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                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
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        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
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            (0,-0.10)
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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
{\Large\bfseries Diplôme national du brevet\\[4pt]
Brevet des collèges — Amérique du Sud, novembre 2019}
\end{center}

\vspace{3mm}

\begin{center}
\colorbox{gray!15}{\parbox{0.85\textwidth}{\centering\Large\bfseries CORRIGÉ DE L'ÉPREUVE}}
\end{center}

\bigskip
%\bigskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
%\textbf{Indication portant sur l'ensemble du sujet.}\\ 
%\textbf{Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée. Pour chaque question, si le travail n'est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche; elle sera prise en compte dans la notation.} \\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 20 points}

\medskip 

%Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer sur la copie, si elle est vraie ou fausse.
%
%On rappelle que chaque réponse doit être justifiée.

\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
\item \textbf{Affirmation \no 1} : fausse

On a $94 - 18 = 76$.%\og Dans la série de valeurs ci-dessous, l'étendue est 25. 
%
%Série : 37~;~20~;~18~;~25~;~45~;~94~;~62 \fg.

\item \textbf{Affirmation \no 2} : vraie

%\og Les nombres 70 et 90 ont exactement deux diviseurs premiers en commun \fg.
On a $70 = 7 \times 10 = 7 \times 2 \times 5 = 2 \times 5 \times 7$ ;

$90 = 9 \times 10 = 2 \times 3^2 \times 5$.

70 et 90 ont deux facteurs premiers en commun : 2 et 5.

\item \textbf{Affirmation \no 3} : fausse

%\parbox{0.55\linewidth}
%{
%\og À partir du quadrilatère BUTS, on a obtenu le quadrilatère VRAC par une translation \fg.
%}
%\hfill 
%\parbox{0.43\linewidth}
%{
%\psset{unit=1cm}
%\def\poly{\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(1,0)(1,2)(0,1)}
%\begin{pspicture}(5.5,3.8)
%\rput(0.3,0.3){\poly}\rput{180}(4.6,3.3){\poly}
%\uput[dl](0.3,0.3){C}\uput[dr](1.3,0.3){A} \uput[ur](1.3,2.3){R} \uput[ul](0.3,1.3){V} 
%\uput[ur](4.6,3.3){U} \uput[ul](3.6,3.3){B} \uput[dl](3.6,1.3){S} \uput[dr](4.6,2.3){T} 
%\end{pspicture}
%}
Les deux quadrilatères n'ont pas la même orientation.
\item \textbf{Affirmation \no 4} : vraie

%\og Quand on multiplie l'arête d'un cube par 3, son volume est multiplié par 27 \fg.
Chaque dimension étant multipliée par 3, le volume est multiplié par $3 \times 3 \times 3 = 3^3 = 27$.
\end{itemize}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 13 points}

\medskip

%On a saisi dans un tableur les dépenses liées au transport des familles françaises pour les années 2013 et 2015. Ces dépenses sont exprimées en milliards d'euros.
%
%Pour l'année 2013, on a aussi saisi dans ce tableur les dépenses totales annuelles qui correspondent aux dépenses liées au logement, au transport, à la santé, à l'éducation, etc.
%
%Voici une copie de l'écran obtenu.
%
%Par exemple : en 2015, les dépenses annuelles des familles françaises, liées à l'achat de carburant, ont été de $34$ milliards d'euros.
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{5cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%&\multicolumn{1}{|c|}{A}				&B &C\\ \hline
%1&Dépenses annuelles liées au transport	&Année 2013	&Année 2015\\ \hline
%2&Achat de véhicules particuliers 		&38			&39\\ \hline
%3&Frais d'entretien des véhicules 		&45 		&51\\ \hline
%4& Achat de carburant 					&39 		&34\\ \hline
%5&Achat de services de transports 
%(avion; train, etc.)					&26 		&28\\ \hline
%6&Total pour le budget transport		&148		&152\\ \hline
%7&										&			&\\ \hline
%8&Dépenses totales annuelles			&\np{1498}	& \\ \hline
%\multicolumn{4}{r}{\emph{D'après une source: INSEE}}
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%\smallskip

\begin{enumerate}
\item %Pour l'année 2015, quelle est la dépense des familles françaises liée aux frais d'entretien des véhicules?
Les frais d'entretien des véhicules ont représenté en 2015 51 milliards d'euros.
\item %Quelle formule peut-on saisir dans la cellule B6 avant de l'étirer dans la cellule C6 ?
=SOMME(B2:B5).
\item %À la lecture du tableau, les dépenses annuelles liées à l'achat de carburant ont-elles baissé de 5\,\% entre 2013 et 2015 ?
La baisse des dépenses de carburant est égale à :

$\dfrac{39 - 34}{39} \times 100 = \dfrac{5}{39}\times 100$, soit environ 12,8\,\%, donc beaucoup plus de 5\,\%.
\item %En 2015, les dépenses des familles françaises liées aux transports correspondaient à environ 9,87\,\% des dépenses totales annuelles.

%Quelles étaient alors les dépenses totales annuelles des familles françaises en 2015 ?
Si $t$ est le montant des dépenses totales en 2015, on a :

$\dfrac{9,87}{100} \times t = 152$ soit en multipliant chaque membre par $\dfrac{100}{9,87}$ :

$t = 152 \times \dfrac{100}{9,87} = \dfrac{\np{15200}}{9,87}\approx \np{1540,0}$ milliards d'euros.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 14 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer $5x^2 - 3(2x+1)$ pour $x = 4$.
$5 \times 4^2 - 3(2\times 4+1) = 5 \times 16 - 3\times 9 = 80 - 27 = 53$.
\item %Montrer que, pour toute valeur de $x$, on a: $5x^2 - 3(2x + 1) = 5x^2 - 6x - 3$. 
$5x^2 - 3(2x + 1) = 5x^2 - 3 \times 2x - 3 \times 1 = 5x^2 - 6x - 3$.
\item %Trouver la valeur de $x$ pour laquelle $5x^2 - 3(2x+1)= 5x^2 - 4x +1$.
D'après la question précédente : $5x^2 - 3(2x+1)= 5x^2 - 4x +1$ peut s'écrire :

$5x^2 - 6x - 3 = 5x^2 - 4x +1$ ou en ajoutant $- 5x^2$ à chaque membre :

$- 6x - 3 = - 4x + 1$ et en ajoutant $6x$ à chaque membre :

$- 3 = 2x + 1$ et en ajoutant $- 1 $ à chaque membre :

$- 4 = 2x$ et en multipliant chaque membre par $\dfrac{1}{2}$ :

$- 2 =x$.
(\emph{Rem.} : $5\times (- 2)^2 - 3(2 \times (- 2) + 1) = 20 + 9 = 29 $ et 
$5\times (- 2)^2 - 4\times (- 2) +1 = 20 + 8 + 1 = 29$.)
\end{enumerate}



\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill 23 points}

\medskip

%Un silo à grains permet de stocker des céréales. Un ascenseur permet d'acheminer le blé dans le silo. L'ascenseur est soutenu par un pilier.
%
%\begin{center}
%\psset{unit=0.9cm}
%\begin{pspicture}(0,-1.5)(16,6)
%%\psgrid
%\psline(11.8,0)
%\pscircle(1.8,0.3){0.1}\pscircle(3.6,0.3){0.1}\pscircle(4.3,0.3){0.1}
%\pscircle(1.8,0.3){0.3}\pscircle(3.6,0.3){0.3}\pscircle(4.3,0.3){0.3}
%\psline(2.5,0.6)(4.6,0.6)
%\rput(8,4){Ascenseur à blé}
%\rput(4.8,-1){Déversoir}
%\psframe(1.5,0.6)(2.6,1.7)
%\psframe(1.6,1)(2.3,1.5)
%\rput{60}(4.6,0.6){\psframe(0,0)(1,2.1)}
%\psline(5.1,0)(4.8,0.6)(5.8,0.6)(5.6,0)\psline[linewidth=2.5pt](3,0.6)(3.4,1.3)
%\scalebox{.99}[0.3]{\psarc[linewidth=1.5pt](13.2,0){1.275}{180}{0}}%
%\psellipse(13.1,4)(1.3,0.65)
%\psline(11.8,0)(11.8,4)\psline(14.35,0)(14.35,4)
%\psline(5.75,0.4)(12,4)\psline(5.65,0.2)(12.1,3.875)
%\pscurve(12,4)(12.05,3.95)(12.1,3.875)
%\pscurve(12.1,3.875)(12.6,3.8)(12.9,3.36)
%\pscurve(12,4)(12.6,4)(13.12,3.36)
%\pscurve(4.8,0.9)(5,0.8)(5.2,0.6)
%\pscurve(4.9,1.1)(5.15,0.95)(5.4,0.6)
%\psline{->}(4.8,-0.8)(5.3,0.3)\psline{->}(8,3.7)(9,2.3)
%\psline(8.9,0)(8.9,2.07)\psline(9.1,0)(9.1,2.17)
%\rput(9,-1){Pilier de soutien}\psline{->}(8.1,-0.8)(8.9,1.4)
%\rput(13.2,-1){Silo}\psline{->}(13.2,-0.8)(13.2,1)
%\psline(14.3,0)(15.4,0)
%\rput(4.5,4){Camion à benne}\psline{->}(4.5,3.8)(4.2,2)
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%On modélise l'installation par la figure ci-dessous qui n'est pas réalisée à l'échelle :
%
%\parbox{0.46\linewidth}{\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
%\item Les points C, E et M sont alignés.
%\item Les points C, F{}, H et P sont alignés.
%\item Les droites (EF) et (MH) sont perpendiculaires à la droite (CH).
%\item CH $=8,50$ m et CF $= 2,50$ m.
%\item Hauteur du cylindre: HM $= 20,40$ m.
%\item Diamètre du cylindre: HP $= 4,20$ m.
%\end{itemize}
%}\hfill
%\parbox{0.54\linewidth}{\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(8,5.5)
%\psline(8,0)\psline(0.7,0)(5.5,4.6)%CM
%\psline(2.6,0)(2.6,1.8)%FE
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](5.5,0)(7.2,4.6)%HPM..
%\rput(6.4,2.1){Cylindre}
%\uput[d](0.7,0){C} \uput[d](2.6,0){F} \uput[d](6.5,0){H} 
%\uput[d](7.2,0){P} \uput[ul](2.6,1.8){E} \uput[ul](5.5,4.6){M}
%\psframe(2.6,0)(2.85,0.25)\psframe(5.5,0)(5.75,0.25)
%\end{pspicture}
%}
%
%\vspace{0,7cm}
%
%\textbf{Les quatre questions suivantes sont indépendantes.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Quelle est la longueur CM de l'ascenseur à blé ?
Le triangle CHM étant rectangle en H le théorème de Pythagore permet d'écrire 

$\text{CM}^2 = \text{CH}^2 + \text{HM}^2$ soit $\text{CM}^2 = 8,5^2 + 20,4^2 = 72,25 + 416,16 = 488,41$.

La calculatrice donne CM $ = \sqrt{488,41} = 22,1$ (m).
\item %Quelle est la hauteur EF du pilier ?
Les droites (EF) et (MH) sont perpendiculaires à la droite (CP) : elles sont donc parallèles.

On peut donc appliquer le théorème de Thalès :

$\dfrac{\text{CF}}{\text{CH}} = \dfrac{\text{EF}}{\text{MH}}$, soit $\dfrac{2,5}{8,5} = \dfrac{\text{EF}}{20,4}$; d'où en multipliant par 20,4 :

$\text{EF} = 20,4 \times \dfrac{2,5}{8,5} = 6$.

Le pilier [EF] mesure 6~m.
\item %Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{\text{HCM}}$ entre le sol et l'ascenseur à blé ? On donnera une valeur approchée au degré près.
Dans le triangle CEF rectangle en F, on a :

$\tan \widehat{\text{FCE}} = \dfrac{\text{EF}}{\text{CF}} = \dfrac{6}{2,5} = 2,4$.

La calculatrice donne $\widehat{\text{FCE}}  \approx 67,3$.

L'angle $\widehat{\text{HCM}}$ mesure 67\degres{} au degré près.
\item %Un mètre-cube de blé pèse environ $800$~kg.

%Quelle masse maximale de blé peut-on stocker dans ce silo ? On donnera la réponse à une tonne près.

%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
%Rappels :\\
%\hspace{1.2cm}$\bullet~~$1 tonne = \np{1000}~kg\\
%\hspace{1.2cm}$\bullet~~$ volume d'un cylindre de rayon $R$ et de hauteur $h$ : $\pi \times R^2 \times h$\\ \hline
%\end{tabularx}
Le rayon du cylindre est égal à 2,1~m ; son volume est donc égal à : $\pi \times 2,1^2 \times 20,4 = 89,964\pi$~m$^3$.

On peut donc mettre dans ce silo : 

$89,964\pi \times 800 \approx \np{226104}$~kg de blé, soit encore environ 226 tonnes de blé à la tonne près.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 5 \hfill 14 points}

\medskip

%Une entreprise rembourse à ses employés le coût de leurs déplacements professionnels, quand les employés utilisent leur véhicule personnel.
%
%Pour calculer le montant de ces remboursements, elle utilise la formule et le tableau d'équivalence ci-dessous proposés par le gestionnaire:
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{5cm}|X|}\hline
%\multicolumn{2}{|c|}{\textbf{Document 1}}\\
%Formule 		&Tableau\\
%Montant du remboursement:
%
%\qquad $a + b\times d$
%
%où :
%
%$\bullet~~$ $a$ est un prix (en euros) qui ne dépend que de la longueur du trajet;
%
%$\bullet~~$ $b$ est le prix payé (en euros) par kilomètre parcouru;
%
%$\bullet~~$ $d$ est la longueur en kilomètres du \og trajet aller \fg.&
%\begin{tabular}{|m{3cm}|c| c|}\hline
%%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Longueur $d$ du \og trajet aller\fg	&Prix $a$&Prix $b$ par kilomètre\\ \hline
% De 1 km à 16 km						&\np{0,7781}		&\np{0,1944}\\ \hline
% De 17 km à 32 km 						&\np{0,2503}		&\np{0,2165}\\ \hline
% De 33 km à 64 km 						&\np{2,0706}		&\np{0,1597}\\ \hline
% De 65 km à 109 km 						&\np{2,8891}		&\np{0,1489}\\ \hline
% De 110 km à 149 km 					&\np{4,0864}		&\np{0,1425}\\ \hline
% De 150 km à 199 km 					&\np{8,0871}		&\np{0,1193}\\ \hline
% De 200 km à 300 km 					&\np{7,7577}		&\np{0,1209}\\ \hline
% De 301 km à 499 km 					&\np{13,6514}	&\np{0,1030}\\ \hline
% De 500 km à 799 km 					&\np{18,4449}	&\np{0,0921}\\ \hline
% De 800 km à \np{9999}~km				&\np{32,2041}	&\np{0,0755}\\ \hline
%\end{tabular} \\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Pour un \og trajet aller\fg{} de 30~km, vérifier que le montant du remboursement est environ $6,75$~\euro.
Pour un \og trajet aller\fg{} de 30~km le montant du remboursement est égal à :

$\np{0,2503} + 30 \times \np{0,2165} = \np{6,7453} \approx 6,75$~\euro{} au centime près.
\item  %Dans le cadre de son travail, un employé de cette entreprise effectue un déplacement à Paris. Il choisit de prendre sa voiture et il trouve les informations ci-dessous sur un site internet.

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
%\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Document 2}}\\
%Distance Nantes - Paris : 386 km\\
%Coût du péage entre Nantes et Paris: 37~\euro\\
%Consommation moyenne de la voiture de l'employé: $6,2$ litres d'essence aux $100$~km\\
%Prix du litre d'essence: 1,52~\euro\\\hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
$\bullet$~~la dépense en essence s'élève à $\dfrac{368}{100} \times 6,2 \times 1,52 = \np{36,3766} \approx 36,38$~\euro ;

$\bullet~~$le coût du péage s'élève à 37~\euro.

La dépense totale sera donc de : $36,38 + 37 = 73,38$~\euro.

Le remboursement sera égal à :

$\np{13,6514} + 386 \times 0,103 = \np{53,4094} \approx 53,41$~\euro. 

L'employé perdra environ 20~\euro{} sur ce déplacement.

\textbf{À l'aide des documents 1 et 2, répondre à la question suivante:}

\og Le montant du remboursement sera-t-il suffisant pour couvrir les dépenses de cet
employé pour effectuer le \og trajet aller\fg{} de Nantes à Paris ? \fg
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 6 \hfill 16 points}

\medskip
 
%Voici les copies d'écran d'un programme qui permet d'obtenir une frise.
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}m{4cm}|}\hline
%\textbf{Script de la frise}&\textbf{Bloc motif}&\textbf{Pour information}\\
%\small{\begin{scratch}
%\blockinit{Quand \greenflag est cliqu\'e}
%\blockmove{s'orienter à \ovalnum{90} }
%\blockmove{aller à x: \ovalnum {- 150} y: \ovalnum 0}
%\blockpen{effacer tout}
%\blockrepeat{répéter \ovalnum{4} fois}
%{\blockevent{Motif}
%\blockmove{avancer de \ovalnum{30}}}
%\end{scratch}}&
%\small{\begin{scratch}
%\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{Motif}}
%\blockpen{stylo en position d'écriture}
%\blockmove{avancer de \ovalnum{20}}
%\blockmove{tourner \turnright{} de \ovalnum{60} degrés}
%\blockmove{avancer de \ovalnum{40}}
%\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{120} degrés}
%\blockmove{avancer de \ovalnum{40}}
%\blockmove{s'orienter \`a \ovalnum{90}}
%\blockpen{relever le stylo}
%\end{scratch}}&L'instruction 
%
%\small{\begin{scratch}\blockmove{s'orienter à \ovalnum{90}}\end{scratch}}
%
%signifie qu'on s'oriente en vue
%
% de se diriger vers la droite.\\ \hline
%\multicolumn{3}{|c|}{\textbf{Frise obtenue avec le script}}\\
%\multicolumn{3}{|c|}{\psset{unit=0.5cm}\def\zig{\psline(0,0)(0.4,0)(0.8,-0.7)(1.2,0)} 
%\begin{pspicture}(-5,-1)(8,0.5)
%\rput(-2.5,-0.5){Point de départ}
%\rput(1,0){\zig}\rput(3,0){\zig}\rput(5,0){\zig}\rput(7,0){\zig}\psline{->}(0,-0.5)(1,0)\end{pspicture}}\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Quelle distance le lutin a-t-il parcourue pour tracer \textbf{un seul motif} de la frise?
Pour un motif le lutin parcourt : 

$20 + 40 + 40 = 100$~pixels.
\item %On modifie le programme, dans cette question seulement :

%\setlength\parindent{6mm}
%\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
%\item on ne modifie pas le script de la frise.
%\item dans le bloc motif, il enlève l'instruction : \small{\begin{scratch} \blockpen{relever le stylo} \end{scratch}}
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

%Dessiner à main levée la frise obtenue avec ce nouveau programme.
On obtient le dessin continu suivant :

\psset{unit=0.5cm}\def\zig{\psline(0,0)(0.4,0)(0.8,-0.7)(1.2,0)} 
\begin{pspicture}(-5,-1)(10,0.5)
%\psgrid
%\rput(-2.5,-0.5){Point de départ}
\rput(1,0){\zig}\psline[linecolor=red](2.2,0)(3,0)\rput(3,0){\zig}\psline[linecolor=red](4.2,0)(5,0)\rput(5,0){\zig}\psline[linecolor=red](6.2,0)(7,0)\rput(7,0){\zig}\psline[linecolor=red](8.2,0)(9,0)\end{pspicture}

\item %On utilise maintenant le bloc motif ci-dessous. Laquelle des deux frises obtient-il ? Expliquer pourquoi.
On obtient la frise \no 2 : avec le nouveau motif à la fin de son exécution on ne change pas l'orientation contrairement à la frise \no 1.

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%\textbf{Bloc motif modifié}&\textbf{Frise \no 1}&\textbf{Frise \no 2}\\
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(4,6.5)
%\rput(2,3.1){
%\small{\begin{scratch}
%\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{Motif}}
%\blockpen{stylo en position d'écriture}
%\blockmove{avancer de \ovalnum{20}}
%\blockmove{tourner \turnright{} de \ovalnum{60} degrés}
%\blockmove{avancer de \ovalnum{40}}
%\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{120} degrés}
%\blockmove{avancer de \ovalnum{40}}
%\blockpen{relever le stylo}
%\end{scratch}}}\end{pspicture}&\psset{unit=0.58cm}\def\zig{\psline(0,0)(0.4,0)(0.8,-0.6928)(1.2,0)}
%\psset{unit=0.58cm}\begin{pspicture}(1.3,-4)(5.5,3.4)\rput(1.5,0.5){\zig}\rput(3,1){\zig}\rput(4.5,1.5){\zig}\rput(6,2){\zig}\rput(1.5,2){Point de départ}\psline{->}(1.5,1.8)(1.5,0.45)\end{pspicture}&\psset{unit=0.6cm}\def\zig{\psline(0,0)(0.4,0)(0.8,-0.6928)(1.2,0)}
%\begin{pspicture}(-2,-3)(4,5.2)
%\rput(0,0){\zig}\rput{60}(1.5,0.52){\zig} \rput{120}(1.8,2.1){\zig}\rput{180}(0.6,3.15){\zig} \rput(0,-1.5){Point de départ}\psline{->}(0,-1.2)(0,0)\end{pspicture}\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
\end{enumerate}

\end{document}
