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% -------- PARAMÈTRES --------
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\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
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    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
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        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
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% -- Commandes personnalisées APMEP --
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
{\Large\bfseries Diplôme national du brevet\\[4pt]
Brevet des collèges — Amérique du Sud, novembre 2014}
\end{center}

\vspace{3mm}

\begin{center}
\colorbox{gray!15}{\parbox{0.85\textwidth}{\centering\Large\bfseries CORRIGÉ DE L'ÉPREUVE}}
\end{center}

\bigskip
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

%\emph{Pour chacune des questions suivantes, plusieurs propositions de réponse sont faites. Une seule des propositions est exacte. Aucune justification n'est attendue.\\ 
%Une bonne réponse rapporte $1$ ou $2$ points. Une mauvaise réponse ou une absence de réponse rapporte $0$ point. \\
%\medskip
%Reporter sur votre copie le numéro de la question et donner la bonne réponse.} 
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Une école de musique organise un concert de fin d'année. Lors de cette manifestation la recette s'élève à \np{1300}~\euro. 

%Dans le public il y a $100$ adultes et $50$ enfants. Le tarif enfant coûte 4~\euro{} de moins que le tarif adulte. 

%Le tarif enfant est : 
%
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X}
%\textbf{a.~~}10~\euro&\textbf{b.~~}8~\euro&\textbf{c.~~}6~\euro
%\end{tabularx}
%\medskip
Si $t$ est le tarif enfant, la tarif adulte est $t + 4$.

La recette est donc :

$50t + 100 (t + 4) = \np{1300}$ soit $150t + 400 = \np{1300}$ ou encore $150t = 900$, donc $t = 6$~\euro. Réponse \textbf{c.}
\item %On considère la figure ci-dessous où AEFD est un rectangle avec AB $= \sqrt{15}  - 1$ et BE $= 2$.

%\begin{center} 
%\psset{unit=0.75cm}
%\begin{pspicture}(5,4.5)
%\def\iso{\psline(0,-0.1)(0,0.1) \psline(0.1,-0.1)(0.1,0.1)}
%\psframe(0.5,0.5)(5.64,4.14)
%\psline(3.64,0.5)(3.64,4.14)
%\uput[ul](0.5,4.14){A} \uput[u](3.64,4.14){B}  
%\uput[ur](5.64,4.14){E} \uput[dl](0.5,0.5){D} 
%\uput[d](3.64,0.5){C}  \uput[dr](5.64,0.5){F}
%\rput(2.07,0.5){\iso}\rput(2.07,4.14){\iso}
%\rput{-90}(0.5,2.37){\iso} \rput{-90}(3.64,2.37){\iso} 
%\end{pspicture}
%\end{center}
 
%L'aire du rectangle AEFD est: 
%
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X}
%\textbf{a.~~}$2\sqrt{15} - 2$&\textbf{b.~~}29&\textbf{c.~~}14
%\end{tabularx}
%\medskip
La figure se décompose en un carré de côté $\sqrt{15}  - 1$ et un rectangle de côtés $\sqrt{15}  - 1$ et $2$. L'aire est donc égale à :

$\left(\sqrt{15}  - 1\right)^2 + 2\left(\sqrt{15}  - 1\right) =  \left(\sqrt{15}  - 1\right)\left(\sqrt{15}  - 1 + 2\right) = \left(\sqrt{15}  - 1\right)\left(\sqrt{15}  + 1\right) =$

$ 15 - 1 = 14$. Réponse \textbf{c.}
\item %Le 27 janvier 2012, peu avant 16~h, un séisme de magnitude 5,4 s'est produit dans la province de Parme dans le nord de l'Italie. La secousse a été ressentie fortement à Gênes, Milan, Turin mais également dans une moindre mesure à Cannes dans les Alpes Maritimes. 

%Les ondes sismiques ont mis 59~secondes pour parvenir à Cannes, située à 320~km de l'épicentre. 

%On rappelle que la relation qui relie le temps $t$, la distance $d$ et la vitesse $v$ est : $v = \dfrac{d}{t}$. 
%
%La vitesse de propagation des ondes sismiques, exprimée en kilomètres par seconde, arrondie au dixième, est : 
%
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X}
%\textbf{a.~~}5,4 km/s&\textbf{b.~~}10,8 km/s &\textbf{c.~~}59,3 km/s
%\end{tabularx}
%\medskip
On a $v = \dfrac{320}{59} \approx 5,42$ soit au dixième près 5,4~km/s. Réponse \textbf{a.}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip

%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(6,4)
%%\psgrid
%\psline(0.5,1.5)(3.8,0.5)(5.7,1.7)(5.7,2.9)(3.8,1.7)(3.8,0.5)%EFGCBF
%\psline(3.8,1.7)(0.5,2.7)(0.5,1.5)%BAE
%\psline(0.5,2.7)(2.4,3.9)(5.7,2.9)%ADC
%\psline(2.8,0.8)(3.8,1.7)(4.4,0.88)%NBM
%\psline[linestyle=dashed](2.8,0.8)(4.4,0.88)
%\psline[linestyle=dashed](2.4,3.9)(2.4,2.7)(0.5,1.5)%DHE
%\psline[linestyle=dashed](2.4,2.7)(5.7,1.7)%HG
%\uput[ul](0.5,2.7){A} \uput[u](3.8,1.7){B} \uput[ur](5.7,2.9){C}
%\uput[u](2.4,3.9){D} \uput[dl](0.5,1.5){E} \uput[d](3.8,0.5){F}
%\uput[dr](5.7,1.7){G} \uput[ur](2.4,2.7){H} \uput[dr](4.4,0.88){M}
%\uput[dl](2.8,0.8){N}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%    
%On considère le parallélépipède rectangle ABCDEFGH. 
%
%M est un point de [FG] et N un point de [EF]. 
%
%On donne : FE = 15~cm ; FG = 10~cm ; FB = 5~cm ; FN = 4~cm ; FM = 3~cm. 
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Démontrer que l'aire du triangle FNM est égal à 6~cm$^2$.
On est dans un parallélépipède rectangle, donc [FN] et [FM] sont perpendiculaires. L'aire du triangle rectangle FMN est donc égale à : 

$\dfrac{\text{FN} \times \text{FM}}{2}  = \dfrac{4 \times 3}{2} = 6$~cm$^2$.
\item %Calculer le volume de la pyramide de sommet B et de base le triangle FNM.
Le volume  du prisme de base FMN et de hauteur [BF] est égale à 

$\dfrac{1}{3} \times \mathcal{A}(\text{FMN}) \times \text{BF}] = \dfrac{6 \times 5}{3} = 10$~cm$^3$.  

%On rappelle que le volume d'une pyramide: $V = \dfrac{(B \times h)}{3}$ où $B$ est l'aire de la base et $h$ la hauteur de la pyramide. 
\item %On considère le solide ABCDENMGH obtenu en enlevant la pyramide précédente au parallélépipède rectangle. 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer son volume.
Le volume du parallélépipède ABCDEFGH est égal à $15 \times 10 \times 5 = 750$~cm$^3$.

Donc le volume du solide ABCDENMGH est égal à $750 - 10 = 740$~cm$^3$. 
		\item %On appelle caractéristique d'Euler d'un solide le nombre $x$ tel que: 

%\[x =  \text{nombre de faces} - \text{nombre d'arêtes}  + \text{nombre de sommets}\] 

%Recopier et compléter le tableau suivant: 
	\end{enumerate}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
  					&Parallélépipède ABCDEFGH	&   Solide ABCDENMGH\\ \hline   
Nombre de faces		&6							&7\\ \hline       
Nombre d'arêtes		&12							&14\\ \hline        
Nombre de sommets	&8							&9\\ \hline        
Caractéristique $x$	&2							&2\\ \hline 
\end{tabularx}
\medskip      
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip 

%Le document ci-dessous indique les tarifs postaux pour un envoi depuis la France métropolitaine d'une lettre ou d'un paquet en mode \og lettre prioritaire \fg. 
%
%Ces tarifs sont fonction du poids de la lettre.
%
%\begin{center} 
%
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(10,2)
%\psframe(10,2)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](4,2)
%\rput(2,1){LETTRE PRIORITAIRE}\rput(7,1){service urgent d’envoi de courrier}
%\end{pspicture} 
%\end{center}
%
%\setlength\parindent{6mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] \textbf{Pour les envois vers :} La France, Monaco, Andorre et secteurs postaux (armée). Complément d’affranchissement aérien vers l'Outre-mer pour les envois de plus de 20~g 
%\item[$\bullet~~$] \textbf{Service universel:} Jusqu'à 2~kg 
%\item[$\bullet~~$] \textbf{Délai:} J + 1,  indicatif 
%\item[$\bullet~~$] \textbf{Dimensions:} Minimales : $14 \times 9$ cm, maximales : L + l + H = 100 cm, avec L $< 60$ cm 
%\item[$\bullet~~$] \textbf{Complément aérien :} 
%		\begin{itemize}
%			\item Vers zone OM1 : Guyane, Guadeloupe, Martinique, La Réunion, St Pierre et Miquelon, St-Barthélémy, St-Martin et Mayotte : 0,05~\euro{} par tranche de 10~g. 
%			\item Vers zone OM2 : Nouvelle-Calédonie, Polynésie française, Wallis-et~Futuna, TAAF. : 0,11~\euro{} par tranche de 10~g
%		\end{itemize}
%		 \item[$\bullet~~$] \textbf{Exemple de complément :} Pour un envoi de 32~g vers la Guadeloupe : 1,10\euro{} + $4 \times 0,05$\euro{} = 1,3\euro. 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|l *{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%\multicolumn{2}{|c|}{POIDS JUSQU'À}&TARIFS NETS\\ \hline
%20~g	&     	&0,66\euro \\ \hline  
%50~g	&     	&1,10\euro \\ \hline   
%100~g	&     	&1,65\euro \\ \hline   
%250~g	&     	&2,65\euro \\ \hline   
%500~g	&     	&3,55\euro \\ \hline   
%1~kg	&     	&4,65\euro \\ \hline   
%2~kg	&     	&6,00\euro \\ \hline   
%3~kg	&   	&7,00O\euro \\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}   

\begin{enumerate}
\item %Expliquer pourquoi le coût d'un envoi vers la France Métropolitaine, en \og lettre prioritaire \fg, d'une lettre de 75~g est de 1,65\euro.
De 51 à 100 g le montant de l'affranchissement est égal à 1,65~\euro. 
\item %Montrer que le coût d'un envoi à Mayotte, en \og lettre prioritaire \fg, d'une lettre de 109~g est de 3,20~\euro.
Pour Mayotte le montant est de 2,65~\euro{} plus un complément aérien de 

$11 \times 0,05 = 0,55$~\euro{} soit au total 3,20~\euro. 

%\textbf{Dans cette question ci-dessous, il sera tenu compte de toute trace de réponse même incomplète dans l'évaluation.}
 
\item %Au moment de poster son courrier à destination de Wallis-et-Futuna, Loïc s'aperçoit qu'il a oublié sa carte de crédit et qu'il ne lui reste que 6,76~\euro{} dans son porte-monnaie. 

%Il avait l'intention d'envoyer un paquet de 272 g, en \og lettre prioritaire \fg. 

%Peut-il payer le montant correspondant ?
Le montant initial est 3,55~\euro{} auquel il faut ajouter le complément aérien de $28 \times 0,11 = 3,08$~\euro{} soit au total  6,63~\euro. Il peut payer l'envoi.
\item %Le paquet a les dimensions suivantes : L = 55~cm l = 30~cm et h = 20~cm. Le guichetier de l'agence postale le refuse. Pourquoi ? 
On a L + l + H $= 105 > 100$ : la somme des dimensions dépasse 100 cm ; le paquet est refusé.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\medskip 

%Le principe d'un vaccin est d'inoculer (introduire dans l'organisme) à une personne saine, en très faible quantité, une bactérie, ce qui permet à l'organisme de fabriquer des anticorps. Ces anticorps permettront de combattre la maladie par la suite si la personne souffre de cette maladie. 
%
%Lors de la visite médicale de Pablo le jeudi 16 octobre, le médecin s'aperçoit qu'il n'est pas à jour de ses vaccinations contre le tétanos. Il  réalise alors une première injection d'anatoxine tétanique et lui indique qu'un rappel sera nécessaire. 
%
%On réalise des prises de sang quotidiennes pour suivre la réaction de l'organisme aux injections. 
%
%\newpage
%\begin{center}
%Évolution du taux d'anticorps en fonction du temps lors de deux injections anatoxine tétanique* 
%
%\psset{xunit=0.25cm,yunit=0.01cm}
%\begin{pspicture}(-5,-100)(42,1000)
%\multido{\n=0+1}{43}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,0)(\n,1000)}
%\multido{\n=0+50}{21}{\psline[linewidth=0.3pt](0,\n)(42,\n)}
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=100](0,0)(42,1000)
%\pscurve[linewidth=1.5pt,linecolor=blue](0,0)(1.5,0)(3,40)(4,70)(5,90)(6,70)(7,41)(10,9)(13,0)(24,0)(29,0)(30,6)(31,100)(32,300)(33,650)(33.7,800)(34.5,850)(35.5,810)(36,790)(37,770)(41,725)
%\uput[d](21,-50){temps (jours)}
%\rput{90}(-4,450){taux d'anticorps (unité arbitraire)}
%\end{pspicture}
%\end{center}  
%
%*anatoxine tétanique (AT) : substance inactivée provenant de la bactérie responsable du tétanos et servant à la fabrication du vaccin.
%
%\medskip 

\begin{enumerate}
\item %Combien de jours faut-il attendre, après la première injection, pour constater une présence d'anticorps ?
Il y a réaction à partir du 2\up{e} jour. 
\item %Quelle est la valeur maximale du taux d'anticorps atteinte après la première injection ? 
Le maximum atteint est 90 à peu près.
%A quel jour de la semaine correspond cette valeur ? 

Ce maximum est atteint le 5\up{e} jour.
\item %Au bout de combien de jours approximativement, après la première injection, Pablo n'a t-il plus d'anticorps dans son organisme ?
Au bout de 12 jours. 
\item %Durant combien de jours environ le taux d'anticorps est supérieur à 800 ?
Le taux d'anticorps est supérieur à 800 pendant à peu près deux jours. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 7 points}

\medskip 

%L'oncle de Pauline participe régulièrement à une régate* organisée tous les ans sur le même plan d'eau. 
%
%* régate : course de voiliers
%
%\medskip 
%
%En 2012, il a réalisé le parcours constitué de deux boucles courtes et de trois boucles longues en 8 heures et 40~minutes. 
%
%Lors de sa participation en 2013, il lui a fallu 8 heures et 25~minutes pour achever le parcours constitué, cette année-là, de trois boucles courtes et de deux boucles longues. 
%
%Il se souvient qu'il n'a parcouru aucune boucle en moins de 75~minutes. Il sait aussi qu'il lui a fallu, pour parcourir la boucle longue, 15~minutes de plus que pour la boucle courte. 
%
%Cependant il souhaite connaître la durée nécessaire pour parcourir sur son voilier la boucle courte et la boucle longue.
%
%\medskip 

\begin{enumerate}
\item %Convertir en minutes les temps réalisés pour ces parcours de 2012 et 2013.
En 2012 il a mis $480 + 40 = 520$~min.

En 2013 il a mis $480 + 25 = 505$~min 
\item %Pauline a décidé, en utilisant un tableur, d'aider son oncle à déterminer les durées pour la boucle courte ainsi que pour la boucle longue. 

%Une copie de l'écran obtenu est donnée ci-dessous. 
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
% &A 	&B	& C &D	&E	& F	& G\\ \hline 
%1& $x$	&75	&80	&85	&90	&95	&100\\ \hline 
%2&$f(x)$&	&	&	&	&	& \\ \hline
%3&$f(x)$&	&	&	&	&	& \\ \hline
%4&$f(x)$&	&	&	&	&	& \\ \hline
%5&		&	&	&	&	&& \\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
 
%Elle a noté $x$ la durée en minutes pour la boucle courte. 
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle formule permettant d'obtenir la durée en minutes nécessaire au parcours de la boucle longue va-t-elle saisir dans la cellule B2 ? 
		=B1+15
		\item %Elle va saisir dans la cellule B3 la formule \og =2*B1+3*B2 \fg. 

%Que permet de calculer cette formule ?
Cette formule permet de calculer en fonction de $x$ le temps mis en 2012. 
		\item %Quelle formule va-t-elle saisir dans la cellule B4 pour calculer le temps de parcours lors de sa participation en 2013 ? 
=3*B1+2*B2
%Elle a ensuite recopié vers la droite les formules saisies en B2,\: B3 et B4 et obtenu l'écran suivant : 
	\end{enumerate}

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
% &A 	&B		& C &D	&E	& F	& G\\ \hline 
%1& $x$	&75		&80	&85	&90	&95	&100\\ \hline 
%2&$f(x)$&90		&95	&100&105&110&115 \\ \hline
%3&$f(x)$&420	&445&470&495&520&545 \\ \hline
%4&$f(x)$&405	&430&455&480&505&530 \\ \hline
%5&		&		&	&	&	&& \\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

\item %Si elle saisit le nombre 105 dans la cellule H1, quelles valeurs obtiendra-t-elle dans les cellules H2, H3 et H4 ?
Avec $x = 105$, on obtient dans H2 $x + 15 = 120$, dans H3 $2x + 3(x + 15) = 525 + 45 = 570$ et dans H4 $3x + 2(x + 15) = 525 + 30 = 555$. 
\item %À l'aide de la copie de l'écran obtenu avec le tableur préciser les durées nécessaires à son oncle pour parcourir la boucle courte ainsi que pour parcourir la boucle longue.
On constate que les valeurs 520 et 505 sont atteintes pour $x = 95$.

Il faut donc 1~h 35~min pour effectuer la boule courte et 1~h 50~min pour effectuer la boucle longue. 
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 6} \hfill 6 points}

\medskip

%Lors d'une activité sportive, il est recommandé de surveiller son rythme cardiaque.
%
%Les médecins calculaient autrefois, la fréquence cardiaque maximale recommandée $f_m$ exprimée en battements par minute, en soustrayant à 220 l'âge $a$ de la personne exprimé en années. 
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Traduire cette dernière phrase par une relation mathématique.
$f_m = 220 - a$. 
\item %Des recherches récentes ont montré que cette relation devait être légèrement modifiée. 

%La nouvelle relation utilisée par les médecins est: 

%\[\text{Fréquence cardiaque maximale recommandée}\: = 208 - (0,75 \times a).\] 

	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la fréquence cardiaque maximale à 60~ans recommandée aujourd'hui par les médecins.
$f_{60} =  208 - (0,75 \times 60) = 208 - 45 = 163$.
		\item %Déterminer l'âge pour lequel la fréquence cardiaque maximale est de 184 battements par minute.
		$f_a = 208 - (0,75 \times a) = 184$ si $208 - 184 = 0,75a$ ou $24 = 0,75a$ d'où finalement $a = 32$. 
		\item %Sarah qui a vingt ans court régulièrement.
		
%Au cours de ses entraînements, elle surveille son rythme cardiaque. 

%Elle a ainsi déterminé sa fréquence cardiaque maximale recommandée et a obtenu 193~battements par minute. Quand elle aura quarante ans, sa fréquence cardiaque maximale sera de 178~battements par minute. 

%Est-il vrai que sur cette durée de vingt ans sa fréquence cardiaque maximale aura diminué d'environ 8\,\% ?
On calcule $\dfrac{193 - 178}{193} \times 100 = \dfrac{15}{193} \times 100 \approx 7,77\,\%$ soit effectivement à peu près 8\,\% à l'unité près.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 7} \hfill 3 points}

\medskip

%\textbf{Il sera tenu compte de toute trace de réponse même incomplète dans l'évaluation} 
%
%\medskip
%
%Joachim doit traverser une rivière avec un groupe d'amis. 
%
%Il souhaite installer une corde afin que les personnes peu rassurées puissent se tenir. 
%
%Il veut connaître la largeur de la rivière à cet endroit (nommé D) pour déterminer si la corde dont il dispose est assez longue. 
%
%Pour cela il a repéré un arbre (nommé A) sur l'autre rive. 
%
%Il parcourt 20~mètres sur la rive rectiligne où il se situe et trouve un nouveau repère : un rocher (nommé R). 
%
%Ensuite il poursuit sur 12 mètres et s'éloigne alors de la rivière, à angle droit, jusqu'à ce que le rocher soit aligné avec l'arbre depuis son point d'observation (nommé B). Il parcourt pour cela 15 mètres. 
%
%Il est alors satisfait: sa corde d'une longueur de 30 mètres est assez longue pour qu'il puisse l'installer entre les points D et A. 
%
%A l'aide de la figure, confirmer sa décision. 
%
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(10,5)
%%\psgrid
%\psline(0,2)(10,2)\psline(0,4.5)(10,4.5)
%\psline(0.5,2)(0.5,4.5)(6,0.25)(6,2)
%\rput(8,3.25){Rivière} 
%\uput[d](2,2){20~m} 
%\uput[u](4.9,2){12~m}
%\uput[r](6,1.25){15~m} 
%\rput(2.5,0.5){\small La figure n'est pas à l'échelle}
%\uput[ul](0.5,4.5){A} \uput[d](0.5,2){D}\uput[u](3.75,2){R}
%\uput[u](6,2){V} \uput[r](6,0.5){B} 
%\end{pspicture}
%\end{center}
Les droites (AD) et (BV) sont toutes les deux perpendiculaires à la droite (DV) : elles sont donc parallèles. Les points B, R, A d'une part, les points V, R, D d'autre part sont alignés dans cet ordre. On peut donc énoncer le théorème de Thalès :

\[\dfrac{\text{RV}}{\text{RD}} = \dfrac{\text{BV}}{\text{AD}} \:\text{ soit }\: \dfrac{12}{20} = \dfrac{15}{\text{AD}}\: \text{ d'où  AD }\: = \dfrac{15 \times 20}{12} = \dfrac{3 \times 5 \times 4 \times 5}{3 \times 4} = 25.\]

Comme $25 < 30$ il pourra effectivement installer sa corde entre les points A et D.

\end{document}
