%			\blockinitclone{quand \selectmenu{flèche droite} est pressé }
%			\blockmove{ajouter ~\ovalnum{30}~ à y}
%			\blockcontrol{attendre ~\ovalnum{0.1}~ secondes}
%	\end{scratch}\\
%	\begin{scratch}[scale=0.75]
%			\blockinitclone{quand \selectmenu{flèche gauche} est pressé }
%			\blockmove{ajouter ~\ovalnum{-30}~ à x}
%			\blockcontrol{attendre ~\ovalnum{0.1}~ secondes}
%		\end{scratch}\\	
%\end{tabular}

\begin{enumerate}
	\item  %Recopier et compléter l'instruction 
	\begin{scratch}[scale=0.8] \blockmove{aller à x: \ovalnum{- 180} ~~y: \ovalnum{- 120}} \end{scratch} 
	
%du programme pour ramener le lutin au point de départ si la couleur noire est touchée.	
	\item %Quelle est la distance minimale parcourue par le lutin entre le point de départ et le point de sortie ?
Le chemin le plus court : monter de 3, aller à droite de 2, descendre de 3, aller à droite de 2, monter de 4, aller à droite de 8, descendre de 4, aller à droite de 1, donc en tout 27 pas de 30 unités soit 810~unités	
	\item %On lance le programme en cliquant sur le drapeau. Le lutin est au point de départ. On appuie brièvement sur la touche $\uparrow$ (\og flèche haut\fg{}) puis sur la touche $\rightarrow$ (\og flèche droite\fg{}). Quelles sont toutes les actions effectuées par le lutin ?
Le lutin monte de 30 unités puis se déplace vers la droite de 30 unités. Il percute le mur. le jeu annonce \og Perdu \fg{} et replace le lutin au point de départ.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 5 \hfill 10 points}}

%\parbox[t]{8cm}{\medskip
%	\emph{Dans cet exercice, aucune justification n'est attendue}
%	
%\bigskip
%	
%On considère l'hexagone ABCDEF de centre O représenté ci-contre.}
%\hfill 
%\begin{tikzpicture}[x=25mm,y=25mm,baseline={(A)},,line width=1pt]
%\newcommand{\point}[3]{\draw[shift={#1}] (-3pt,-3pt)--(3pt,3pt) (-3pt,3pt)--(3pt,-3pt) (0,0) node[shift={#2}]{#3};}
%	
%\coordinate (A) at (120:1); \point{(A)}{(120:3mm)}{A};
%\coordinate (B) at ( 60:1); \point{(B)}{( 60:3mm)}{B};
%\coordinate (C) at (  0:1); \point{(C)}{(  0:3mm)}{C};
%\coordinate (D) at (300:1); \point{(D)}{(300:3mm)}{D};
%\coordinate (E) at (240:1); \point{(E)}{(240:3mm)}{E};
%\coordinate (F) at (180:1); \point{(F)}{(180:3mm)}{F};
%\coordinate (O) at (0 , 0); \point{(O)}{(270:3mm)}{O};
%
%\draw (A)--(B) node[pos=0.5,sloped]{||}
%	--(C) node[pos=0.5,sloped]{||}
%	--(D) node[pos=0.5,sloped]{||}
%	--(E) node[pos=0.5,sloped]{||}
%	--(F) node[pos=0.5,sloped]{||}
%	--cycle node[pos=0.5,sloped]{||}
%	(A)--(O) node[pos=0.5,sloped]{||}
%	(B)--(O) node[pos=0.5,sloped]{||}
%	(C)--(O) node[pos=0.5,sloped]{||}
%	(D)--(O) node[pos=0.5,sloped]{||}
%	(E)--(O) node[pos=0.5,sloped]{||}
%	(F)--(O) node[pos=0.5,sloped]{||};
%	\end{tikzpicture}

\begin{enumerate}
	\item  %Parmi les propositions suivantes, recopier celle qui correspond à l'image du quadrilatère CDEO par la symétrie de centre O.
	
%\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash} X|}} \hline
%		\textbf{Proposition 1}&\textbf{Proposition 2}&\textbf{Proposition 3}\\ \hline
%		FABO & ABCO & FODE\\ \hline
FABO.
%\end{tabularx}
		
		\item %Quelle est l'image du segment [AO] par la symétrie d'axe (CF) ?
		Le segment [EO].
		\item  %On considère la rotation de centre O qui transforme le triangle OAB en le triangle OCD.
		
%Quelle est l'image du triangle BOC par cette rotation ?
La rotation est d'angle 120~\degres{} dans le sens horaire.

L'image du triangle BOC par cette rotation est le triangle DOE.
\item C'est l'hexagone 19.
	\end{enumerate}
%\parbox{8cm}{La figure ci-contre représente un pavage dont le motif de base a la même forme que l'hexagone ci-dessus.
%On a numéroté certains de ces hexagones.
%	\begin{enumerate}[start=4]
%		\item Quelle est l'image de l'hexagone 14 par la translation qui transforme l'hexagone 2 en l'hexagone 12 ?
%\end{enumerate}}\hfill 
%\begin{tikzpicture}[x=0.6cm,y=0.6cm,line width=1pt,baseline={(current bounding box.center)}]
%%\draw[teal,xstep=1,ystep=1] (0,0) grid (10,10);
%\clip[draw] (0.3,0.4) rectangle (10.5,8);
%\foreach \x  in {0,...,3}{
%\foreach \y in {0,...,5}
%\draw[shift={({3*\x},{1.732*\y})}] (0:1)--(60:1)--(120:1)--(180:1)--(240:1)--(300:1)--cycle (0,0);}
%\foreach \x  in {0,...,3}{
%\foreach \y in {0,...,5}
%\draw[shift={({1.5+3*\x},{0.866+1.732*\y})}] (0:1)--(60:1)--(120:1)--(180:1)--(240:1)--(300:1)--cycle;}
%\node at(3,6.928) {1}; \node at(6,6.928) {2}; \node at(9,6.928) {3};
%\node at(3,5.196) {5}; \node at(6,5.196) {7}; \node at(9,5.196) {9};
%\node at(3,3.464) {11}; \node at(6,3.464) {13}; \node at(9,3.464) {15};
%\node at(3,1.732) {17}; \node at(6,1.732) {19}; \node at(9,1.732) {21};
%\node at(1.5,6.062){4}; \node at(4.5,6.062){6}; \node at(7.5,6.062){8};
%\node at(1.5,4.33){10}; \node at(4.5,4.33){12}; \node at(7.5,4.33){14};
%\node at(1.5,2.598){16}; \node at(4.5,2.598){18}; \node at(7.5,2.598){20};
%\node at(1.5,0.866){22}; \node at(4.5,0.866) {23}; \node at(7.5,0.866) {24};
%\end{tikzpicture}
	
\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 6 \hfill 12 points}}

\medskip

\emph{Les deux parties {\rm A} et {\rm B} sont indépendantes.}

\medskip

\textbf{Partie A : absorption du principe actif d'un médicament}

\smallskip

%Lorsqu'on absorbe un médicament, que ce soit par voie orale ou non, la quantité de principe actif de ce médicament dans le sang évolue en fonction du temps. Cette quantité se mesure en milligrammes par litre de sang.
%
%\smallskip
%
%Le graphique ci-dessous représente la quantité de principe actif d'un médicament dans le sang, en fonction du temps écoulé, depuis la prise de ce médicament.
%
%\smallskip
%
%%\hspace{-1.1cm}
%\begin{tikzpicture}[x=2cm,y=2.8mm,>=stealth]
%
%\begin{axis}[
%x=1.9cm,y=2.8mm,
%xmin=0, xmax=7.,
%ymin=0, ymax=31,
%xtick={0,1,...,7}, ytick={0,10,20,30},
%minor xtick={0,0.5,...,7}, minor ytick={0,1,...,31},
%xmajorgrids=true, ymajorgrids=true,
%xminorgrids=true, yminorgrids=true]
%\addplot[line width=1pt,smooth]
%coordinates {
%	(0,0)(0.5,10)(1,20)(1.5,26)(2,27)(2.5,26)(3,20)(3.5,9)(4,5)(5,1.5)(7,0.5)
%};
%\addplot[line width=1pt,smooth]
%coordinates {
%	(0,0)(0.5,10)(1,20)(1.5,26)(2,27.1)(2.5,25.9)(3,20)(3.5,9)(4,5)(5,1.5)(7,0.5)
%};
%\end{axis}	
%
%\draw [line width=0.7pt,<->] (0,33) node[fill=white, rounded corners,below right=3mm] {Quantité de principe actif (en mg/L)}--(0,0)--(7,0) node[above left=4.5mm, text width=4 cm,fill=white,rounded corners] {Temps écoulé (en h) après la prise du médicament};
%\end{tikzpicture}

\begin{enumerate}
	\item  %Quelle est la quantité de principe actif dans le sang, trente minutes après la prise de ce médicament ?
On lit pour 0,5~h une quantité égale à 10~mg/L.	
	\item %Combien de temps après la prise de ce médicament, la quantité de principe actif est-elle la plus élevée ?
La quantité de principe actif est la plus élevée au bout de 2~h.
\end{enumerate}

\textbf{Partie B : comparaison de masses d'alcool dans deux boissons}
%
\smallskip
%
%On fournit les données suivantes :
%
%\smallskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|} \hline
%	\rule{0pt}{14pt}\textbf{Formule permettant de calculer la masse d'alcool en g dans une boisson alcoolisée :}
%
%		$$m = V \times d \times 7,9$$
%		
%		$ V $: volume de la boisson alcoolisée en cL
%		
%		\smallskip
%		
%		$ d $: degré d'alcool de la boisson
%		
%		(exemple, un degré d'alcool de 2\,\% signifie que $d$ est égal à 0,02)\rule[-2mm]{0pt}{1mm}
%		&\textbf{Deux exemples de boissons alcoolisées :}
%		
%\medskip
%		
%\begin{tabular}{c|c}
%\textbf{Boisson} \tikz[baseline ={(a.base)}]{\node (a) at(0,0)[circle, draw]{\textbf{1}};} &\textbf{Boisson} \tikz[baseline ={(a.base)}]{\node (a) at(0,0)[circle, draw]{\textbf{2}};}\\[8pt]
%Degré d'alcool : 5\,\%& Degré d'alcool : 12\,\% \\ [8pt]
%Contenance : 33 cL&Contenance 125 mL \\[8pt]
%		\end{tabular}\\ \hline	
%\end{tabularx}

%\smallskip
%
%\textbf{Question :} la boisson \tikz[baseline ={(a.base)}]{\node (a) at(0,0)[circle, draw]{\textbf{1}};} contient-elle une masse d'alcool supérieure à celle de la boisson \tikz[baseline ={(a.base)}]{\node (a) at(0,0)[circle, draw]{\textbf{2}};} ?
La boisson 1 contient $33 \times 0,05 \times 7,9 = 13,035$~g.

La boisson 2 contient $12,5 \times 0,12 \times 7,9 = 11,85$~g.

La boisson 1 contient  plus d'alcool que la boisson 2. 

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 7  \hfill 15 points}}

\medskip

%Pour ranger les boulets de canon, les soldats du XVI\up{e} siècle utilisaient souvent un type d'empilement pyramidal à base carrée, comme le montrent les dessins suivants :
%
%\hspace{-16mm}
%\begin{tabular}{>{\centering \arraybackslash} p{2.6cm}
%		>{\centering \arraybackslash} p{3.6cm}
%		>{\centering \arraybackslash} p{4.6cm}
%		>{\centering \arraybackslash} p{5.6cm}}
%\begin{tikzpicture}[x={(6:8mm)},y=(145:4mm),z={(90:8.50mm)},baseline={(current bounding box.center)}]
%\foreach \x in {2.5,3.5}{
%	\shade[ball color=gray!30] (\x,3.5,1.697) circle (4mm);}
%\shade[ball color=gray!30] (3,3,2.263) circle (4mm);
%\foreach \x in {2.5,3.5}{
%	\shade[ball color=gray!30] (\x,2.5,1.697) circle (4mm);}
%\end{tikzpicture}
%&
% \begin{tikzpicture}[x={(6:8mm)},y=(145:4mm),z={(90:8.50mm)},baseline={(current bounding box.center)}]
%\foreach \x in {2,3,4}{
%	\shade[ball color=gray!30] (\x,4,1.131) circle (4mm);}
%\foreach \x in {2.5,3.5}{
%	\shade[ball color=gray!30] (\x,3.5,1.697) circle (4mm);}
%\foreach \x in {2,3,4}{
%	\shade[ball color=gray!30] (\x,3,1.131) circle (4mm);}
%\shade[ball color=gray!30] (3,3,2.263) circle (4mm);
%\foreach \x in {2.5,3.5}{
%	\shade[ball color=gray!30] (\x,2.5,1.697) circle (4mm);}
%\foreach \x in {2,3,4}{
%	\shade[ball color=gray!30] (\x,2,1.131) circle (4mm);}
%\end{tikzpicture}
%&
%\begin{tikzpicture}[x={(6:8mm)},y=(145:4mm),z={(90:8.50mm)},baseline={(current bounding box.center)}]
%\foreach \x in {1.5,2.5,...,4.5}{
%	\shade[ball color=gray!30] (\x,4.5,0.5657) circle (4mm);}
%\foreach \x in {2,3,4}{
%	\shade[ball color=gray!30] (\x,4,1.131) circle (4mm);}
%\foreach \x in {1.5,2.5,...,4.5}{
%	\shade[ball color=gray!30] (\x,3.5,0.5657) circle (4mm);}
%\foreach \x in {2.5,3.5}{
%	\shade[ball color=gray!30] (\x,3.5,1.697) circle (4mm);}
%\foreach \x in {2,3,4}{
%	\shade[ball color=gray!30] (\x,3,1.131) circle (4mm);}
%\shade[ball color=gray!30] (3,3,2.263) circle (4mm);
%\foreach \x in {1.5,2.5,...,4.5}{
%	\shade[ball color=gray!30] (\x,2.5,0.5657) circle (4mm);}
%\foreach \x in {2.5,3.5}{
%	\shade[ball color=gray!30] (\x,2.5,1.697) circle (4mm);}
%\foreach \x in {2,3,4}{
%	\shade[ball color=gray!30] (\x,2,1.131) circle (4mm);}
%\foreach \x in {1.5,2.5,...,4.5}{
%	\shade[ball color=gray!30] (\x,1.5,0.5657) circle (4mm);}
%\end{tikzpicture}
%&
% \begin{tikzpicture}[x={(6:8mm)},y=(145:4mm),z={(90:8.50mm)},baseline={(current bounding box.center)}]
% \foreach \x in {1,...,5}{
% 	\shade[ball color=gray!30] (\x,5,0) circle (4mm);}
% \foreach \x in {1.5,2.5,...,4.5}{
%	\shade[ball color=gray!30] (\x,4.5,0.5657) circle (4mm);}
% \foreach \x in {1,...,5}{
% 	\shade[ball color=gray!30] (\x,4,0) circle (4mm);}
% \foreach \x in {2,3,4}{
%	\shade[ball color=gray!30] (\x,4,1.131) circle (4mm);}
% \foreach \x in {1.5,2.5,...,4.5}{
%	\shade[ball color=gray!30] (\x,3.5,0.5657) circle (4mm);}
% \foreach \x in {2.5,3.5}{
%	\shade[ball color=gray!30] (\x,3.5,1.697) circle (4mm);}
% \foreach \x in {1,...,5}{
%	\shade[ball color=gray!30] (\x,3,0) circle (4mm);}
% \foreach \x in {2,3,4}{
%	\shade[ball color=gray!30] (\x,3,1.131) circle (4mm);}
%	\shade[ball color=gray!30] (3,3,2.263) circle (4mm);
% \foreach \x in {1.5,2.5,...,4.5}{
%	\shade[ball color=gray!30] (\x,2.5,0.5657) circle (4mm);}
% \foreach \x in {2.5,3.5}{
%	\shade[ball color=gray!30] (\x,2.5,1.697) circle (4mm);}
% \foreach \x in {1,...,5}{
%	\shade[ball color=gray!30] (\x,2,0) circle (4mm);}
% \foreach \x in {2,3,4}{
%	\shade[ball color=gray!30] (\x,2,1.131) circle (4mm);}
% \foreach \x in {1.5,2.5,...,4.5}{
%	\shade[ball color=gray!30] (\x,1.5,0.5657) circle (4mm);}
%  \foreach \x in {1,...,5}{
% 	\shade[ball color=gray!30] (\x,1,0) circle (4mm);}
% \end{tikzpicture}\\ [1.8cm]
% Empilement \linebreak à 2 niveaux&Empilement à 3 niveaux&
% Empilement à 4 niveaux&Empilement à 5 niveaux
%\end{tabular}

\begin{enumerate}
	\item %Combien de boulets contient l'empilement à 2 niveaux ?
L'empilement à 2 niveaux contient $4 + 1 = 5$~(boulets).	
	\item %Expliquer pourquoi l'empilement à 3 niveaux contient 14 boulets.	
L'empilement à 3 niveaux contient $9 + 4 + 1 = 14$~(boulets).
	\item %On range 55 boulets de canon selon cette méthode. Combien de niveaux comporte alors l'empilement obtenu ?	
Avec 4 niveaux on peut ranger $16 + 9 + 4 + 1 = 30$~(boulets). Il faut donc un niveau de plus de $5 \times 5 = 25$ ~(boulets).

Sur 5 niveaux il y aura $25 + 16 + 9 + 4 + 1 = 55$~(boulets exactement).
	\item %Ces boulets sont en fonte; la masse volumique de cette fonte est de \np[kg/m^3]{7300}.
-- Volume d'un boulet : $\dfrac{4}{3} \times \pi \times 6 \times 6 \times 6 = 288\pi~\left(\text{cm}^3\right)$.

-- L'empilement à 3 niveaux contient 14~boulets qui ont un volume de $14 \times 288\pi = \np{4032}\pi~\left(\text{cm}^3\right)$.

1 m$^3$ de fonte a une masse de \np{7300}~kg, donc 1~dm$^3$ de fonte a une masse de 7,3~kg et 1~cm$^3$ de fonte a une masse de \np{0,0073}~kg, donc les 14 boulets ont une masse de :

$\np{4032}\pi \times \np{0,0073}= \np{29,4336}\pi \approx 92,46$~(kg), soit 92~kg au kilogramme près.
	
%On modélise un boulet de canon par une boule de rayon \np[cm]{6}.
%	
%Montrer que l'empilement à 3 niveaux de ces boulets pèse \np[kg]{92}, au kg près.
	
%\emph{Rappels:}
%\begin{itemize}
%		\item $\emph{volume d'une boule} = \dfrac{4}{3}\times \pi \times \text{\emph{rayon}} \times \text{\emph{rayon}} \times \text{\emph{rayon}}$.	
%		\item une masse volumique de \np[kg/m^3]{7300} signifie que \np[m^3]{1} pèse \np[kg]{7300}.
%\end{itemize}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 8 \hfill 10 points}}

\medskip

%Dans une classe de Terminale, huit élèves passent un concours d'entrée dans une école d'enseignement supérieur.
%
%Pour être admis, il faut obtenir une note supérieure ou égale à 10.
%
%Une note est attribuée avec une précision d'un demi-point (par exemple : 10 ; 10,5 ; 11 ; \dots)
%On dispose des informations suivantes :
%
%\smallskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}X|} \hline
%
%\textbf{Information 1}
%
%Notes attribuées aux 8 élèves de la classe qui ont passé le concours :
%		
%10; \quad 13; \quad 15; \quad 14,5; \quad 6; \quad 7,5; \quad \tikz[baseline={(0,-0.075)}]{\fill (0,-0.075)--(0.075,0)--(0,0.075)--(-0.075,0)--cycle;}; \quad \tikz[baseline={(0,-0.075)}]{\fill (0,0) circle (0.075);}\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\smallskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|} \hline
%	
%\multicolumn{2}{|c|}{\textbf{Information 2}} \\
%	
%\parbox{6.5cm}{La série constituée des huit notes :
%		
%		\begin{itemize}
%			\item a pour étendue 9;
%			\item a pour moyenne 11,5;
%			\item a pour médiane 12.
%	\end{itemize}}
%	& \parbox{6.5cm}{75\,\% des élèves de la classe qui ont passé le concours ont été reçus.}\\ \hline
%\end{tabularx}

\begin{enumerate}
\item %Expliquer pourquoi il est impossible que l'une des deux notes désignées par \tikz[baseline={(0,-0.075)}]{\fill (0,-0.075)--(0.075,0)--(0,0.075)--(-0.075,0)--cycle;} ou \tikz[baseline={(0,-0.075)}]{\fill (0,0) circle (0.075);} soit 16.
Si l'une des notes inconnues était 16, l'étendue serait au moins égale à $16 - 6 = 10$ ; or celle-ci est égale à 9.
Il est donc impossible que l'une des deux notes inconnues soit égale à 16.	
\item %Est-il possible que les deux notes désignées par \tikz[baseline={(0,-0.075)}]{\fill (0,-0.075)--(0.075,0)--(0,0.075)--(-0.075,0)--cycle;} et \tikz[baseline={(0,-0.075)}]{\fill (0,0) circle (0.075);} soient 12,5 et 13,5 ?
Si les deux notes inconnues sont 12,5 et 13,5, alors 

-- l'étendue est égale à $15 - 6 = 9$ ;

-- la moyenne serait égale à $\dfrac{10 + 13 + 15 + 14,5 + 6 + 7,5 + 12,5 + 13,5}{8} = \dfrac{92}{8} = 11,5$ ; 

-- il y aurait 6 élèves sur 8 ayant une note supérieure ou égale à 10, donc une proportion de $\dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \times 25}{4 \times 25} = \dfrac{75}{100} = 75$\,\% de candidat reçus ; 

-- La liste des notes serait donc :

6 ; 7,5 ; 10 ; 12,5 ; 13 ; 13,5 ; 14,5 ; 15 la médiane serait supérieure à 12,5 : ce n'est pas possible.
\end{enumerate}

\end{document}
