\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\newcommand{\euro}{\texteuro}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\providecommand{\degres}{\textdegree}
\providecommand{\up}[1]{\textsuperscript{#1}}

% -------- PARAMÈTRES --------
\newcommand{\titre}{Diplôme national du brevet}
\newcommand{\soustitre}{Brevet des collèges — Amérique du Sud, 16 novembre 2023}
\newcommand{\monurl}{https://site2wouf.fr/brevet-maths/dnb-ameri-sud-nov-2023}
\newcommand{\codefiche}{DNBAMSN23}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{84pt}
\setlength{\headsep}{10pt}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\headrule}{}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.65\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre\par}
    {\normalsize\bfseries CORRIGÉ DE L'ÉPREUVE}
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.18\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.7cm]{\monurl}\\[3pt]{\footnotesize\bfseries\ttfamily\color{red}\codefiche}
\end{minipage}%
}\\[4mm]%
}

\newcommand{\exercice}[2]{%
  \bigskip\noindent
  {\large\textbf{Exercice #1 \hfill #2 points}}\par\medskip
}
\newcommand{\conclusion}[1]{\par\smallskip\textbf{Conclusion :} #1}


% ════════════════════════════════════════════════════════════════════
%  Figures — Brevet Amérique du Sud, 16 novembre 2023
% ════════════════════════════════════════════════════════════════════

% ── Exercice 1 : les deux triangles semblables ────────────────────
% F, G, H alignés ; (LH) perpendiculaire à (FH) ; EF = 18, FG = 24,
% EG = 30, GH = 38,4. L'angle droit en F n'est PAS codé : c'est la
% question 1 qui demande de le démontrer.
\newcommand{\figefglh}{%
\begin{tikzpicture}[scale=0.075,line join=round]
  \coordinate (F) at (0,0);
  \coordinate (G) at (24,0);
  \coordinate (H) at (62.4,0);
  \coordinate (E) at (0,18);
  \coordinate (L) at (62.4,28.8);
  \draw[thick] (F) -- (H);
  \draw[thick] (E) -- (F);
  \draw[thick] (E) -- (G);
  \draw[thick] (G) -- (L);
  \draw[thick] (L) -- (H);
  \draw (62.4,3.4) -- (59,3.4) -- (59,0);
  \draw[thick] (G) ++(160:5) arc[start angle=160,end angle=143,radius=5];
  \draw[thick] (G) ++(37:5)  arc[start angle=37,end angle=20,radius=5];
  \node[below] at (F) {\footnotesize F};
  \node[below] at (G) {\footnotesize G};
  \node[below] at (H) {\footnotesize H};
  \node[above] at (E) {\footnotesize E};
  \node[above] at (L) {\footnotesize L};
\end{tikzpicture}}

% ── Exercice 2 : la feuille aux quatre coins coupés ───────────────
% Rectangle ABCD de 10 cm sur 8 cm, coins coupés par des triangles
% rectangles isocèles identiques. Polygone FELKJIHG.
\newcommand{\figfeuille}{%
\begin{tikzpicture}[scale=0.42,line join=round]
  \def\c{2.6}
  \coordinate (A) at (0,8); \coordinate (D) at (10,8);
  \coordinate (B) at (0,0); \coordinate (C) at (10,0);
  \coordinate (E) at (\c,8);      \coordinate (L) at (10-\c,8);
  \coordinate (F) at (0,8-\c);    \coordinate (K) at (10,8-\c);
  \coordinate (G) at (0,\c);      \coordinate (J) at (10,\c);
  \coordinate (H) at (\c,0);      \coordinate (I) at (10-\c,0);
  \draw[thick] (A) rectangle (C);
  \draw[dashed,thick] (E) -- (F); \draw[dashed,thick] (L) -- (K);
  \draw[dashed,thick] (G) -- (H); \draw[dashed,thick] (J) -- (I);
  \foreach \p/\pos in {A/above left, D/above right, B/below left, C/below right,
                       E/above, L/above, F/left, K/right, G/left, J/right, H/below, I/below}{
    \node[\pos=1pt] at (\p) {\footnotesize \p};}
  % codages : les huit segments coupés sont de même longueur
  \foreach \x/\y/\r in {1.3/8/0, 8.7/8/0, 1.3/0/0, 8.7/0/0,
                        0/6.7/90, 10/6.7/90, 0/1.3/90, 10/1.3/90}{
    \begin{scope}[shift={(\x,\y)},rotate=\r]
      \draw[thick] (-0.10,-0.28) -- (-0.10,0.28);
      \draw[thick] ( 0.10,-0.28) -- ( 0.10,0.28);
    \end{scope}}
  % les ciseaux, comme sur le sujet
  \node[rotate=-40,scale=0.7] at (1.0,1.0) {\ding{34}};
\end{tikzpicture}}

% ── Exercice 2, question 5 : la courbe de f(x) = 80 - 2x^2 ────────
\newcommand{\courbef}{%
\begin{tikzpicture}[scale=1,>=stealth]
  \def\ux{1.55} \def\uy{0.048}
  \draw[black!45] (0,0) grid[xstep=0.5*\ux,ystep=10*\uy] (4.4*\ux,90*\uy);
  \draw[->,thick] (0,0) -- (4.9*\ux,0); \node[below right=1pt] at (4.9*\ux,0) {\footnotesize $x$};
  \draw[->,thick] (0,0) -- (0,96*\uy);  \node[above left=1pt] at (0,96*\uy) {\footnotesize $f(x)$};
  \foreach \x in {0,0.5,...,4.0}{
    \node[below=2pt,scale=0.9] at (\x*\ux,0) {\footnotesize \x};}
  \foreach \y in {0,10,...,80}{
    \node[left=2pt,scale=0.9] at (0,\y*\uy) {\footnotesize \y};}
  \draw[blue,very thick,samples=120,domain=0:4.4]
    plot ({\x*\ux},{(80-2*\x*\x)*\uy});
\end{tikzpicture}}

% ── Exercice 3, question 2 : le point A sur la droite graduée ─────
% L'unité est partagée en huit : chaque graduation vaut 0,125.
\newcommand{\droitegraduee}{%
\begin{tikzpicture}[scale=1,line join=round]
  \def\u{4.4}
  \draw[line width=1.4pt] (-0.30*\u,0) -- (1.55*\u,0);
  \foreach \i in {-2,-1,...,11}{
    \draw[thick] (\i*\u/8,-0.16) -- (\i*\u/8,0.16);}
  \node[below=3pt] at (0,-0.16) {\footnotesize 1};
  \node[below=3pt] at (\u,-0.16) {\footnotesize 2};
  \node[above=3pt] at (10*\u/8,0.16) {\footnotesize A};
\end{tikzpicture}}

% ── Exercice 3, question 3 : l'engrenage ──────────────────────────
\newcommand{\roue}[3]{% #1 rayon, #2 nombre de dents, #3 rayon du moyeu
  \foreach \k in {1,...,#2}{
    % les quatre angles sont calculés d'abord : une parenthèse dans une
    % coordonnée polaire serait prise par TikZ pour un nom de nœud.
    \pgfmathsetmacro{\aa}{360/#2*\k-90/#2}
    \pgfmathsetmacro{\ab}{360/#2*\k-40/#2}
    \pgfmathsetmacro{\ac}{360/#2*\k+40/#2}
    \pgfmathsetmacro{\ad}{360/#2*\k+90/#2}
    \pgfmathsetmacro{\re}{#1*1.22}
    \fill[black] (\aa:#1) -- (\ab:\re) -- (\ac:\re) -- (\ad:#1) -- cycle;}
  \fill[black] (0,0) circle (#1);
  \fill[white] (0,0) circle (#3);
}
\newcommand{\figengrenage}{%
\begin{tikzpicture}[scale=0.62,line join=round]
  \node[anchor=south] at (0.9,2.4) {\footnotesize Position initiale des roues};
  \begin{scope}[shift={(-0.55,0.55)}] \roue{1.05}{12}{0.34} \end{scope}
  \begin{scope}[shift={(1.55,-0.35)}] \roue{0.72}{8}{0.24} \end{scope}
  \node[anchor=east] at (-1.85,1.30) {\footnotesize Roue B};
  \node[anchor=west] at (2.55,0.20) {\footnotesize Roue A};
\end{tikzpicture}}

% ── Exercice 4 : la bougie cylindrique ────────────────────────────
\newcommand{\figbougie}{%
\begin{tikzpicture}[scale=0.55,line join=round,>=stealth]
  \def\rx{1.0} \def\ry{0.32} \def\h{4.0}
  \draw[thick] (-\rx,0) -- (-\rx,\h);
  \draw[thick] ( \rx,0) -- ( \rx,\h);
  \draw[thick] (0,\h) ellipse [x radius=\rx, y radius=\ry];
  \draw[thick] (-\rx,0) arc[start angle=180,end angle=360,x radius=\rx,y radius=\ry];
  \draw[thick,dashed] (-\rx,0) arc[start angle=180,end angle=0,x radius=\rx,y radius=\ry];
  \draw[thick] (0,\h+\ry) -- (0,\h+0.75);
  \node[anchor=west] at (0.12,\h+0.85) {\footnotesize la mèche};
  \draw[<->] (-1.65,0) -- (-1.65,\h);
  \node[anchor=east] at (-1.72,\h/2) {\footnotesize 12 cm};
  \draw[<->] (-\rx,-0.75) -- (\rx,-0.75);
  \node[below] at (0,-0.80) {\footnotesize 3 cm};
  \node[anchor=west] at (1.25,\h/2) {\footnotesize la bougie};
\end{tikzpicture}}

% ── Exercice 4, question 2 : le diagramme circulaire codé ─────────
% Codage : angle droit sur le secteur « Vanille » (donc 25 %) et deux
% arcs identiques marquant l'égalité des angles « Miel » et « Jasmin ».
\newcommand{\figcamembert}{%
\begin{tikzpicture}[scale=0.90,line join=round]
  \def\R{2.1}
  \draw[thick] (0,0) circle (\R);
  \foreach \a in {90,270,180,-8}{ \draw[thick] (0,0) -- (\a:\R); }
  \node at (135:1.25) {\footnotesize Lavande};
  \node at (42:1.30)  {\footnotesize Miel};
  \node at (225:1.25) {\footnotesize Vanille};
  \node at (-48:1.30) {\footnotesize Jasmin};
  % angle droit du secteur Vanille
  \draw (180:0.30) -- ($(180:0.30)+(270:0.30)$) -- (270:0.30);
  % arcs égaux : Miel et Jasmin
  \foreach \d in {0.50,0.58}{
    \draw[thick] (90:\d) arc[start angle=90,end angle=-8,radius=\d];}
  \foreach \d in {0.50,0.58}{
    \draw[thick] (-8:\d) arc[start angle=-8,end angle=-90,radius=\d];}
\end{tikzpicture}}

% ── Exercice 5 : la roue et l'urne ────────────────────────────────
\newcommand{\figroueurne}{%
\begin{tikzpicture}[scale=0.72,line join=round,>=stealth]
  \draw[thick] (0,0) circle (1.35);
  \foreach \a/\n in {135/1, 45/4, 225/2, -45/3}{
    \node at (\a:0.78) {\footnotesize \n};}
  \draw[->,line width=1.6pt] (-2.35,1.95) -- (-1.10,0.98);
  \node[below] at (0,-1.75) {\footnotesize La roue : chiffre des dizaines};
  \begin{scope}[shift={(5.4,0)}]
    \draw[thick] (-1.15,-1.15) -- (1.15,-1.15) -- (0.72,1.15) -- (-0.72,1.15) -- cycle;
    \foreach \x/\y/\n in {0/0.42/3, -0.48/-0.42/2, 0.48/-0.42/4}{
      \draw[thick] (\x,\y) circle (0.34);
      \node at (\x,\y) {\footnotesize \n};}
    \node[below] at (0,-1.75) {\footnotesize L'urne : chiffre des unités};
  \end{scope}
\end{tikzpicture}}


\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{1}{20}

\begin{enumerate}
  \item Dans le triangle EFG, le plus grand côté est [EG]. On calcule séparément :
  \[
  \mathrm{EG}^{2}=30^{2}=900 ,
  \]
  \[
  \mathrm{EF}^{2}+\mathrm{FG}^{2}=18^{2}+24^{2}=324+576=900 .
  \]
  Ces deux résultats sont égaux.

  \conclusion{d'après la réciproque du théorème de Pythagore,
  \boxed{\text{EFG est rectangle en F}}.}

  \item Dans le triangle EFG rectangle en F, l'angle $\widehat{\mathrm{EGF}}$ a pour côté opposé
  [EF] et pour côté adjacent [FG] :
  \[
  \tan\bigl(\widehat{\mathrm{EGF}}\bigr)=\frac{\mathrm{EF}}{\mathrm{FG}}=\frac{18}{24}=0{,}75 ,
  \]
  \[
  \widehat{\mathrm{EGF}}=\arctan(0{,}75)\approx36{,}87\degres .
  \]
  \conclusion{$\widehat{\mathrm{EGF}}\approx\boxed{37\degres}$ au degré près.}

  \item Deux triangles sont semblables dès qu'ils ont deux angles égaux deux à deux. Or :
  \begin{itemize}[label=$\bullet$,leftmargin=*,nosep,topsep=3pt]
    \item $\widehat{\mathrm{EGF}}=\widehat{\mathrm{LGH}}$, c'est une donnée de l'énoncé ;
    \item $\widehat{\mathrm{EFG}}=90\degres$ d'après la question 1, et
    $\widehat{\mathrm{LHG}}=90\degres$ puisque (LH) est perpendiculaire à (FH).
  \end{itemize}

  \conclusion{les triangles EGF et LGH ont deux angles égaux deux à deux : ils sont
  \boxed{\text{semblables}}.}

  \item Dans cette similitude, les sommets se correspondent ainsi : F et H portent les angles
  droits, G est commun, E correspond à L. Le coefficient est donc le rapport de deux côtés
  correspondants, par exemple [GH] et [GF] :
  \[
  k=\frac{\mathrm{GH}}{\mathrm{GF}}=\frac{38{,}4}{24}=1{,}6 .
  \]
  \conclusion{le coefficient d'agrandissement est $\boxed{1{,}6}$.}

  \smallskip
  La proposition 0,625 est son inverse : c'est le coefficient de la réduction inverse, qui
  ramènerait LHG à EFG.

  \item Le périmètre du triangle EFG vaut :
  \[
  18+24+30=72\ \text{cm} .
  \]
  Dans un agrandissement de coefficient $k$, les longueurs — donc le périmètre — sont
  multipliées par $k$ :
  \[
  72\times1{,}6=115{,}2 .
  \]
  \conclusion{le périmètre du triangle LGH est de $\boxed{115{,}2\ \text{cm}}$.}
\end{enumerate}

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{2}{21}

\textbf{Première partie}

\begin{enumerate}
  \item Le triangle AEF est rectangle et isocèle en A, donc $\mathrm{AF}=\mathrm{AE}=3$ cm. Les
  deux côtés de l'angle droit servent de base et de hauteur :
  \[
  \mathcal{A}_{\mathrm{AEF}}=\frac{3\times3}{2}=4{,}5 .
  \]
  \conclusion{l'aire du triangle AEF est de $\boxed{4{,}5\ \text{cm}^{2}}$.}

  \item L'aire du polygone est celle de la feuille, diminuée des quatre coins identiques :
  \[
  10\times8-4\times4{,}5=80-18=62 .
  \]
  \conclusion{l'aire du polygone FELKJIHG est de $\boxed{62\ \text{cm}^{2}}$.}
\end{enumerate}

\medskip
\textbf{Deuxième partie}

\begin{enumerate}[start=3]
  \item ~
  \begin{enumerate}
    \item Le triangle AEF étant rectangle isocèle en A, ses deux côtés de l'angle droit mesurent
    $x$ :
    \[
    \mathcal{A}_{\mathrm{AEF}}=\frac{x\times x}{2}=\frac{x^{2}}{2} .
    \]

    \item On retire les quatre coins à l'aire de la feuille :
    \[
    10\times8-4\times\frac{x^{2}}{2}=80-2x^{2} .
    \]
    L'aire du polygone est donc bien donnée par $80-2x^{2}$.
  \end{enumerate}

  \item La formule doit renvoyer à la cellule qui contient $x$, c'est-à-dire B1, pour rester
  valable quand on l'étire vers la droite.

  \conclusion{on a pu saisir $\boxed{\texttt{=80-2*B1\^{}2}}$.}

  \smallskip
  Vérification sur la colonne E : $80-2\times1{,}5^{2}=80-4{,}5=75{,}5$.

  \item ~
  \begin{enumerate}
    \item Une fonction affine a pour représentation une \emph{droite}. Or la courbe donnée est
    manifestement courbée, et l'expression $80-2x^{2}$ contient un terme en $x^{2}$.

    \conclusion{non, $f$ \boxed{\text{n'est pas une fonction affine}}.}

    \item On trace la droite horizontale d'ordonnée 60 et on lit l'abscisse du point où elle
    coupe la courbe.

    \conclusion{on obtient une aire de 60 cm$^{2}$ pour AE $\approx\boxed{3{,}2\ \text{cm}}$.}

    \item On résout l'équation :
    \[
    80-2x^{2}=60,\qquad -2x^{2}=-20,\qquad x^{2}=10 .
    \]
    Une longueur étant positive, on ne retient que la solution positive :
    \[
    x=\sqrt{10}\approx3{,}16 .
    \]
    \conclusion{la valeur exacte est $\boxed{\mathrm{AE}=\sqrt{10}\ \text{cm}}$, soit environ
    3,16 cm — ce qui confirme la lecture graphique.}
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{3}{20}

\begin{enumerate}
  \item Dans un tableau de proportionnalité, tous les quotients
  $\dfrac{\text{prix}}{\text{nombre}}$ doivent être égaux. On les calcule :
  \[
  \frac{1{,}10}{1}=1{,}10,\qquad
  \frac{2{,}20}{2}=1{,}10,\qquad
  \frac{3{,}30}{3}=1{,}10,\qquad
  \frac{4}{4}=1 .
  \]
  Les trois premiers coïncident, mais le dernier vaut 1 et non 1,10.

  \conclusion{l'affirmation 1 est \boxed{\text{FAUSSE}}. Quatre baguettes devraient coûter
  $4\times1{,}10=4{,}40$ \euro{} : il y a visiblement une remise sur le quatrième pain.}

  \item L'unité, entre les graduations 1 et 2, est partagée en \textbf{huit} intervalles égaux.
  Chaque graduation vaut donc :
  \[
  \frac{1}{8}=0{,}125 .
  \]
  Le point A est situé deux graduations après 2 :
  \[
  2+2\times0{,}125=2{,}25 .
  \]
  \conclusion{l'affirmation 2 est \boxed{\text{VRAIE}} : l'abscisse de A vaut 2,25, qui est bien
  un nombre décimal.}

  \item Les deux roues sont engrenées : à chaque instant, elles ont fait défiler le même nombre
  de dents. On compte donc les dents parcourues de part et d'autre :
  \[
  \text{roue A : } 8\times6=48
  \qquad\text{et}\qquad
  \text{roue B : } 12\times4=48 .
  \]
  Les deux nombres sont égaux : les roues ont bien fait défiler autant de dents l'une que
  l'autre, et se retrouvent donc dans la même position.

  \conclusion{l'affirmation 3 est \boxed{\text{VRAIE}}.}

  \smallskip
  Ce n'est toutefois pas la \emph{première} fois. Le retour à la position initiale se produit
  dès le PPCM de 8 et de 12, soit 24 dents : 3 tours pour la roue A et 2 tours pour la roue B.
  Les valeurs de l'énoncé en sont simplement le double.

  \item On développe séparément les deux membres.

  \smallskip
  Membre de gauche :
  \[
  (x+8)(2x-1)=2x^{2}-x+16x-8=2x^{2}+15x-8 .
  \]
  Membre de droite — attention au signe moins devant la parenthèse :
  \[
  2x^{2}-(8-15x)=2x^{2}-8+15x=2x^{2}+15x-8 .
  \]
  Les deux expressions réduites sont identiques.

  \conclusion{l'affirmation 4 est \boxed{\text{VRAIE}}.}
\end{enumerate}

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{4}{16}

\begin{enumerate}
  \item ~
  \begin{enumerate}
    \item La bougie est un cylindre de rayon 3 cm et de hauteur 12 cm :
    \[
    V=\pi\times3^{2}\times12=108\pi\approx339{,}29\ \text{cm}^{3} .
    \]
    Le volume d'une bougie est donc bien d'environ 339 cm$^{3}$.

    \item Le volume de cire représente les $\dfrac{9}{10}$ du volume de la bougie :
    \[
    339{,}29\times\frac{9}{10}\approx305{,}36\ \text{cm}^{3} .
    \]
    Chaque centimètre cube de cire pesant 0,7 g :
    \[
    305{,}36\times0{,}7\approx213{,}75\ \text{g} .
    \]
    \conclusion{il faut environ $\boxed{214\ \text{g}}$ de cire par bougie.}
  \end{enumerate}

  \item Le codage du diagramme donne deux renseignements. L'angle droit marqué sur le secteur
  «~Vanille~» indique que ce secteur mesure 90\degres, soit :
  \[
  \frac{90}{360}=0{,}25=25\ \% .
  \]
  Les deux arcs identiques indiquent que les secteurs «~Miel~» et «~Jasmin~» ont le même angle,
  donc le même pourcentage : le jasmin représente lui aussi 22 \%.

  \smallskip
  Le total valant 100 \% :
  \[
  100-22-22-25=31 .
  \]
  \conclusion{les bougies à la lavande représentent $\boxed{31\ \%}$ de la production de
  novembre.}

  \item Pour que la moyenne des trois mois atteigne \np{7900} bougies, la production totale doit
  valoir :
  \[
  3\times\np{7900}=\np{23700} .
  \]
  Il reste à retirer ce qui a déjà été produit :
  \[
  \np{23700}-\np{6500}-\np{8000}=\np{9200} .
  \]
  \conclusion{l'usine doit produire $\boxed{\np{9200}\ \text{bougies}}$ en mars.}
\end{enumerate}

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{5}{23}

\begin{enumerate}
  \item Le chiffre des dizaines vient de la roue (1, 2, 3 ou 4) et celui des unités de l'urne
  (2, 3 ou 4). Il y a donc $4\times3=12$ issues :
  \[
  12\ ;\ 13\ ;\ 14\ ;\ 22\ ;\ 23\ ;\ 24\ ;\ 32\ ;\ 33\ ;\ 34\ ;\ 42\ ;\ 43\ ;\ 44 .
  \]
  Les douze issues sont équiprobables : la roue a quatre secteurs de même aire et les boules
  sont indiscernables au toucher.

  \item Un nombre est impair lorsque son chiffre des unités l'est. Comme l'urne ne contient
  qu'une boule impaire, le 3, les issues favorables sont :
  \[
  13\ ;\ 23\ ;\ 33\ ;\ 43 .
  \]
  \[
  p=\frac{4}{12}=\frac{1}{3} .
  \]
  \conclusion{la probabilité d'obtenir un nombre impair est $\boxed{\dfrac{1}{3}}$.}

  \item ~
  \begin{enumerate}
    \item Les nombres inférieurs à 30 parmi les douze issues sont 12, 13, 14, 22, 23 et 24.
    Parmi eux, on cherche les nombres premiers, c'est-à-dire ceux qui n'ont que deux diviseurs :
    12, 14, 22 et 24 sont pairs donc divisibles par 2, il reste 13 et 23, qui sont bien premiers.
    \[
    p(A)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6} .
    \]
    \conclusion{$p(A)=\boxed{\dfrac{1}{6}}$.}

    \item L'évènement contraire est réalisé dans tous les autres cas :
    \[
    p(\overline{A})=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6} .
    \]
    \conclusion{$p(\overline{A})=\boxed{\dfrac{5}{6}}$.}
  \end{enumerate}

  \item Un nombre à deux chiffres est un multiple de 11 exactement lorsque ses deux chiffres
  sont égaux. Parmi les douze issues, ce sont :
  \[
  22\ ;\ 33\ ;\ 44 .
  \]
  \[
  p=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}=0{,}25 .
  \]
  La probabilité d'obtenir un multiple de 11 est donc bien égale à 0,25.

  \item ~
  \begin{enumerate}
    \item La ligne 5 tire le chiffre des unités, qui provient de l'urne : celle-ci ne contient
    que les boules 2, 3 et 4.

    \conclusion{il faut écrire «~nombre aléatoire entre $\boxed{2}$ et $\boxed{4}$~».}

    \item Le joueur gagne lorsque le nombre est un multiple de 11, c'est-à-dire — d'après la
    question 4 — lorsque les deux chiffres sont égaux.

    \conclusion{il faut écrire «~si $\boxed{\text{Chiffre des dizaines}}$ $=$
    $\boxed{\text{Chiffre des unités}}$ alors~».}

    \item Le script ne calcule pas une probabilité : il répète l'expérience 100 fois et affiche
    la \emph{fréquence} observée. Or une fréquence varie d'une simulation à l'autre — c'est la
    fluctuation d'échantillonnage.

    \conclusion{0,23 est une fréquence expérimentale, 0,25 une probabilité théorique. L'écart
    est normal ; il se réduirait si l'on remplaçait les 100 répétitions par un nombre bien plus
    grand.}
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}
