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                    line cap=round,line join=round]
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    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
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        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
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% -- Commandes personnalisées APMEP --
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
{\Large\bfseries Diplôme national du brevet\\[4pt]
Brevet des collèges — Amérique du Sud, novembre 2011}
\end{center}

\vspace{3mm}

\begin{center}
\colorbox{gray!15}{\parbox{0.85\textwidth}{\centering\Large\bfseries CORRIGÉ DE L'ÉPREUVE}}
\end{center}

\bigskip
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

%Cet exercice est un exercice à  choix multiples (QCM). Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Une réponse correcte rapportera $1$ point.
%
%L'absence de réponse ou une réponse fausse ne retirera aucun point.
%
%Indiquer, sur la copie, le numéro de la question et la réponse.
%
%\begin{center}\textbf{Aucune justification n'est demandée} \end{center}
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{3.75cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
%\hline
%  & Questions & Réponse A & Réponse B & Réponse C \\ \hline
%1 &\rule[-2mm]{0mm}{7mm} $-5\sqrt{2}+\sqrt{8}=\cdots$  & $-3\sqrt{2}$ & $-4,243$ & $-5\sqrt{10}$\\ \hline 
%2 & Un carré de côté $3\sqrt{2}$ a pour aire : & $6$ & $12\sqrt{2}$ & $18$\\ \hline 
%3 & L'expression factorisée de $x^2-16$ &n'existe pas & est $(x-4)(x+4)$ & est $(x-4)^2$ \\ \hline 
%4 & Les solutions de l'inéquation $-2x-1<3$ sont les nombres $x$ tels que : & $x<-2$& $x>-2$ & $x>-1$ \\ \hline
%\end{tabularx}
\begin{enumerate}
\item $-5\sqrt{2}+\sqrt{8}= -5\sqrt{2}+\sqrt{4 \times 2}= 2\sqrt{2} - 5\sqrt{2} = - 3\sqrt{2}$. Réponse A.
\item L�aire est égale à : $\left(3\sqrt{2}\right)^2 = 9 \times 2 = 18$. Réponse C.
\item $x^2-16 = x^2 - 4^2 = (x - 4)(x + 4)$. Réponse B.
\item $- 2x - 1 < 3$ ou $- 1 - 3 < 2x$ ou $- 4 < 2x$ et enfin $- 2 < x$. Réponse B.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

%On propose deux programmes de calcul :
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|}
%\hline
%\multicolumn{1}{|c|}{Programme A}&\multicolumn{1}{c|}{Programme B}\\
%\hline
%\begin{itemize}
%\item Choisir un nombre.
%\item Ajouter $3$.
%\item Calculer le carré du résultat obtenu.
%\end{itemize}
%&
%\begin{itemize}
%\item Choisir un nombre.
%\item Soustraire $5$.
%\item Calculer le carré du résultat obtenu.
%\end{itemize}\\
%\hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %On choisit $1$ comme nombre de départ.
	\begin{enumerate}
	\item %Quel résultat obtient-on avec le programme A ?
$1 \to 1 + 3 = 4 \to 4^2 = 16$.	
	\item %Quel résultat obtient-on avec le programme B ?
	$1 \to 1 - 5 = - 4 \to (- 4)^2 = 16$.
	\item %Peut-on en  déduire que ces deux programmes de calcul conduisent toujours aux mêmes résultats pour un même nombre de départ ? Justifier.
Une hirondelle ne fait pas le printemps.

En partant de 2 le programme A conduit à 25 et le programme B à 9.
	\end{enumerate}
\item %Quel nombre de départ faut-il choisir pour que le résultat du programme A soit $0$ ?
0 est le carré de 0,et $0 - 3 = - 3$ : il faut partir de $- 3$.
%\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.}

%Quel(s) nombre(s) de départ faut-il choisir pour que le résultat du programme B soit $9$ ?
9 est le carré de 3 et $3 + 5 = 8$/

Mais 9 est aussi le carré de $- 3$ et $- 3 + 5 = 2$. On peut aussi partir de $2$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

%Un sac contient $6$ jetons rouges et $2$ jetons jaunes. On tire au hasard, chacun des jetons ayant la même probabilité d'être tiré.\\

\begin{enumerate}
\item %Calculer la probabilité de tirer un jeton rouge.
Il y a 6 rouges sur 8 jetons ; la probabilité est égale à $\dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}$.
\item %Calculer la probabilité de tirer un jeton jaune.
Il y a 2 jaunes parmi les 8 jetons ; la probabilité est égale à $\dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4}$.
\item %On ajoute dans ce sac des jetons verts. Le sac contient alors $6$ jetons rouges, $2$ jetons jaunes et les jetons verts. On tire un jeton au hasard.

%Sachant que la probabilité de tirer un jeton vert est égale à  $\dfrac{1}{2}$, calculer le nombre de jetons verts.
Soit $v$ le nombre de jetons verts. La probabilité de tirer un jeton vert est égale à ;

$\dfrac{v}{6 + 2 + v} = \dfrac{1}{2}$, soit $2v = 8 + v $ ou encore $v = 8$.

On pouvait aussi dire que pour avoir une chance sur deux de tirer un jeton vert, il fallait qu'il y ait autant de verts que de toutes les autres couleurs, soit $6 + 2 = 8$ jetons.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à  choix multiples (QCM). Aucune justification n'est demandée.\\
%Pour  chacune des questions, trois réponses sont proposées, une seule réponse est exacte.\\
%Aucun point ne sera enlevé en cas de mauvaise réponse.\\
%Pour chacune des $3$ questions, indiquer sur votre copie le numéro de la question et recopier la réponse correcte.}\\
%
%Pour répondre aux questions, observer la figure ci-dessous :\\
%
%\begin{center}
%\psset{unit=0.6cm}
%\begin{pspicture}(18.5,6.2)
%\psline(7.6,0.4)(3.4,0)(0,1.8)(6.2,2.3)
%\psline(11,0.7)(18.3,1.3)(14.8,3.1)(12.1,2.9)
%\psarc(9.1,3){2.85}{-25}{217}
%\psarc[linestyle=dashed](9.1,3){2.85}{217}{254}
%\psarc(9.1,3){2.85}{254}{304}
%\psarc[linestyle=dashed](9.1,3){2.85}{304}{336}
%\rput{6}(9.2,1.6){\psellipticarc[fillstyle=solid,fillcolor=white](0,0)(2.5,0.35){180}{0}}
%\rput{6}(9.2,1.6){\psellipticarc[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=dashed](0,0)(2.5,0.35){0}{180}}
%\rput{6}(9.1,3){\psellipticarc[fillstyle=solid,fillcolor=white](0,0)(2.85,0.4){180}{0}}
%\rput{6}(9.1,3){\psellipticarc[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=dashed](0,0)(2.85,0.4){0}{180}}
%\psline[linestyle=dashed](8.9,6.)(9.3,0.1)
%\psdots[dotscale=0.75](9.1,3)(9.15,2.3)(9.2,1.6)(11.2,2)
%\psline[linestyle=dashed](9.2,1.6)(11.2,2)(9.1,3)
%\uput[r](9.1,3){\footnotesize O} \uput[r](9.15,2.3){\footnotesize R} \uput[r](9.2,1.6){\footnotesize H} \uput[ur](11.2,2){\footnotesize M}
%\rput(3.5,0.6){$\mathcal{P}$} 
%\end{pspicture}
%\end{center} 

%\begin{itemize}
%\item O est le centre de la sphère,
%\item le plan ${\cal P}$ coupe la sphère suivant un cercle de centre H,
%\item M est un point de ce cercle,
%\item R est le milieu de [OH].\\
%\end{itemize}
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{3cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
%
%\hline
%\textbf{1.} & Le point R appartient ...  & à  la sphère de centre O et de rayon OM. & à  la boule de centre $O$ et de rayon OM. & au plan ${\cal P}$.\\ 
%\hline 
%\textbf{2.} & La distance du point O au plan ${\cal P}$ est ... & OM & OR & OH
%\\ \hline 
%\textbf{3.} & Si OM = 11,7~cm et HM = 10,8~cm, alors OH = $\cdots$ &
%4,5~cm & 1,2~cm & 20,25~cm \\ 
%\hline 
%
%\end{tabularx}
\begin{enumerate}
\item Le point R appartient à la boule de centre O et de rayon OM.
\item La distance du point O au plan ${\cal P}$ est OH.
\item Le triangle OHM est rectangle en H. Le théorème de Pythagore donne :

$\text{OM}^2 = \text{OH}^2 + \text{HM}^2$, soit $\text{OH}^2  = \text{OM}^2 -  \text{HM}^2 = 11,7^2 - 10,8^2 =$

$(11,7 + 10,8)(11,7 - 10,8) = 22,5 \times 0,9 = 20,25 = 4,5^2$. Donc OH = 4,5~cm.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

%ABC est un triangle rectangle en A tel que CB = 7~cm et AB = 3~cm.
%
%On appelle I le milieu du segment [CB].
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item ~%Réaliser une figure en vraie grandeur.
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3.8)
%\psgrid
\pspolygon(0.5,0.5)(7.5,0.5)(6.22,3.21)%CBA
\uput[l](0.5,0.5){C}\uput[r](7.5,0.5){B}\uput[ur](6.22,3.21){A}
\uput[d](4,0.5){I}\psdots(4,0.5)
\psarc(4,0.5){3.5}{0}{180}
\psarc(7.5,0.5){3}{100}{130}
\psline(4,0.5)(6.22,3.21)
\end{pspicture}
\end{center}
\item %Calculer la longueur exacte du segment [AC]. En donner la valeur arrondie au millimètre près.
Le théorème de Pythagore donne dans ce triangle rectangle en A :

$\text{CB}^2 = \text{CA}^2 + \text{AB}^2$, soit $\text{CA}^2 = \text{CB}^2 - \text{AB}^2 = 7^2 - 3^2 = 40$, donc AC $= \sqrt{40} = \sqrt{4 \times 10} = \sqrt{4} \times \sqrt{10} = 2\sqrt{10}$, soit environ 6,3~cm au millimètre près.
\item %Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{ACB}}$ arrondie à  $0,1\,\degres$ près.
On a $\sin \widehat{\text{ACB}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{CB}} = \dfrac{3}{7}$. La calculatrice donne $\widehat{\text{ACB}} \approx 25,3769$, soit 25,4\degres{} au dixième de degré près.
\item %Tracer le cercle circonscrit au triangle ABC. En préciser le centre et le rayon.
Le triangle ABC étant rectangle en A a pour hypoténuse[BC] : il est inscrit dans un cercle de diamètre [BC], donc de centre I et de rayon 3,5~cm.
\item %Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{AIB}}$ au degré près.
L'angle au centre $\widehat{\text{AIB}}$ a pour mesure le double de la mesure d' angle inscrit $\widehat{\text{ACB}}$ qui intercepte le même arc ; donc $\widehat{\text{AIB}} \approx 50,7538$ soit 51\degres{} au degré près.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

%\parbox{0.4\linewidth}{
%On considère la figure ci-contre sur laquelle les dimensions ne sont pas respectées.
%
%On ne demande pas de reproduire la figure. L'unité de longueur est le centimètre.
%
%Les points A, B et D sont alignés ainsi que les points C, B et E.
%
%AB = 12 ; AC = 9 ; BC = 15 ; 
%
%DB = 8,4 ; BE = 10,5.}\hfill
%\parbox{0.55\linewidth}{\begin{center}
%\psset{unit=0.7cm}
%\begin{pspicture}(-0.5,-4)(8,3)
%\pspolygon(0,0)(7.5,0)(7.5,2.3)(0,-3.3)
%\uput[ul](0,0){A} \uput[ul](4.5,0){B} \uput[dl](0,-3.3){C} \uput[dr](7.5,0){D} \uput[ur](7.5,2.3){E}
%\uput[u](2.25,0){12} \uput[d](6,0){8,4}\rput{40}(6,1.45){10,5}
%\rput{40}(2.25,-1.95){15}\uput[l](0,-1.65){9}
%\end{pspicture}
%\end{center}}

\begin{enumerate}
\item %Montrer que les droites (AC) et (ED) sont parallèles.
On a $\dfrac{\text{BD}}{\text{BA}} = \dfrac{8,4}{12} = 0,7$ et $\dfrac{\text{BE}}{\text{BC}} = \dfrac{10,5}{15} = 0,7.

Donc  $\dfrac{\text{BD}}{\text{BA}} = \dfrac{\text{BE}}{\text{BC}}$ et d'après la réciproque de la propriété de Thalès, les droites (AC) et (ED) sont parallèles.
\item %Calculer la longueur du segment [ED].
On a également $\dfrac{\text{ED}}{\text{CA}} = \dfrac{\text{ED}}{\text{9}} = 0,7$, d'où on obtient ED $ = 0,7 \times 9 = 6,3$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\bigskip 

%De façon à  récupérer l'eau de pluie de son toit, Lucas décide d'installer un récupérateur d'eau dans le sol de son jardin. La profondeur dont il dispose est de $2,5~m$.
%
%Un fabricant lui propose alors les deux modèles de réservoirs schématisés ci-dessous.
%
%Les dimensions sont en mètres.
%
%Le premier modèle a la forme d'un pavé droit, le deuxième est de forme cylindrique : dans chaque cas, $x$ peut varier entre 0,5~m et 1,5~m.
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
%\psset{unit=0.8cm}\begin{pspicture}(7,4)
%\psframe(0,0)(5,2.6)
%\psline(5,0)(6.8,0.9)(6.8,3.5)(5,2.6)
%\psline(6.8,3.5)(1.8,3.5)(0,2.6)
%\uput[r](6.8,2.2){2,5}\uput[u](4.3,3.5){3}\uput[ul](0.9,3.05){$x$}
%\rput(3.4,-0.5){Réservoir $R_1$}
%\end{pspicture}&\psset{unit=0.8cm}
%\begin{pspicture}(-1,-0.5)(6,4)
%\psline(0,0.4)(0,2.7)\psline(5.2,0.4)(5.2,2.7)
%\psellipse(2.6,2.7)(2.6,0.525)
%\psellipticarc[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=dashed](2.6,0.4)(2.6,0.525){0}{180}
%\psellipticarc[fillstyle=solid,fillcolor=white](2.6,0.4)(2.6,0.525){180}{0}
%\uput[r](5.28,1.45){2,5}
%\psline(2.6,2.7)(4.5,3.05)
%\uput[u](3.55,2.8){$x$} \rput(2.5,-1){Réservoir $R_2$}
%\end{pspicture}\\
%\end{tabularx}
%
%\bigskip

\begin{enumerate}
\item %Compléter le tableau fourni en annexe. \emph{Les détails des calculs des valeurs exactes devront figurer sur votre copie.}
Volume du pavé : avec $x = 0,5,\:R_{0,5} = 3 \times 2,5 \times 0,5 = 3,75$~m$^3$.

Avec $x = 1,2,\:R{1,2} = 3 \times 2,5 \times 1,2 = 9$~m$^3$

Volume du cylindre : avec $x = 0,5,\:R'_{0,5} = \pix^2 \times 2,5 = \pi \times 0,5^2 \times 2,5 = 0,625\pi \approx 1,96$ soit environ 2~m$^3$.

Avec $x = 1,2,\:R'_{1,2} = \pi \times 1,2^2 \times 2,5 = 3,6\pi \approx 11,30$, soit environ 11,3~m$^3$.
\item 
	\begin{enumerate}
	\item %Montrer que l'expression, en fonction de $x$, du volume du réservoir $R_1$ est : $7,5x$.
$V_{R_1} = 3 \times 2,5 \times x = 7,5x$.
	\item %Montrer que l'expression, en fonction de $x$, du volume du réservoir $R_2$ est : $2,5\pi x^2$.
$V_{R_2} = \pi \times  x^2 \times 2,5 =  2,5\pi x^2$.
	\end{enumerate}
\item %On considère la fonction $ f_1~:~x \longmapsto 7,5x$. Préciser la nature de cette fonction.
La fonction $f_1$ est une fonction linéaire.
\item %Pour les valeurs de $x$ comprises entre $0,5$ et $1,5$, la fonction  $ f_2~:~x \longmapsto 2,5\pi x^2$	est déjà  représentée sur le graphique fourni en annexe.

%Sur ce même graphique, représenter la fonction $f_1$.
Voir à la fin.
\item %Répondre aux questions suivantes à  l'aide du graphique.

%\emph{On répondra par des valeurs approchées et on fera apparaître les traits de construction permettant la lecture sur le graphique.}

	\begin{enumerate}
		\item %Quel est la valeur du réservoir $R_2$ pour $x = 0,8$~m ?
On lit à peu près 5~m$^3$.
		\item %Quel est le rayon du réservoir $R_2$ pour qu'il ait une contenance de $10~\text{m}^3$ ?
		On lit à peu près $x \approx 1,13$.
		\item %Quel est l'antécédent de $9$ par la fonction $f_1$ ? Interpréter concrètement ce nombre.
		9 est l'image du nombre $x$ tel que $7,5x = 9$ soit $x = \dfrac{9}{7,5} = 1,2$. C'est ce que l'on avait trouvé dans le tableau, soit le volume du pavé lorsque $x = 1,2$.
		\item %Pour quelle valeur de $x$ les volumes des deux réservoirs sont-ils égaux ?
On voit que les volumes sont égaux pour $x \approx 0,95$.
		\item %Pour quelles valeurs de $x$ le volume de $R_1$ est-il supérieur à  celui de $R_2$ ?
		On voit que le volume du pavé est supérieur à celui du cylindre lorsque $0,5\leqslant x < 0,95$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ATTENTION :  CETTE FEUILLE EST �� RENDRE AVEC LA COPIE}
\end{center}

Problème-Question 1

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|m{3.75cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\multicolumn{2}{|l|}{Longueur $x$ (en $m$)} &  $0,5$ & $1,2$ \\ \hline
\multicolumn{2}{|l|}{Volume du réservoir $R_1$ (en m$^3$)} &3,75 &9 \\ \hline
Volume du réservoir  & Valeur exacte &$0,625\pi$ &$3,6\pi$ \\ \cline{2-4}
$R_2$ (en m$^3$) & Valeur arrondie à  $0,1~m^3$ &2 &11,3 \\ \hline
\end{tabularx}


\vspace{2cm}

\psset{xunit=7cm,yunit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-0.1,-1)(1.6,18)
\multido{\n=0.0+0.1}{17}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,18)}
\multido{\n=0+1}{19}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(1.6,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1.6,18)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1.6,18)
\uput[dl](0,0){O}
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