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% -------- PARAMÈTRES --------
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\newcommand{\soustitre}{Amérique du Nord, 3 juin 2026}
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\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
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        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
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}\\[4mm]%
}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
{\Large\bfseries Diplôme national du brevet\\[4pt]
Amérique du Nord, 3 juin 2026}
\end{center}

\vspace{3mm}

\begin{center}
\colorbox{gray!15}{\parbox{0.85\textwidth}{\centering\Large\bfseries CORRIGÉ DE L'ÉPREUVE}}
\end{center}

\bigskip


\section*{\centering PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES (6 points)}

\subsection*{Question 1}
$A = \dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{2\times 4}{3\times 4} + \dfrac{3\times 3}{4\times 3}
= \dfrac{8}{12} + \dfrac{9}{12} = \dfrac{17}{12}$.

\subsection*{Question 2}
Une réduction de 10\,\% revient à multiplier le prix par $1 - \dfrac{10}{100} = 0{,}9$.

Le nouveau prix est donc $45 \times 0{,}9 = 40{,}5$, soit \textbf{40,50\,\euro}.

\subsection*{Question 3}
Les codages indiquent que les côtés opposés sont deux à deux de même longueur : c'est donc un
parallélogramme. Mais rien n'indique que ses côtés consécutifs sont égaux (losange) ni qu'il possède
un angle droit (rectangle). \textbf{Réponse D} : ce n'est ni un losange, ni un rectangle.

\subsection*{Question 4}
$5x - 15 = 20 \iff 5x = 35 \iff x = \dfrac{35}{5} = 7$.

\subsection*{Question 5}
\textbf{a.} L'abscisse du point A est $-2$.\qquad
\textbf{b.} Le point B a pour coordonnées $(-2\,;\,-1)$.

\subsection*{Question 6}
La série ordonnée est : $1$ ; $3$ ; $3$ ; $8$ ; \underline{$11$} ; $12$ ; $12$ ; $19$ ; $25$.

La série comporte $9$ valeurs : la médiane est la $5^{\text{e}}$ valeur, soit \textbf{11}.

\subsection*{Question 7}
Dans le triangle ABC rectangle en A, le côté [AB] est le côté \emph{adjacent} à l'angle
$\widehat{\text{ABC}}$ et [BC] est l'hypoténuse. Donc
$\cos\big(\widehat{\text{ABC}}\big) = \dfrac{\text{AB}}{\text{BC}}$, d'où
$\text{AB} = \text{BC} \times \cos\big(\widehat{\text{ABC}}\big)$. \textbf{Réponse : } $5 \times \cos(60)$.

\subsection*{Question 8}
$387 = 9 \times 43 = 3 \times 129$. Un diviseur de $387$ autre que $1$ et $387$ est par exemple
\textbf{3} (ou $9$, ou $43$, ou $129$).

\bigskip

\section*{\centering DEUXIÈME PARTIE (14 points)}

\section*{Exercice 1}
\begin{enumerate}
\item Dans le triangle AED, le plus grand côté est [AD].\\
D'une part $\text{AD}^2 = 7{,}3^2 = 53{,}29$.\\
D'autre part $\text{AE}^2 + \text{DE}^2 = 5{,}5^2 + 4{,}8^2 = 30{,}25 + 23{,}04 = 53{,}29$.

On a donc $\text{AD}^2 = \text{AE}^2 + \text{DE}^2$ : d'après la réciproque du théorème de Pythagore,
le triangle AED est rectangle en E.

\item Le triangle AED est rectangle en E, ses côtés de l'angle droit sont [AE] et [DE]. Son aire est
\[
\mathcal{A}_{\text{AED}} = \dfrac{\text{AE} \times \text{DE}}{2} = \dfrac{5{,}5 \times 4{,}8}{2}
= \dfrac{26{,}4}{2} = 13{,}2 \ \text{cm}^2.
\]

\item Le triangle ABC est rectangle en B, donc $(\text{BC}) \perp (\text{BE})$.
Le triangle AED est rectangle en E, donc $(\text{DE}) \perp (\text{AE})$.
Comme les points B, A, E sont alignés, $(\text{BE})$ et $(\text{AE})$ sont la même droite.
Les droites $(\text{BC})$ et $(\text{DE})$ sont donc toutes deux perpendiculaires à la droite
$(\text{BE})$ : elles sont \textbf{parallèles}.

\item Les droites $(\text{BE})$ et $(\text{CD})$ sont sécantes en A, et les droites $(\text{BC})$ et
$(\text{ED})$ sont parallèles. D'après le théorème de Thalès :
\[
\dfrac{\text{AB}}{\text{AE}} = \dfrac{\text{AC}}{\text{AD}} = \dfrac{\text{BC}}{\text{ED}}.
\]
En particulier $\dfrac{\text{AB}}{\text{AE}} = \dfrac{\text{BC}}{\text{ED}}$, donc
\[
\text{AB} = \dfrac{\text{AE} \times \text{BC}}{\text{ED}} = \dfrac{5{,}5 \times 7{,}2}{4{,}8}
= 8{,}25 \ \text{cm}.
\]

\item Les droites $(\text{BC})$ et $(\text{ED})$ sont parallèles et sont coupées par la sécante
$(\text{CD})$ : les angles $\widehat{\text{ACB}}$ et $\widehat{\text{ADE}}$ sont alternes-internes,
donc égaux. Ainsi $\widehat{\text{ADE}} \approx 49\degres$.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2}
\begin{enumerate}
\item $f(-4) = (-4-1)(-4+3) = (-5)\times(-1) = 5$.

\item On cherche $x$ tel que $g(x) = 2$, c'est-à-dire $2x + 1 = 2$, soit $2x = 1$ et $x = 0{,}5$.
L'antécédent de $2$ par $g$ est $0{,}5$.

\item \textbf{a.} En cellule B3 on saisit \verb!=2*B1+1! (puis on étire vers la droite).

\textbf{b.} D'après le tableau, $f(2) = 5$ et $g(2) = 5$ : une solution de $f(x) = g(x)$ est $x = 2$.

\item \textbf{a.} $f$ est une fonction du second degré : sa représentation est la parabole
$\mathcal{C}_1$. $g$ est une fonction affine : sa représentation est la droite $\mathcal{C}_2$.

\textbf{b.} Les deux courbes se coupent aux points d'abscisses $-2$ et $2$ : les solutions de
$f(x) = g(x)$ sont $x = -2$ et $x = 2$.

\item Résolvons $f(x) = g(x)$ :
\[
(x-1)(x+3) = 2x + 1 \iff x^2 + 2x - 3 = 2x + 1 \iff x^2 - 4 = 0.
\]
Les deux équations $f(x) = g(x)$ et $x^2 - 4 = 0$ ont donc exactement les mêmes solutions :
\textbf{Lola a raison}. (On retrouve $x^2 = 4$, soit $x = 2$ ou $x = -2$.)
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3}
\subsection*{Partie A}
\begin{enumerate}
\item Nombre d'images de la catégorie « Autres » :
$50\,000 - 28\,000 - 12\,000 - 8\,000 = 2\,000$ images.

\item $90\,\%$ de $28\,000$ : $\dfrac{90}{100} \times 28\,000 = 0{,}9 \times 28\,000 = 25\,200$ images
reconnues correctement.

\item L'IA reconnaît $5\,600$ images sur les $8\,000$ de la catégorie « Véhicules », soit
$\dfrac{5\,600}{8\,000} = 0{,}70 = 70\,\%$ de réussite.

\item $P(\text{« Objet du quotidien »}) = \dfrac{28\,000}{50\,000} = 0{,}56$.
\end{enumerate}

\subsection*{Partie B}
\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{4}
\item Consommation de l'IA : $82\,000\ \text{GWh} = 82\,000 \times 10^{9}\ \text{Wh}
= 8{,}2 \times 10^{13}\ \text{Wh}$.

Consommation d'un collège : $200\,000\ \text{kWh} = 200\,000 \times 10^{3}\ \text{Wh}
= 2 \times 10^{8}\ \text{Wh}$.

\item Nombre de collèges que l'on pourrait alimenter pendant un an :
\[
\dfrac{8{,}2 \times 10^{13}}{2 \times 10^{8}} = 4{,}1 \times 10^{5} = 410\,000 \text{ collèges}.
\]

\item La consommation annuelle de l'ensemble des $7\,100$ collèges est
$7\,100 \times 2 \times 10^{8} = 1{,}42 \times 10^{12}\ \text{Wh}$. Le nombre d'années est donc
\[
\dfrac{8{,}2 \times 10^{13}}{1{,}42 \times 10^{12}} \approx 57{,}7,
\]
soit environ \textbf{58 ans}.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 4}
\begin{enumerate}
\item Le Bloc 1 place le lutin en $x : 0$, $y : 0$ : ses coordonnées sont $(0\,;\,0)$.

\item Le bloc « carré » doit tracer un carré : $4$ côtés, en tournant de l'angle extérieur
$180\degres - 90\degres = 90\degres$ à chaque sommet. Donc $\textbf{A} = 4$ et $\textbf{B} = 90$.

Le bloc « triangle équilatéral » doit tracer un triangle : $3$ côtés, en tournant de l'angle
extérieur $180\degres - 60\degres = 120\degres$ à chaque sommet. Donc $\textbf{C} = 3$ et
$\textbf{D} = 120$.

\item \emph{En simulant chaque programme : le Programme~1 trace des \textbf{carrés}, le Programme~3 ne
trace que des \textbf{triangles} assemblés, le Programme~2 combine un carré et des triangles.}
On associe : \textbf{Programme 1 $\rightarrow$ Figure B}, \textbf{Programme 2 $\rightarrow$ Figure C},
\textbf{Programme 3 $\rightarrow$ Figure A}.
\end{enumerate}

\end{document}
