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\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\providecommand{\degres}{\textdegree}
\providecommand{\up}[1]{\textsuperscript{#1}}

% -------- PARAMÈTRES --------
\newcommand{\titre}{Diplôme national du brevet}
\newcommand{\soustitre}{Brevet des collèges — Amérique du Sud, novembre 2013}
\newcommand{\monurl}{https://site2wouf.fr/brevet-maths/dnb-ameri-sud-nov-2013}
\newcommand{\codefiche}{DNBAMSN13}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
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\setlength{\headsep}{10pt}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\headrule}{}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.65\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre\par}
    {\normalsize\bfseries CORRIGÉ DE L'ÉPREUVE}
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.18\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.7cm]{\monurl}\\[3pt]{\footnotesize\bfseries\ttfamily\color{red}\codefiche}
\end{minipage}%
}\\[4mm]%
}

\newcommand{\exercice}[2]{%
  \bigskip\noindent
  {\large\textbf{Exercice #1 \hfill #2 points}}\par\medskip
}
\newcommand{\conclusion}[1]{\par\smallskip\textbf{Conclusion :} #1}


% ════════════════════════════════════════════════════════════════════
%  Figures — Brevet Amérique du Sud, novembre 2013
% ════════════════════════════════════════════════════════════════════

% ── Exercice 2 : les deux champs ──────────────────────────────────
% Quadrilatère ABCD partagé par la diagonale [AC] en deux triangles :
% ABC (le champ de Jean-Michel) et ADC (celui du voisin).
\newcommand{\figchamps}{%
\begin{tikzpicture}[scale=0.80,line join=round]
  \coordinate (A) at (0,1.75);
  \coordinate (B) at (2.05,2.5);
  \coordinate (C) at (2.5,0);
  \coordinate (D) at (0.2,0);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
  \draw[thick] (A) -- (C);
  \node[left=2pt]  at (A) {\footnotesize A};
  \node[above]     at (B) {\footnotesize B};
  \node[right=2pt] at (C) {\footnotesize C};
  \node[below]     at (D) {\footnotesize D};
\end{tikzpicture}}

% ── Exercice 5 : les dix étiquettes ───────────────────────────────
\newcommand{\etiq}[1]{%
  \fbox{\begin{minipage}{0.40\linewidth}\centering\footnotesize #1\end{minipage}}}
\newcommand{\etiqcourt}[1]{%
  \fbox{\begin{minipage}{0.34\linewidth}\centering\footnotesize #1\end{minipage}}}

% ── Exercice 6 : le rectangle ABCD ────────────────────────────────
\newcommand{\figrectangle}{%
\begin{tikzpicture}[scale=0.80,line join=round]
  \draw[thick] (0,0) rectangle (3.4,1.9);
  \node[above left=-2pt]  at (0,1.9)   {\footnotesize A};
  \node[above right=-2pt] at (3.4,1.9) {\footnotesize B};
  \node[below right=-2pt] at (3.4,0)   {\footnotesize C};
  \node[below left=-2pt]  at (0,0)     {\footnotesize D};
\end{tikzpicture}}

% ── Exercice 6, question 3 : l'aire en fonction de x ──────────────
% Aire = x(15,5 - x) : parabole de sommet (7,75 ; 60,0625).
\newcommand{\graphaire}{%
\begin{tikzpicture}[scale=1,>=stealth]
  \def\ux{0.72} \def\uy{0.062}
  \draw[->,thick] (-0.35,0) -- (16.6*\ux,0);
  \draw[->,thick] (0,-3*\uy) -- (0,68*\uy);
  \foreach \x in {0,1,...,15}{
    \draw[thick] (\x*\ux,-1.2*\uy) -- (\x*\ux,1.2*\uy);
    \node[below=2pt,scale=0.9] at (\x*\ux,-1.4*\uy) {\footnotesize \x};}
  \foreach \y in {0,10,...,60}{
    \draw[thick] (-0.06,\y*\uy) -- (0.06,\y*\uy);
    \node[left=2pt,scale=0.9] at (-0.08,\y*\uy) {\footnotesize \y};}
  \draw[blue,very thick,samples=160,domain=0:15.5]
    plot ({\x*\ux},{(\x*(15.5-\x))*\uy});
  \node[anchor=north] at (11.5*\ux,-0.42) {\footnotesize Valeur de $x$};
  \node[rotate=90,anchor=south] at (-0.72,32*\uy) {\footnotesize Aire de ABCD};
\end{tikzpicture}}


\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{1}{6}

\begin{enumerate}
  \item Diminuer de 22 \%, c'est multiplier par $1-\dfrac{22}{100}=0{,}78$ :
  \[
  \np{2764}\times0{,}78=\np{2155}{,}92 .
  \]
  Le salaire net moyen était donc bien de \np{2155}{,}92 \euro{} par mois.

  \item Le salaire médian brut partage la population en deux parties de même effectif : la
  moitié des Français gagnent \emph{plus} que \np{1610} \euro{} par mois, l'autre moitié
  gagnent \emph{moins}.

  \conclusion{ce n'est pas une valeur « typique » au sens de la moyenne, mais la valeur qui
  coupe la population en deux.}

  \item On compare les deux indicateurs :
  \[
  \np{2764}-\np{1610}=\np{1154} .
  \]
  Le salaire moyen brut dépasse le salaire médian brut de \np{1154} \euro{} par mois, soit
  près de 72 \% de plus.

  \conclusion{la moyenne est \emph{tirée vers le haut} par les salaires très élevés : une
  minorité de rémunérations importantes suffit à l'augmenter. La médiane, elle, ne dépend pas
  de la valeur des salaires extrêmes, seulement de leur rang. Plus de la moitié des Français
  gagnent donc moins que le salaire moyen.}

  \item On rapporte les 8,6 millions de personnes sous le seuil de pauvreté aux 65 millions
  d'habitants :
  \[
  \frac{8{,}6}{65}\approx0{,}1323=13{,}23\ \% .
  \]
  \conclusion{environ $\boxed{13\ \%}$ des Français vivaient sous le seuil de pauvreté en 2010.}
\end{enumerate}

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{2}{4}

\begin{enumerate}
  \item ~
  \begin{enumerate}
    \item Le périmètre du triangle ABC est la somme de ses trois côtés :
    \[
    \mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{CA}=154,\qquad
    \mathrm{AB}+56+65=154,\qquad
    \mathrm{AB}=154-121=33 .
    \]
    De même pour le triangle ADC :
    \[
    \mathrm{AD}+\mathrm{DC}+\mathrm{CA}=144,\qquad
    16+\mathrm{DC}+65=144,\qquad
    \mathrm{DC}=144-81=63 .
    \]
    On a bien AB $=33$ m et DC $=63$ m.

    \item Le périmètre du quadrilatère ABCD est la somme de ses quatre côtés — la diagonale
    [AC] n'en fait pas partie :
    \[
    33+56+63+16=168 .
    \]
    \conclusion{le périmètre du champ ABCD est de $\boxed{168\ \text{m}}$.}
  \end{enumerate}

  \item Dans le triangle ADC, le plus grand côté est [AC]. On calcule séparément :
  \[
  \mathrm{AC}^{2}=65^{2}=\np{4225} ,
  \]
  \[
  \mathrm{AD}^{2}+\mathrm{DC}^{2}=16^{2}+63^{2}=256+\np{3969}=\np{4225} .
  \]
  Ces deux résultats sont égaux.

  \conclusion{d'après la réciproque du théorème de Pythagore, \boxed{\text{ADC est rectangle en
  D}}.}

  \item L'aire du champ ABCD est la somme des aires des deux triangles, qui sont tous deux
  rectangles : leurs côtés de l'angle droit servent de base et de hauteur.
  \[
  \mathcal{A}_{\mathrm{ABC}}=\frac{\mathrm{AB}\times\mathrm{BC}}{2}=\frac{33\times56}{2}=924 ,
  \]
  \[
  \mathcal{A}_{\mathrm{ADC}}=\frac{\mathrm{AD}\times\mathrm{DC}}{2}=\frac{16\times63}{2}=504 ,
  \]
  \[
  \mathcal{A}_{\mathrm{ABCD}}=924+504=\np{1428} .
  \]
  \conclusion{l'aire du champ ABCD est de $\boxed{\np{1428}\ \text{m}^{2}}$.}

  \item Le grillage suit le pourtour du champ, soit 168 m à 0,85 \euro{} le mètre :
  \[
  168\times0{,}85=142{,}80 .
  \]
  \conclusion{Jean-Michel paiera $\boxed{142{,}80\ \text{\euro}}$.}
\end{enumerate}

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{3}{7}

\begin{enumerate}
  \item ~
  \begin{enumerate}
    \item Deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur seul diviseur commun est 1. Or 840
    et \np{1176} se terminent tous deux par un chiffre pair : ils sont donc tous les deux
    divisibles par 2.

    \conclusion{2 est un diviseur commun autre que 1 :}
    \[\boxed{\text{840 et 1176 ne sont pas premiers entre eux}}\]

    \item Faire 21 lots identiques suppose que 21 divise à la fois 840 et \np{1176} :
    \[
    840\div21=40
    \qquad\text{et}\qquad
    \np{1176}\div21=56 .
    \]
    Les deux divisions tombent juste.

    \conclusion{oui, il peut faire 21 lots, contenant chacun $\boxed{40}$ financiers et
    $\boxed{56}$ macarons.}

    \item Le nombre maximum de lots est le \textbf{PGCD} de 840 et \np{1176}. On décompose :
    \[
    840=2^{3}\times3\times5\times7
    \qquad\text{et}\qquad
    \np{1176}=2^{3}\times3\times7^{2} .
    \]
    En gardant les facteurs communs affectés de leur plus petit exposant :
    \[
    \mathrm{PGCD}(840\,;\np{1176})=2^{3}\times3\times7=168 .
    \]
    On répartit alors toutes les pâtisseries :
    \[
    840\div168=5
    \qquad\text{et}\qquad
    \np{1176}\div168=7 .
    \]
    \conclusion{il peut faire au maximum $\boxed{168\ \text{lots}}$, composés chacun de
    $\boxed{5}$ financiers et $\boxed{7}$ macarons.}
  \end{enumerate}

  \item Notons $f$ le prix d'un financier et $m$ celui d'un macaron, en euros. Les deux ventes
  se traduisent par le système :
  \[
  \left\{
  \begin{array}{l}
  5f+7m=22{,}40\\
  8f+14m=42
  \end{array}
  \right.
  \]
  On multiplie la première ligne par 2 pour faire apparaître $14m$ dans les deux :
  \[
  \left\{
  \begin{array}{l}
  10f+14m=44{,}80\\
  8f+14m=42
  \end{array}
  \right.
  \]
  En soustrayant la seconde de la première, les macarons disparaissent :
  \[
  2f=2{,}80,\qquad f=1{,}40 .
  \]
  On reporte dans la première équation de départ :
  \[
  5\times1{,}40+7m=22{,}40,\qquad 7+7m=22{,}40,\qquad 7m=15{,}40,\qquad m=2{,}20 .
  \]
  \conclusion{un financier coûte $\boxed{1{,}40\ \text{\euro}}$ et un macaron
  $\boxed{2{,}20\ \text{\euro}}$.}

  \smallskip
  Vérification sur les lots de l'an dernier :
  $8\times1{,}40+14\times2{,}20=11{,}20+30{,}80=42$ \euro.
\end{enumerate}

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{4}{3}

On calcule d'abord le volume d'eau que le fleuve débite en une année. Une année compte :
\[
365\times24\times3\,600=\np{31536000}\ \text{secondes}.
\]
À raison de \np{190000} m$^{3}$ par seconde :
\[
V=\np{190000}\times\np{31536000}\approx6\times10^{12}\ \text{m}^{3} .
\]
Comme $1$ m$^{3}=\np{1000}$ L, cela représente environ $6\times10^{15}$ litres.

\medskip
On calcule ensuite ce que consomme un foyer en un an :
\[
\np{10000}\times12=\np{120000}\ \text{L},\qquad\text{soit } 1{,}2\times10^{5}\ \text{L}.
\]
Il reste à diviser :
\[
\frac{6\times10^{15}}{1{,}2\times10^{5}}=5\times10^{10} .
\]
\conclusion{l'Amazone pourrait alimenter de l'ordre de $\boxed{5\times10^{10}}$ foyers, soit
environ 50 milliards de foyers — bien plus que ce que compte la planète entière.}

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{5}{7}

\begin{enumerate}
  \item Les dix étiquettes étant identiques au toucher, tous les tirages sont équiprobables.
  \begin{enumerate}
    \item Une seule étiquette porte «~Diagonales égales~» :
    $p=\boxed{\dfrac{1}{10}}$.

    \item Trois étiquettes contiennent le mot «~diagonales~» : «~Diagonales égales~»,
    «~Diagonales qui se coupent en leur milieu~» et «~Diagonales perpendiculaires~».
    \[
    p=\frac{3}{10} .
    \]

    \item En parcourant les dix étiquettes, aucune ne contient à la fois le mot «~côtés~» et le
    mot «~diagonales~» : les cinq premières parlent d'angles ou de côtés, les trois dernières
    de diagonales seulement.

    \conclusion{c'est un événement impossible : $p=\boxed{0}$.}
  \end{enumerate}

  \item ~
  \begin{enumerate}
    \item Avoir des diagonales à la fois perpendiculaires et de même longueur ne suffit pas à
    faire un carré : il faudrait de plus qu'elles se coupent en leur milieu.

    \smallskip
    Contre-exemple : plaçons deux diagonales de 6 cm, perpendiculaires, mais dont une seule est
    coupée en son milieu — par exemple les points $A(0\,;3)$, $B(2\,;0)$, $C(0\,;-3)$ et
    $D(-4\,;0)$. Les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ mesurent toutes deux 6, et elles sont
    perpendiculaires. Pourtant ABCD n'est pas un carré : ses côtés n'ont pas tous la même
    longueur.

    \conclusion{c'est \boxed{\text{Madjid}} qui a raison d'avoir des doutes : la figure n'est
    pas toujours un carré.}

    \item «~Côtés opposés parallèles~» caractérise un parallélogramme ; «~Quatre côtés égaux~»
    ajoute que tous les côtés ont la même longueur.

    \conclusion{Julie est sûre d'obtenir un \boxed{\text{losange}}. Ce ne sera pas forcément un
    carré : rien n'impose que les angles soient droits.}
  \end{enumerate}

  \item «~Quatre angles droits~» impose un rectangle. Or dans un rectangle, les côtés opposés
  sont toujours égaux \emph{deux à deux} : il y a donc deux paires de côtés égaux, et non
  «~deux côtés égaux seulement~».

  \conclusion{les deux propriétés sont \boxed{\text{incompatibles}} : aucun quadrilatère ne les
  vérifie à la fois, et Lionel ne peut dessiner aucune figure.}
\end{enumerate}

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{6}{9}

\begin{enumerate}
  \item ~
  \begin{enumerate}
    \item Le périmètre d'un rectangle vaut $2\times(\text{longueur}+\text{largeur})$. Ici :
    \[
    2\times(\text{L}+\ell)=31,\qquad \text{L}+\ell=15{,}5 .
    \]
    Si la longueur vaut 10 cm, la largeur vaut $15{,}5-10=\boxed{5{,}5\ \text{cm}}$.

    \item Par exemple, avec une longueur de 12 cm, la largeur vaut $15{,}5-12=3{,}5$ cm.

    \item La somme de la longueur et de la largeur vaut toujours 15,5 cm, donc :
    \[
    \boxed{\mathrm{BC}=15{,}5-x} .
    \]

    \item L'aire d'un rectangle est le produit de ses deux dimensions :
    \[
    \boxed{\mathcal{A}(x)=x\,(15{,}5-x)} .
    \]
  \end{enumerate}

  \item ~
  \begin{enumerate}
    \item $f(4)=4\times(15{,}5-4)=4\times11{,}5=\boxed{46}$.

    \item On calcule l'image de 5 :
    \[
    f(5)=5\times(15{,}5-5)=5\times10{,}5=52{,}5 .
    \]
    L'image de 5 étant 52,5, le nombre 5 est bien un antécédent de 52,5.
  \end{enumerate}

  \item Lectures graphiques.
  \begin{enumerate}
    \item On lit l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse 3 :

    \conclusion{l'aire vaut environ $\boxed{37{,}5\ \text{cm}^{2}}$. Le calcul le confirme :
    $3\times12{,}5=37{,}5$.}

    \item On trace la droite horizontale d'ordonnée 40 : elle coupe la courbe en deux points.

    \conclusion{on obtient une aire de 40 cm$^{2}$ pour $x\approx\boxed{3{,}3}$ et pour
    $x\approx\boxed{12{,}2}$.}

    \item Le maximum de la courbe est atteint en son sommet.

    \conclusion{l'aire maximale vaut environ $\boxed{60\ \text{cm}^{2}}$, obtenue pour
    $x\approx\boxed{7{,}75\ \text{cm}}$.}
  \end{enumerate}

  \item Si AB $=7{,}75$ cm, alors :
  \[
  \mathrm{BC}=15{,}5-7{,}75=7{,}75\ \text{cm} .
  \]
  Les deux dimensions sont égales.

  \conclusion{le rectangle ABCD est alors un \boxed{\text{carré}}. C'est précisément le cas où
  son aire est maximale, ce qui confirme la lecture de la question 3.c.}
\end{enumerate}

\end{document}
