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% -------- PARAMÈTRES --------
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\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
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}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
{\Large\bfseries Diplôme national du brevet\\[4pt]
Amérique du Nord, 31 mai 2023}
\end{center}

\vspace{3mm}

\begin{center}
\colorbox{gray!15}{\parbox{0.85\textwidth}{\centering\Large\bfseries CORRIGÉ DE L'ÉPREUVE}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 20 points}

\medskip

$780 = 2 \times 390 = 2\times2\times195 = 2^{2}\times 5 \times 39= 2^{2}\times5\times3\times13=2^{2}\times3\times5\times13$.

\medskip

\textbf{Situation 2}

\medskip

\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item On tire une carte au hasard, on est donc dans une situation d'équiprobabilité.

$\displaystyle P(\text{\og}8~\text{de pique}\text{\fg}) = \frac{1}{32}$

\item Il y a 4 rois et 8 c\oe{}urs dans ce jeu, donc au total 11 issues favorables car on ne compte pas deux fois le roi de c\oe{}ur.

$\displaystyle P(\text{\og}\text{roi ou c\oe{}ur}\text{\fg}) = \frac{11}{32}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Situation 3}

\medskip

$A = (2x + 5)(3x - 4)= 6x^{2}- 8x + 15x - 20 = 6x^{2} +7x - 20$.

\medskip

\textbf{Situation 4}

\medskip

\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Le solide est un prisme droit dont les bases sont des triangles rectangles.

$\displaystyle A_{\text{base}}=\dfrac{60\times80}{2}=2\,400~\text{cm}^{2}$, d'où $V_{\text{prisme}}=2400\times120 = 288\,000~\text{cm}^{3}$.

\item $288\,000~\text{cm}^{3}=288~\text{dm}^{3}=288~\text{L}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Situation 5}

\medskip

Le coefficient d'agrandissement est $3$, donc l'aire du polygone 1 est multipliée par $3^{2} = 9$.

$A_{\text{polygone 2}}=9\times11= 99~\text{cm}^{2}$.

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 22 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $AN^{2} = 13^{2} = 169$.

$LN^{2} + AL^{2} = 5^{2} + 12^{2} = 25 + 144 = 169$, donc $AN^{2} = LN^{2} + AL^{2}$.

D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $LNA$ est rectangle en $L$.

\item D'après la question précédente, $(AL) \perp (LN)$. D'après le codage, $(HO) \perp (LN)$.

Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles, donc $(AL) \parallel (HO)$.

Les points $N$, $H$, $A$ et $N$, $O$, $L$ sont alignés. Par le théorème de Thalès~:

$\dfrac{NO}{NL}=\dfrac{NH}{NA}=\dfrac{OH}{AL}$ soit $\dfrac{3}{5}=\dfrac{6}{10}$, d'où $OH = \dfrac{12 \times 6}{10} = 7{,}2~\text{cm}$.

\item $\cos(\widehat{LNA})=\dfrac{LN}{AN}= \dfrac{5}{13}$, d'où $\widehat{LNA} \approx 67\degres$.

\item L'angle $\widehat{LNA}$ est commun aux deux triangles et $\widehat{HON}=\widehat{ALN}=90\degres$.

Donc les triangles $LNA$ et $OHN$ ont deux paires d'angles de même mesure, ils sont semblables.

\item
    \begin{enumerate}
        \item $A_{LNA}=\dfrac{5\times12}{2}=30~\text{cm}^{2}$, $A_{OHN}=\dfrac{3\times7{,}2}{2}=10{,}8~\text{cm}^{2}$, $A_{LOHA}=30 - 10{,}8=19{,}2~\text{cm}^{2}$.

        \item $\dfrac{A_{LOHA}}{A_{LAN}}=\dfrac{19{,}2}{30}=0{,}64=\dfrac{64}{100}$.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 20 points}

\medskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
    \begin{enumerate}
        \item Le nombre de visiteurs en 2010 est $300\,000$.
        \item Le nombre de visiteurs a été le plus élevé en $2019$.
    \end{enumerate}

\item $V_{\text{finale}}=1{,}15 \times \np{187216} = \np{215298,4}$.

Or $\np{215298,4} < \np{219042}$ : l'objectif a bien été atteint.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip

\begin{enumerate}[resume]
\item L'étendue vaut $500 - 60 = 440$~euros.
\item $\overline{x} = \dfrac{60\times\np{1200} + 80\times\np{1350} + 85\times\np{1000} + 90\times\np{1100} + 110\times\np{1200} + 120\times\np{1300} + 350\times900 + 500\times300}{\np{8350}} \approx 134$~euros.

\item Il y a $\np{8350}$ nuits, la médiane est entre la $\np{4175}$\up{e} et la $\np{4176}$\up{e} valeur. En cumulant les effectifs jusqu'à 90~\euro{} inclus~: $\np{1200}+\np{1350}+\np{1000}+\np{1100}=\np{4650} > \np{4175}$.

Donc la médiane vaut 90~\euro, soit moins de 100~\euro{}. L'affirmation est vraie.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 20 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
    \begin{enumerate}
        \item Programme de construction : tracer $[KL]$ de longueur $35 \div 5 = 7$~cm, tracer l'angle en $L$, placer $M$ à 4~cm de $L$, tracer la parallèle à $(KL)$ par $M$, reporter $KL$ pour placer $N$, tracer $[NK]$.

        \item \textit{ligne 4}~: 35 \quad \textit{ligne 5}~: 60 \quad \textit{ligne 6}~: 20 \quad \textit{ligne 7}~: 120
    \end{enumerate}
\item
    \begin{enumerate}
        \item On complète la \textit{ligne 2} par la valeur $5$.
        \item Le motif comporte 5 pétales et $360 \div 5 = 72$, donc on tourne de $72\degres$ après chaque pétale.
        \item Il y a 12 pétales et $360 \div 12 = 30$. On modifie~:

\textit{ligne 2}~: répéter $12$ fois \quad \textit{ligne 4}~: tourner de $30\degres$
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 18 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Les deux demi-cercles forment un cercle complet de périmètre $2\pi\times40\simeq 251$~m.

Le périmètre total vaut $850\times2 + 251 \approx \np{1951}$~m.

\item
    \begin{enumerate}
        \item $2~\text{min}~9~\text{s} = 129~\text{s}$. Vitesse~: $\dfrac{\np{1951}}{129} \approx 15$~(m/s).
        \item $15~\text{m/s} = 0{,}015~\text{km/s} = 0{,}015 \times 3600 = 54$~(km/h).
    \end{enumerate}

\item Marque A~: $73027 \div 500 \approx 146{,}1$, soit 147 sacs. Coût~: $147 \times 141{,}95 = \np{20866,65}$~\euro.

Marque B~: $\np{73027} \div 400 \approx 182{,}6$, soit 183 sacs. Coût~: $183 \times 87{,}9 = \np{16085,70}$~\euro.

Marque C~: $73027 \div 300 \simeq 243{,}4$, soit 244 sacs. Coût~: $244 \times 66{,}5 = \np{16226}$~\euro.

Le tarif le moins cher est le tarif B.
\end{enumerate}

\end{document}
