\documentclass[a4paper,11pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[a4paper,top=3.2cm,bottom=2cm,left=2cm,right=2cm]{geometry}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text,calc,patterns,arrows.meta}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{pifont}
\usepackage{scratch3}
\usepackage[np]{numprint}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{tgheros}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{lscape}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{colortbl}
\usepackage{makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{marvosym}
\usepackage{ifthen}
\usepackage{xspace}
\usepackage{cancel}

\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add,pst-eucl,pst-node,pst-slpe,pst-grad,pst-fun}

\newcommand{\euro}{\texteuro}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\providecommand{\degres}{\textdegree}
\providecommand{\up}[1]{\textsuperscript{#1}}

% -------- PARAMÈTRES --------
\newcommand{\titre}{Brevet des collèges}
\newcommand{\soustitre}{Amérique du Sud -- novembre 2018}
\newcommand{\monurl}{https://site2wouf.fr}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{84pt}
\setlength{\headsep}{10pt}
\renewcommand{\headrule}{{\color{gray!25}\hrule width\headwidth height\headrulewidth}}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.65\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.18\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.7cm]{\monurl}
\end{minipage}%
}\\[4mm]%
}

% -- Commandes personnalisées APMEP --
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\renewcommand{\sfdefault}{phv}% police helvetica pour les blocs scratch.
\newcommand{\textding}[1]{\text{\ding{#1}}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
{\Large\bfseries Diplôme national du brevet\\[4pt]
Brevet des collèges — Amérique du Sud, novembre 2018}
\end{center}

\vspace{3mm}

\begin{center}
\colorbox{gray!15}{\parbox{0.85\textwidth}{\centering\Large\bfseries CORRIGÉ DE L'ÉPREUVE}}
\end{center}

\bigskip
%
%\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 12 points}

\medskip 

%Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule réponse
%est correcte.
%
%Pour chacune des questions, écrire sur la copie, le numéro de la question et la lettre de la bonne
%réponse.
%
%\emph{Aucune justification n'est attendue.}
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{6cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%	&		&Réponse A &Réponse B &Réponse C\\ \hline
%1	&ABC est un triangle rectangle en A.
%
%AC = 3,5 cm et BC = 7 cm. La mesure de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$ est :&30\degres &45\degres&60\degres\\ \hline
%2	&\psset{unit=0.8cm}
%\begin{pspicture}(-2.9,-2.5)(2.9,2.5)
%\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.6](0,0)\uput[dr](0,0){O}
%\psline(-1,1.75)(-2.42,-1)(-1,-1.75)%BAC
%\psline(1,1.75)(2.42,1)(1,-1.75)%FDE
%\psline(-1,1.75)(-1,-1.75)
%\psline(1,1.75)(1,-1.75)
%\psarc(-1,1.75){0.5}{-118}{-90}
%\uput[d](-1.24,1){\small 35\degres}
%\rput{-27}(-2.42,-1){\psframe(0.3,0.3)}
%\uput[l](-2.42,-1){A} \uput[u](-1,1.75){B} \uput[d](-1,-1.75){C} 
%\uput[r](2.42,1){D} \uput[d](1,-1.75){E} \uput[u](1,1.75){F}
%\end{pspicture}
%
%Le triangle DEF est le symétrique du triangle ABC par rapport au point O.
%La mesure de l'angle $\widehat{\text{DEF}}$ est:&35\degres &55\degres& 65\degres\\ \hline
%3	&\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(0,-0.2)(5.8,3.4)
%%\psgrid
%\def\tri{\pspolygon(0,0)(2.5,-0.2)(0.75,1)}
%\rput(0,0.5){\tri}
%\rput(1,0){Figure 1}\rput(3.5,1.2){Figure 2}
%\psset{unit=1.3cm}
%\rput(1.8,1.4){\tri}
%\end{pspicture}
%La transformation utilisée pour obtenir la
%figure 2 à partir de la figure 1 est une :&translation &homothétie &rotation\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
\begin{enumerate}
\item Réponse A : 30\degres (le triangle rectangle est un demi-triangle équilatéral).
\item Réponse A : 35\degres ($\widehat{\text{DEF}}$ et  $\widehat{\text{ABC}}$ sont symétriques autour de O).
\item Réponse B : une homothétie
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 12 points}

\medskip
 
%Avant son déménagement, Hugo décide de se séparer de sa collection de $300$ BD (bandes
%dessinées).
Nombre de BD jetées à la déchèterie : $300 \times \dfrac{15}{100} = 3 \times 15 = 45$.

Il lui reste donc $300 - 45 = 255$~(BD).

Il en vend $255 \times \dfrac{3}{5} = 51 \times 3 = 153$.

Il revient donc avec $255 - 153 = 102$~(BD).

%15\,\% de ces BD sont trop abîmées pour être vendues. Il les dépose à la déchèterie.
%
%À la braderie du village, il vend ensuite trois cinquièmes de ce qu'il lui reste.
%
%Combien rapporte-t-il de BD chez lui à la fin de la braderie ?

\medskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 17 points}

\medskip
 
Voici deux programmes de calcul : 

\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{X| X}
%\multicolumn{1}{c|}{Programme de calcul \ding{192}} &\multicolumn{1}{c}{Programme de calcul \ding{193}}\\
%$\bullet~~$Soustraire 5 &$\bullet~~$ Multiplier par 6\\
%$\bullet~~$ Multiplier par 4 &$\bullet~~$ Soustraire 20\\
%&$\bullet~~$ Soustraire le double du nombre de départ\\
%\end{tabularx}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Quel résultat obtient-on quand on applique le programme de calcul \ding{192} au nombre 3 ?
		On obtient $3 \to - 2 \to - 8$.
		\item %Quel résultat obtient-on quand on applique le programme de calcul \ding{193} au nombre 3 ?
On obtient $3 \to 18 /to ) 2 \to - 8$
	\end{enumerate}
\item %Démontrer qu'en choisissant le nombre $- 2$, les deux programmes donnent le même résultat.
Avec le programme de calcul \ding{192} on obtient $- 2 \to - 7 \to - 28$ ;

Avec le programme de calcul \ding{193} on obtient $- 2 \to - 12 \to - 32 \to - 28$ 
\item %On décide de réaliser davantage d'essais. Pour cela, on utilise un tableur et on obtient la copie d'écran suivante :

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering\arraybackslash}X|}p{1.2cm}|}\hline
%\multicolumn{2}{|c|}{A6}&	&4	&\\ \hline
%&A&B&C&D\\ \hline
%1			&Nombre choisi	&Résultat avec le programme \ding{192}&Résultat avec le programme \ding{193}&\\ \hline
%2			&0				&$- 20$		&$- 20$						&\\ \hline
%3			&1				&$- 16$		&$-16$						&\\ \hline
%4			&2				&$- 12$		&$- 12$						&\\ \hline
%5			&3				&$- 8$		&$- 8$						&\\ \hline
%6			&4				&			&							&\\ \hline
%7			&5				&			&							&\\ \hline
%8			&6				&			&							&\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

%Quelle formule a-t-on pu saisir dans la cellule B2 avant de la recopier vers le bas, jusqu'à la cellule B5 ?
Dans la case B2 : =4*(A2 - 5)
\item %Les résultats affichés dans les colonnes B et C sont égaux. Lucie pense alors que, pour n'importe quel nombre choisi au départ, les deux programmes donnent toujours le même résultat.

%Démontrer que Lucie a raison.
À partir du nombre $x$ le programme \ding{192} donne $4(x - 5)$.

À partir du nombre $x$ le programme \ding{193} donne $6x - 20 - 2x$.

Or $4(x - 5) = 4x - 20$ et $6x - 20 - 2x = 4x - 20$.

Les deux programmes conduisent donc à chaque fois au même résultat.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 18 points}

\medskip
 
%Valentin souhaite acheter un écran de télévision ultra HD (haute définition).
%
%Pour un confort optimal, la taille de l'écran doit être adaptée aux dimensions de son salon.
%
%Voici les caractéristiques du téléviseur que Valentin pense acheter:
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|X m{1.5cm}|}\hline
%Hauteur de l'écran	&60 cm\\
%Format de l'écran	&16/9\\
%Ultra HD			&Oui\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%\textbf{Question :} Valentin a-t-il fait un choix adapté ?
%
%\medskip
%
%Utiliser les informations ci-dessous et les caractéristiques du téléviseur pour répondre.
%
%Toute trace de recherche, même incomplète, pourra être prise en compte dans la notation.
%
%\textbf{Information 1.} 
%
%Distance écran-téléspectateur du salon de Valentin : 3,20~m. 
%
%\medskip
%
%\textbf{Information 2.} Format 16/9
%
%Pour un écran au format 16/9, on a : Largeur $= \dfrac{16}{9} \times $ Hauteur
%
%\medskip
%
%\textbf{Information 3.} Graphique pour aider au choix de la taille de l'écran
La hauteur de l'écran envisagé est de $h = 60$~cm, donc sa largeur est : $l = \frac{16}{9} \times 60 = \dfrac{16}{3} \times 20 = \dfrac{320}{3}$~cm.

D'après le théorème de Pythagore la diagonale $d$ de son écran est telle que :

$d^2 = h^2 + l^2 = 60^2 + \left(\dfrac{320}{3} \right)^2 = \dfrac{\np{134800}}{9} \approx 122,4$~cm.

Sur le graphique ci-dessous on trace donc la droite verticale d'équation $x = 122,4$ et horizontalement la droite d'équation $y = 3,20$ ; ces deux droites sont sécantes en un point de coordonnées (122,4~;~3,2) et ce point est bien dans la région conseillée une distance à l'écran entre 200 et 415 cm).

Valentin peut acheter le téléviseur.
\begin{center}
\psset{xunit=0.06cm,yunit=0.015cm,arrowsize=2pt 4}
\begin{pspicture}(-10,-20)(200,550)
\multido{\n=0+10}{16}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,500)}
\multido{\n=0+50}{4}{\psline[linewidth=1.2pt](\n,0)(\n,500)}
\multido{\n=0+20}{26}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(150,\n)}
\multido{\n=0+100}{6}{\psline[linewidth=1.2pt](0,\n)(150,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=50,Dy=100]{->}(0,0)(0,0)(150,500)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=50,Dy=100](0,0)(0,0)(150,500)
\uput[r](0,520){\small Distance écran-téléspectateur (en cm)}
\uput[r](150,460){\small  Distance maximale}\psline{->}(150,460)(132,460)
\uput[r](150,230){\small Distance minimale}\psline{->}(150,230)(135,230)
\uput[u](140,0){\small Longueur de la diagonale de l'écran (en cm)}
\psline[linewidth=1.25pt](30,100)(140,485)
\psline[linewidth=1.25pt](30,48)(140,240)
\psline[linecolor=green](122.4,0)(122.4,420)
\psline[linecolor=green](0,320)(140,320)
\end{pspicture}
\end{center}
\medskip

\textbf{Exercice 5 \hfill 17 points}

\medskip
 
%Dans tout l'exercice, on étudie les performances réalisées par les athlètes qui ont participé
%aux finales du $100$~m masculin des Jeux Olympiques de 2016 et de 2012.
%
%On donne ci-dessous des informations sur les temps mis par les athlètes pour parcourir
%$100$~m.
%
%\medskip
%
%\textbf{Finale du $100$~m aux Jeux Olympiques de 2016 :}
%
%Temps réalisés par tous les finalistes :
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%10,04 s&9,96 s&9,81 s&9,91 s&10,06 s &9,89 s&9,93 s&9,94 s\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%\textbf{Finale du 100 m aux Jeux Olympiques de 2012 :}
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|r X X r|}\hline
%$\bullet~~~~$& nombre de finalistes&\dotfill&8\\
%$\bullet~~$& temps le plus long&\dotfill&11,99 s\\
%$\bullet~~$& étendue des temps&\dotfill&2,36 s\\
%$\bullet~~$& moyenne des temps&\dotfill&10,01 s\\
%$\bullet~~$&médiane des temps&\dotfill&9,84 s\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Quel est le temps du vainqueur de la finale en 2016 ?
Temps du vainqueur : 9,81~s.
\item %Lors de quelle finale la moyenne des temps pour effectuer $100$~m est-elle la plus petite ?
Moyenne des huit temps en 1016 : $\dfrac{10,04 + 9,96 + \ldots + 9,94}{8} = \dfrac{79,54}{8} = \np{9,9425}$.

Elle est donc inférieure à la vitesse moyenne en 2012.
\item %Lors de quelle finale le meilleur temps a-t-il été réalisé ?
Le meilleur temps en 2012 est le temps le plus long moins l'étendue des temps soit $11,99 - 2,36 = 9,63$~s.

Le meilleur temps a été réalisé en 2012.
\item %L'affirmation suivante est-elle vraie ou fausse ?

%\textbf{Affirmation :} \og Seulement trois athlètes ont mis moins de $10$~s à parcourir les $100$~m de la finale de 2012 \fg.
En 2012, la médiane était de 9,84~s, donc 4 coureurs ont fait un temps inférieur ou égal à 9,84~s donc inférieur à 10~s : l'affirmation est fausse.
\item %C'est lors de la finale de 2012 qu'il y a eu le plus d'athlètes ayant réussi à parcourir le $100$~m en moins de $10$~s.

%Combien d'athlètes ont-ils réalisé un temps inférieur à $10$~s lors de cette finale de 2012 ?
En 2016, 6 athlètes ont couru en moins de 10~s, donc en 2012 il y en a eu au moins 7, mais pas 8 car le plus lent a couru en 11,99~s.

Donc dans la finale de 2012, 7 coureurs ont couru en moins de 10~s.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 6 \hfill 12 points}

\medskip 

%Léna et Youri travaillent sur un programme. Ils ont obtenu le dessin suivant :
%
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(8,1)
%\multido{\n=0.0+1.6}{5}{\rput(\n,0){\psframe(1,1)}}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%Ils ont ensuite effacé une donnée par erreur dans le script principal.
%
%Voici les copies d'écran de leur travail :
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash }X|}}\hline
%\multicolumn{2}{|c|}{Programme}&Pour information\\ \hline
%Script principal & Bloc du motif& \\ 
%\begin{scratch}
%\blockinit{quand \greenflag est cliqué}
%\blockmove{s’orienter à \ovalnum{90\selectarrownum}}
%\blockmove{aller à x: \ovalnum{-200} y: \ovalnum{0}}
%\blockpen{effacer tout}
%\blockrepeat{répéter \ovalnum{5} fois}
%{
%\blockmoreblocks{Motif}
%\blockmove{avancer de \ovalnum{}}
%}
%\end{scratch}&\begin{scratch}
%\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{Motif}}
%\blockpen{stylo en position d’écriture}
%\blockrepeat{répéter \ovalnum{4} fois}
%{
%\blockmove{avancer de \ovalnum{40}}
%\blockmove{tourner \turnright{} de \ovalnum{90} degrés}
%}
%\blockpen{relever le stylo}
%\end{scratch}&L'instruction \begin{scratch}\blockmove{s’orienter à \ovalnum{90\selectarrownum}} \end{scratch}
%
%signifie qu'on se dirige vers
%la droite.\\ \hline
%\multicolumn{1}{r}{Valeur effacée}&\multicolumn{1}{r}{}&\multicolumn{1}{r}{}\\
%\end{tabularx}
%\psset{arrowsize=2pt 4}\psline{->}(-3.5,0.4)(-4,1.6)
%
%\end{center}
%
%\emph{Dans cet exercice, aucune justification n'est demandée.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %La valeur effacée dans le script principal était-elle $40$ ou bien $60$ ?
La valeur effacée est 60 sinon les carrés seraient jointifs.
		\item ~%Dessiner sur la copie ce qu'on aurait obtenu avec l'autre valeur.
		
%On représentera l'instruction \og avancer de $20$ \fg par un segment de longueur $1$ cm.
\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(5,1)
\multido{\n=0+1}{4}{\rput(\n,0){\psframe(0,0)(1,1)}}
\end{pspicture}
\end{center}
	\end{enumerate}
\item %Léna et Youri souhaitent maintenant obtenir un triangle équilatéral comme motif.

%\parbox{0.6\linewidth}{Afin d'obtenir un triangle équilatéral :
%
%\medskip
%
%$\bullet~~$ %par quelle valeur peut-on remplacer $a$ ? 
%
%
%\medskip
%
%$\bullet~~$ par quelle valeur peut-on remplacer $b$ ?
%
%\medskip
%
%$\bullet~~$ %par quelle valeur peut-on remplacer $c$ ?}\hfill
%\parbox{0.38\linewidth}{\begin{scratch}
%\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{Motif}}
%\blockpen{stylo en position d’écriture}
%\blockrepeat{répéter \ovalnum{$a$} fois}
%{
%\blockmove{avancer de \ovalnum{$b$}}
%\blockmove{tourner \turnright{} de \ovalnum{$c$} degrés}
%}
%\blockpen{relever le stylo}
%\end{scratch}}
\end{enumerate}

$a = 3$

$b = 40$ par exemple

$c = 120$.
\medskip

\textbf{Exercice 7 \hfill 12 points}

\medskip

%En 2016 Marie-Amélie Le Fur a remporté la médaille d'or du 400~m aux
%Jeux Paralympiques (*) de Rio. Lors de la finale, elle a parcouru cette
%distance à la vitesse moyenne de $24,3$ km/h en battant ainsi son propre
%record du monde.
%
%Noémie met 20 minutes à vélo pour parcourir les $7$ km séparant le collège
%de sa maison. 
%
%Pour chacune des deux affirmations suivantes, dire en justifiant si elle est vraie ou fausse :
%
%\medskip
%
%\textbf{Affirmation 1 :} \og La vitesse moyenne de Noémie sur ces $7$ km est supérieure à la vitesse
%moyenne de Marie-Amélie Le Fur lors de cette finale. \fg
%
%\medskip
%
%\textbf{Affirmation 2 :} \og Marie-Amélie Le Fur a couru le 400~m en moins d'une minute lors de cette
%finale. \fg
%
%\medskip
%
%(*) Les Jeux Paralympiques sont les Jeux Olympiques pour athlètes en situation de handicap.
7~km en 20~minutes représente une vitesse de $7 \times 3$~km en $3 \times 20$~minutes soit 21~km/h.

Or $21 < 24,3$ : l'affirmation 1 est fausse.

On a $ v = \dfrac{d}{t}$, $d$ étant la distance parcourue et $t$ le temps mis pour parcourir cette distance.

Donc $v \times t = d$ et $t = \dfrac{d}{v} = \dfrac{0,400}{24,3} \approx \np{0,0164}$~h, soit environ $\np{0,0164} \times 60 = 0,99$~min soit moins d'une minute.

L'affirmation 2 est vraie.

\end{document}
