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\newcommand{\soustitre}{Amérique du Sud -- novembre 2022}
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\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
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    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
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% -- Commandes personnalisées APMEP --
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\renewcommand{\sfdefault}{phv}% police helvetica pour les blocs scratch.
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
{\Large\bfseries Diplôme national du brevet\\[4pt]
Brevet des collèges — Amérique du Sud, novembre 2022}
\end{center}

\vspace{3mm}

\begin{center}
\colorbox{gray!15}{\parbox{0.85\textwidth}{\centering\Large\bfseries CORRIGÉ DE L'ÉPREUVE}}
\end{center}

\bigskip
\medskip

\textbf{\large Exercice 1 \hfill 25 points}

\medskip

Voici six affirmations. Pour chacune d'entre elles, dire si elle est vraie ou fausse.

\smallskip

\textbf{On rappelle que chaque réponse doit être justifiée}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Deux urnes opaques contiennent des boules de couleur, indiscernables au toucher.

%Voici la composition de chaque urne :

%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] Urne A : $20$ boules dont $8$ boules bleues
%\item[$\bullet~~$] Urne B : $11$ boules bleues et $14$ boules vertes
%\end{itemize}

\textbf{Affirmation 1} : on a plus de chance de tirer au hasard une boule bleue dans l'urne B que dans l'urne A.

La probabilité de tirer une boule bleue de l'urne A est égale à : $\dfrac{8}{20} = \dfrac{4}{10} =  0,40$ ;

La probabilité de tirer une boule bleue de l'urne B est égale à : $\dfrac{11}{11 + 14} = \dfrac{11}{25} = \dfrac{44}{100} = 0,44$ : l'affirmation 1 est vraie.
\item %Voici une série statistique: 14 ; 12 ; 3 ; 14 ; 7 ; 11 ; 7 ; 12 ; 14.

\textbf{Affirmation 2} : la médiane de cette série statistique est 11.

En ordonnant : 3 ; 7 ; 7 ; 11 ; 12 ; 12 ; 14 ; 14 ; 14 : la médiane est  12 : l'affirmation 2 est fausse.
\item %Lors d'une course à pied, un coureur a parcouru $36$~km en 3~h~20.
\textbf{Affirmation 3} : sa vitesse moyenne est de $11,25$~km/h.

3 h 20 min $= 3 + \dfrac{20}{60} = 3 + \dfrac13 = \dfrac{9}{3} + \dfrac13 = \dfrac{10}{3}$.

La vitesse est donc égale à : $\dfrac{36}{ \frac{10}{3}} = 36 \times \dfrac{3}{10} = \dfrac{108}{10} \approx 10,8$~(km/h) : l'affirmation 3 est fausse.


\item %On considère deux fonctions $f$ et $g$.

%La fonction $f$ est définie par : $f(x)= - 4x - 5$.
%
%Voici la représentation graphique de la fonction $g$ :
%
%\begin{center}
%\psset{unit=1.25cm,arrowsize=2pt 3}
%\begin{pspicture*}(-3,-3)(2.5,4.5)
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.2pt,subgridwidth=0.1pt]
%\uput[u](2.3,0){$x$} \uput[r](0,4.3){$y$}
%\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-2.99,-2.99)(2.5,4.5)
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{2.5}{ x dup mul x 2 div add 1.5 sub}
%\end{pspicture*}
%\end{center}

\textbf{Affirmation 4} : l'image de $-1$ par la fonction $f$ est inférieure à l'image de $-1$ par la fonction $g$.

On a $f(-1 ) = -4 \times (- 1) - 5 = 4 - 5 = - 1$ et on lit $g(- 1)= - 1$, donc $f(- 1) = g(- 1)$ : l'affirmation 4 est fausse.
\item \textbf{Affirmation 5} : pour tout nombre $x$, on a : $(x + 5)^2 - 4 = (x + 1)(x + 9)$.

$(x + 5)^2 - 4 = (x + 5)^2 - 2^2 = [(x + 5) + 2][(x + 5) - 2]= (x + 5 + 2)(x + 5 - 2) = (x + 7)(x + 3) \ne (x + 1)(x + 9)$ : l'affirmation 5 est fausse.
\item %On considère un carré de longueur de côté 6 mètres.
\textbf{Affirmation 6} : les diagonales de ce carré mesurent $\sqrt{72}$ mètres.

Le \og demi-carré \fg{} est un triangle rectangle isocèle de côtés  de longueur 6. D'après le théorème de Pythagore l'hypoténuse (diagonale du carré) mesure $d$ telle que :

$d^2 = 6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72$, d'où $f = \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt 2 = 6\sqrt 2$ : l'affirmation 6 est vraie.


\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\large Exercice 2 \hfill 20 points}

\medskip

%Le diagramme ci-dessous représente la production d'énergie solaire photovoltaïque en TWh (Térawattheure) des cinq plus gros producteurs dans l'Union européenne qui compte vingt-huit pays en 2019.
%
%\begin{center}
%\psset{xunit=1.15cm,yunit=0.167cm,arrowsize=2pt 3}
%\begin{pspicture*}(-1,-5)(11,60)
%\multido{\n=0+5}{11}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(11,\n)}
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1,0)(2,47.5)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3,0)(4,23.7)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](5,0)(6,12.75)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](7,0)(8,11.6)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](9,0)(10,9.5)
%\uput[r](0,55){Production (en TWh)}
%\rput(5.5,59){\textbf{Production photovoltaïque des cinq plus gros producteurs}}
%\rput(5.5,56){ \textbf{dans l'Union européenne en 2019}}
%\uput[d](1.5,0){Pays A}\uput[d](3.5,0){Pays B}
%\uput[d](5.5,0){Pays C} \uput[d](7.5,0){Pays D}  \uput[d](9.5,0){Pays E}
%\psline[linewidth=1.25pt]{->}(11,0)(0,0)(0,60)
%\multido{\n=0+5}{11}{\uput[l](0,\n){\n}}
%\end{pspicture*}
%\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Avec la précision permise par le graphique, donner approximativement la production photovoltaïque enTWh du pays E.
La production du pays E est d'environ 9,8~(Térawattheure).
\item %La production photovoltaïque totale des $28$ pays de l'Union européenne en 2019 est de $131,8$~TWh.
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que les pays A et B totalisent à eux seuls environ 54\,\% de la production européenne.
D'après le graphique A a produit environ 47,5~(Térawattheure) et B, 24 (Térawattheure) et donc à eux deux $47,5 + 24 = 71,5$~(Térawattheure), soit en \% : $\dfrac{71,5}{131,8} \times 100 \approx 54,2$ donc à peu près 54\,\% de la production européenne.
		\item %La production photovoltaïque totale des $28$ pays de l'Union européenne était de $122,3$~TWh en 2018.

%Quel est le pourcentage d'augmentation de la production photovoltaïque totale entre 2018 et 2019 ?
Le pourcentage d'augmentation de la production photovoltaïque totale entre 2018 et 2019 est égal à :

$\dfrac{131,8 - 122,3}{122,3} \times 100 = \dfrac{9,5}{122,3} \times 100 \approx 7,76$, soit environ 7,8\,\%.
%Arrondir le résultat au dixième.
	\end{enumerate}
\item %On veut étudier dans le pays D l'évolution de la production électrique par type d'énergie de 2017 à 2019. On utilise alors le tableur pour réaliser le tableau suivant.

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{4cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%&A&B&C&D\\ \hline
%1&Type d'énergie&\multicolumn{3}{c|}{Production électrique (en TWh)}\\ \cline{3-5}
%2&				&en 2017		&en 2018&en 2019\\ \hline
%3&Nucléaire		&379,1	&393,2	&379,5\\ \hline
%4&Thermique (gaz, fioul, charbon)	&53,9&39,4&42,6\\ \hline
%5&Hydraulique	&53,5	&68,3	&60\\ \hline
%6&Éolien		&24,1	&27,8	&34,1\\ \hline
%7&Solaire		&9,2	&10,2	&11,6\\ \hline
%8&Bioénergies	&9,5	&9,7	&9,9\\ \hline\hline
%9&Total			&529,3	&548,6	&537,7\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item %Citer les types d'énergie dont la production a augmenté chaque année de 2017 à 2019.
Pour l'éolien : $24,1 < 27,8 < 34,1$ ;

Pour le solaire : $9,2 < 10,2 < 11,6$

Pour les bioénergies : $ 9,5 < 9,7 < 9,9$.
		\item %Quelle formule a-t-on pu saisir dans la cellule B9 avant de l'étirer jusqu'à la cellule D9 ?
On tape en B9  : =somme(B3:B8).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\large Exercice 3 \hfill 20 points}

\medskip

Dans le triangle ADC rectangle en D, l'angle $\widehat{\text{DCA}}$ mesure $30\degres$.

Le point B est le point du segment [AC] tel que les longueurs DB et CB sont égales.

\emph{La figure ci-dessous n'est pas représentée en vraie grandeur}

\begin{center}
\psset{unit=1.15cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(6,4.2)
%\psgrid
\pspolygon(0.2,3.5)(0.2,0.3)(5.7,0.3)%ADC
\psline(0.2,0.3)(2.95,1.9)%DB
\uput[ul](0.2,3.5){A} \uput[d](2.95,1.9){B} \uput[dr](5.7,0.3){C} \uput[dl](0.2,0.3){D} 
\psarc(5.7,0.3){0.5}{150}{180}\rput(5.,0.46){$30\degres$}
\psframe(0.2,0.3)(0.4,0.5)
\psline[linestyle=dashed]{<->}(0.4,3.7)(5.8,0.6)\rput{-30}(3.1,2.55){10~cm}
\rput{50}(1.6,1.1){/}\rput{50}(1.65,1.14){/}\rput{-20}(4.1,1.24){/}\rput{-20}(4.13,1.19){/}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{DBC}}$.

DB = CB montre que le triangle DBC est isocèle en B donc ses angles à la base ont même mesure, soit $\widehat{\text{BDC}} = \widehat{\text{BCD}}  = 30(\degres)$.

Comme la somme des mesures des trois angles de (DBC) est égale à 180\degres, on a donc :

$\widehat{\text{DBC}} = 180 - 30 - 30 = 120(\degres)$.
\item %Montrer par le calcul que le segment [AD] mesure $5$~cm.
Dans le triangle rectangle en D, ADC, on a $\sin \widehat{\text{ACD}} = \dfrac{\text{AD}}{\text{AC}}$, soit $\dfrac12 = \dfrac{\text{AC}}{10}$, d'où AD $ = 10 \times \dfrac12 = 5$~(cm)

\item %Calculer la longueur DC au millimètre près.
$\bullet~~$\emph{Avec le cosinus} :

$\cos \widehat{\text{ACD}} = \dfrac{\text{CD}}{\text{AC}}$ soit $\dfrac{\sqrt 3}{2} = \dfrac{\text{CD}}{10}$, d'où CD $ = 10\times \dfrac{\sqrt 3}{2} = 5\sqrt 3 \approx 8,66$, soit environ 8,7~cm.

$\bullet~~$\emph{Avec le théorème de Pythagore}

Dans le triangle rectangle en D, ADC :

$\text{AC}^2 = \text{AD}^2 + \text{DC}^2$, soit $10^2 = 5^2 + \text{DC}^2$, d'où $\text{DC}^2 = 100 - 25 = 75$ et par conséquent DC $ = \sqrt{75}$.

Or DC $= \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{25} \times \sqrt 3 = 5 \sqrt 3 \approx 8,66$~(cm) soit environ 8,7~cm.
\item %Déterminer la nature du triangle ABD.

On a par supplément à 180\degres :

$\widehat{\text{DBA}} = 180 - 120 = 60\degres$, mais on a aussi par complément de l'angle droit 
$\widehat{\text{ADC}}$ :

$\widehat{\text{ADB}} = 90 - \widehat{\text{BDC}} = 90 - 30 = 60\degres$.

Conclusion : le triangle ABD a deux et par conséquent trois angles de mesure $60\degres$ : c'est donc un triangle équilatéral.

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\large Exercice 4 \hfill 18 points}

\medskip

\emph{Dans cet exercice aucune justification n'est attendue}

\smallskip

%On souhaite réaliser le logo ci-dessous avec le logiciel Scratch à partir du script incomplet ci- dessous.
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|X| X|}\hline
%\multicolumn{1}{|c|}{Logo}&\multicolumn{1}{|c|}{Script principal}\\
%\begin{center}
%\psset{unit==2pt 3}
%\begin{pspicture}(-3.3,-3.3)(3.3,3.3)
%\def\drapeau{\psline(0,0)(2.3,0)(3.1,-0.75)(1.95,-0.75)(1.15,0)}
%\multido{\n=0+72}{5}{\rput{\n}(0;0){\drapeau}}
%\end{pspicture}\end{center}&\begin{scratch}[num blocks,num start = 0]
%\blockinit{Quand \greenflag est cliqué}
%\blockmove{aller à x: \ovalnum0 y: \ovalnum0}
%\blockmove{s'orienter à \ovalnum{90\selectarrownum} degrés}
%\blockpen{effacer tout}
%\blockrepeat{répéter \ovalnum{...} fois}
%     {\blockmove{Motif}
%     \blockmove{aller à x: ... y: ...}
%     \blockmove{tourner \turnright{} de \ovalnum{...} degrés}
%     }
%\end{scratch}\\ \hline
%\end{tabularx}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
%On rappelle que l'instruction \begin{scratch}\blockmove{s'orienter à \ovalnum{90\selectarrownum} degrés}\end{scratch} consiste à orienter le lutin et le stylo horizontalement vers la droite.\\ \hline
%Le bloc \begin{scratch}\blockmove{Motif}\end{scratch} permet de réaliser la figure ci-contre :\quad 
%\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
%\begin{pspicture}(-2,-1.2)(3.3,0.2)
%\def\drapeau{\psline(0,0)(2.3,0)(3.1,-0.75)(1.95,-0.75)(1.15,0)}
%\rput(0;0){\drapeau}
%\rput(-1,-1){Point de départ}
%\psline[linewidth=2pt]{->}(-1,-0.7)(0,0)
%\end{pspicture}\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

\begin{enumerate}
\item %En mathématiques, comment appelle-t-on la transformation géométrique qui permet de
%passer d'un motif du logo au suivant ?
La transformation est la rotation.
\item %Ici, le stylo est orienté horizontalement vers la droite au départ.

%Parmi les trois propositions suivantes, quelle est celle qui permet d'obtenir le motif souhaité ?

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|X| X| X|}\hline
%Proposition 1 &Proposition 2& Proposition 3\\ \hline
%{\small \begin{scratch}
%\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{Motif}}
%\blockpen{stylo en position d’écriture}
%\blockrepeat{répéter \ovalnum{2} fois}
%     {\blockmove{avancer de \ovalnum{50}}
%     \blockmove{tourner \turnright{} de \ovalnum{140} degrés}
%     \blockmove{avancer de \ovalnum{50}}
%     \blockmove{tourner \turnright{} de \ovalnum{40} degrés}
%     }
%\blockpen{relever le stylo}
%\end{scratch}}&{\small \begin{scratch}
%\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{Motif}}
%\blockpen{stylo en position d’écriture}
%\blockmove{avancer de \ovalnum{50}}
%\blockrepeat{répéter \ovalnum{2} fois}
%     {\blockmove{avancer de \ovalnum{50}}
%     \blockmove{tourner \turnright{} de \ovalnum{40} degrés}
%     \blockmove{avancer de \ovalnum{50}}
%     \blockmove{tourner \turnright{} de \ovalnum{140} degrés}
%     }
%\blockpen{relever le stylo}
%\end{scratch}}&{\small \begin{scratch}
%\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{Motif}}
%\blockpen{stylo en position d’écriture}
%\blockmove{avancer de \ovalnum{50}}
%\blockrepeat{répéter \ovalnum{2} fois}
%     {\blockmove{avancer de \ovalnum{50}}
%    \blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{40} degrés}
%     \blockmove{avancer de \ovalnum{50}}
%     \blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{140} degrés}
%     }
%\blockpen{relever le stylo}
%\end{scratch}}\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
Seule la proposition 2 permet de dessiner la hampe (le bas du drapeau) puis le losange du bon côté.
\item %Compléter le script principal en recopiant sur la copie uniquement la boucle « répéter» (c'est-à-dire les instructions 4, 5, 6 et 7).
Script complété :

\begin{scratch}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{5} fois}
{\blockmove{Motif}
\blockmove{aller à x: 0 y: 0}
\blockmove{tourner \turnright{} de \ovalnum{72} degrés}
}
\end{scratch}

\emph{Rem.} on tourne de 72\degres{} car $\dfrac{360}{5} = 72$.
\item %On veut placer l'instruction \begin{scratch} \blockpen{ajouter \ovalnum{10} à la couleur du style}\end{scratch} de façon à changer de couleur à chaque motif.

%Sur la copie, indiquer un numéro d'instruction du script principal après laquelle on peut placer cette instruction.
On peut placer cette instruction après l'instruction 7.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\large Exercice 5 \hfill 17 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %À l'achat, les planches en bois mesurent $2,50$~m de longueur.
	\begin{enumerate}
		\item %Combien de planches devra-t-on acheter ?
Il faut pour chaque côté 1 planche car $2 \times 1,20 = 2,40 < 2,50$. Il faut donc acheter $4 \times 1 = 4$ planches de 2,50~m de long.
		\item %Déterminer le budget nécessaire (hors coût de la terre) pour réaliser ce carré potager.
Pour les équerres : $4 \times 2,90 = 11,60$ ;

Pour les planches : $4 \times 5,60 = 22,40$ ;

Pour les vis : $8 \times 4 = 32 < 100$,donc un lot à 5,70.

Budget total (hors terre) : $11,60 + 22,40 + 5,70 = 39,70$~\euro.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%On remplit le carré potager de terre végétale au minimum jusqu'aux deux tiers de sa hauteur. 

%On dispose la terre afin qu'elle forme un pavé droit dont la longueur du côté de la base carrée est de $118$~cm.

\begin{enumerate}[resume]
\item %Sept sacs de terre végétale seront-ils suffisants pour compléter au minimum le carré potager ?

%On rappelle que : 1~L = 1dm$^3$.
La hauteur de terre est : $\dfrac23 \times 30 = 20$~(cm).

On calcule le volume en dm$^3$ avec des dimensions en dm.

Soit $11,8 \times 11,8 \times 2 = 278,48$~(dm$^3$) ou 278,48~L.

Or 7 sacs de 40 L donneront une masse de $7 \times 40 = 280 > 278,48$~L.

Conclusion 7 sacs seront suffisants.
\end{enumerate}

\end{document}
