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\providecommand{\up}[1]{\textsuperscript{#1}}

% -------- PARAMÈTRES --------
\newcommand{\titre}{Brevet des collèges}
\newcommand{\soustitre}{Amérique du Sud, 2 décembre 2024}
\newcommand{\monurl}{https://site2wouf.fr}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{84pt}
\setlength{\headsep}{10pt}
\renewcommand{\headrule}{{\color{gray!25}\hrule width\headwidth height\headrulewidth}}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.65\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.18\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.7cm]{\monurl}
\end{minipage}%
}\\[4mm]%
}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
{\Large\bfseries Diplôme national du brevet\\[4pt]
Amérique du Sud, 2 décembre 2024}
\end{center}

\vspace{3mm}

\begin{center}
\colorbox{gray!15}{\parbox{0.85\textwidth}{\centering\Large\bfseries CORRIGÉ DE L'ÉPREUVE}}
\end{center}

\bigskip

{\large \textbf{Exercice 1 \hfill 20 points}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 2 jetons blancs sur $2 + 3 = 5$ : probabilité $\dfrac{2}{5} = 0{,}4$ (réponse C).
\item La vue de droite est la B.
\item Thalès~: $\dfrac{\text{DH}}{\text{AC}} = \dfrac{\text{BD}}{\text{BC}}$, soit $\dfrac{\text{DH}}{16} = \dfrac{2}{10}$, d'où $\text{DH} = \dfrac{32}{10} = 3{,}2$~cm (réponse A).
\item Petite roue~: $4 \times 9 = 36 = 3 \times 12$ crans → grande roue~: 3 tours (réponse A).
\item Homothétie de rapport $-2$ : le triangle EGF est l'image du triangle BDC (réponse C).
\end{enumerate}

\bigskip

{\large \textbf{Exercice 2 \hfill 24 points}}

\medskip

$f(x) = x^2 - x - 6$ \qquad $g(x) = -2x$

\begin{enumerate}
\item
    \begin{enumerate}
        \item $f(5) = 25 - 5 - 6 = 14$.
        \item Antécédent de 4 par $g$~: $g(x) = 4 \iff x = \dfrac{4}{-2} = -2$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|c|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
    & A & B & C & D & E & F & G & H\\ \hline
1   & $x$ & $-4$ & $-3$ & $-2$ & $-1$ & $0$ & $1$ & $2$\\ \hline
2   & $f(x)$ & $14$ & $6$ & $0$ & $-4$ & $-6$ & $-6$ & $-4$\\ \hline
3   & $g(x)$ & $8$ & $6$ & $4$ & $2$ & $0$ & $-2$ & $-4$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

        \item $f(-4) = 14$ et $f(5) = 14$ : les antécédents de 14 par $f$ sont $-4$ et $5$.
        \item Formule en B2~: \texttt{= B1*B1 - B1 - 6}.
        \item $f(-3) = 6$ et $g(-3) = 6$~; $f(2) = -4$ et $g(2) = -4$ : $-3$ et $2$ ont la même image par $f$ et $g$.
    \end{enumerate}
\item
    \begin{enumerate}
        \item $(x+2)(x-3) = x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6 = f(x)$.
        \item $(x+2)(x-3) = 0 \iff x = -2$ ou $x = 3$. $S = \{-2~;~3\}$.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

{\large \textbf{Exercice 3 \hfill 22 points}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Probabilités : $\dfrac{25}{100} = 0{,}25$~; $\dfrac{1}{2} = 0{,}5$~; $0{,}1$~; $\dfrac{6}{10} = 0{,}6$.

La probabilité la plus grande est $0{,}6$ : le chat à pieds noirs.

\item À 115~km/h, le guépard parcourt $\dfrac{\np{115000}}{\np{3600}} \approx 31{,}944$~m/s.

Pour 100~m~: $t = \dfrac{100}{\frac{\np{1150}}{36}} = \dfrac{100 \times 36}{\np{1150}} \approx 3{,}13$~s.

Le guépard parcourt 100~m en environ 3,13 secondes.

Baisse entre 1999 et 2016~: $\dfrac{170}{\np{1200}} \approx 0{,}142 = 14{,}2~\%$, soit une baisse de $100 - 14 = 86~\%$.

\item Longitude du parc~: environ $15\degres$ Est, latitude~: $20\degres$ Sud.
\end{enumerate}

\bigskip

{\large \textbf{Exercice 4 \hfill 20 points}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $\text{CB}^2 = 17^2 - 2{,}6^2 = (17 - 2{,}6)(17 + 2{,}6) = 14{,}4 \times 19{,}6 = 282{,}24$, donc $\text{CB} = 16{,}8$~m.

\item $\tan \widehat{\text{ABC}} = \dfrac{2{,}6}{16{,}8} \approx 0{,}1548$, d'où $\widehat{\text{ABC}} \approx 8{,}8\degres > 8{,}5\degres$ : il y aura surcoût.

\item $V = \dfrac{\text{AC} \times \text{CB}}{2} \times \text{AD} = \dfrac{2{,}6 \times 16{,}8}{2} \times 30 = 655{,}2~\text{m}^3$.
\end{enumerate}

\bigskip

{\large \textbf{Exercice 5 \hfill 14 points}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Les quatre côtés d'un losange sont égaux~: $a = 20$.

On a tourné de $60\degres$ donc on doit tourner de $180 - 60 = 120\degres$ pour l'angle retour~: $b = 120$.

\item On obtient la figure 3.

\item On a défini un nouveau bloc \og Motif B\fg{}. En l'exécutant, on obtient la figure ci-dessous~:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=1cm,y=1cm]
    \foreach \n in {0,2,4} {
        \draw (\n,0) -- (\n+1,0) -- (\n+1.5,-0.866) -- (\n+0.5,-0.866) -- cycle;
    }
\end{tikzpicture}
\end{center}

Le script du bloc \og Motif B\fg{} est~:

\begin{center}
\begin{scratch}[scale=1]
\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{Motif B}}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{3} fois}
{
\blockmoreblocks{Losange}
\blockmove{Avancer de \ovalnum{40}}
}
\end{scratch}
\end{center}

\end{enumerate}
\end{document}
