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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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% -------- PARAMÈTRES --------
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\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
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    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
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    \end{scope}
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}\\[4mm]%
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% -- Commandes personnalisées APMEP --
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
{\Large\bfseries Diplôme national du brevet\\[4pt]
Brevet des collèges — Antilles-Guyane, juin 2008}
\end{center}

\vspace{3mm}

\begin{center}
\colorbox{gray!15}{\parbox{0.85\textwidth}{\centering\Large\bfseries CORRIGÉ DE L'ÉPREUVE}}
\end{center}

\bigskip
\vspace{0,25cm} 

\textbf{\textsc{Activités numériques }\hfill 12 points} 

\bigskip 

\textbf{Exercice 1 \hfill 2 points}

\medskip
  
%En précisant les différentes étapes de calcul :
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Calculer le nombre A ci-dessous et donner le résultat sous la forme d'une fraction   irréductible :
$\text{A} = \dfrac{\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{2}}{\dfrac{17}{9} - \dfrac{1}{3}} =  \dfrac{\dfrac{4}{6} + \dfrac{3}{6}}{\dfrac{17}{9} - \dfrac{3}{9}} = \dfrac{\dfrac{7}{6}}{\dfrac{14}{9}} = \dfrac{7}{6} \times \dfrac{9}{14} = \dfrac{7 \times 3 \times 3}{2 \times 3 \times 2 \times 7} = \dfrac{3}{4}$.	 							
\item %Donner l'écriture scientifique de B :

$\text{B} = \dfrac{81 \times 10^3 \times 6 \times 10^{-10}}{18 \times 10^{-2}} = \dfrac{9\times 9 \times 6 \times 10^{-7}}{6\times 3\times 10^{-2}} = 27\times 10^{-5} = 2,7\times 10^{-4}$.	
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 2 \hfill 6 points}

\medskip
  
Voir ANNEXE 1						

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 3 \hfill 4 points}

\medskip
  
%On considère deux fonctions affines :

\[f(x) = \dfrac{4}{3}x - 3 \qquad \text{et} \qquad  g(x) =  - x + 6\]

%Le plan est muni d'un repère orthonormé (O, I, J), unité : 1~cm.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item ~%Construire les représentations graphiques des fonctions $f$ et $g$.
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-4)(7,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.5,-4)(7,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(7,5)
\psplot{1}{7}{6 x  sub}
\psplot{0}{6}{4 x mul 3 div 3 sub}
\uput[r](3.86,2.14){K}
\psline[linestyle=dashed](0,2.14)(3.86,2.14)(3.86,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\item %Soit K le point d'intersection de ces deux droites.

%Déterminer par le calcul les coordonnées du point K.
Les coordonnées de K vérifient le système d'équations :

$\left\{\begin{array}{l c l}
y&=& \dfrac{4}{3}x - 3\\
y&=&- x + 6
\end{array}\right.$, d'où $ \dfrac{4}{3}x - 3 = - x + 6$ soit $ \dfrac{4}{3}x + \dfrac{3}{3}x = 6 + 3$ puis $\dfrac{7}{3}x = 9$, \:$7x = 27$ et enfin $x = \dfrac{27}{7}$.

En remplaçant dans la deuxième équation $y = 6 - \dfrac{27}{7} = \dfrac{42}{7} - \dfrac{27}{7} = \dfrac{15}{7}$. K$\left(\dfrac{27}{7}~;~\dfrac{15}{7} \right)$.

Sur le graphique on voit que l'abscisse de K est légèrement inférieure à 4 et son ordonnée légèrement supérieure à 2.			
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Activités géométriques }\hfill 12 points} 

\bigskip 

\textbf{Exercice 1 \hfill 6 points}
 
%La figure ci-dessous n'est pas réalisée en vraie grandeur. Elle n'est pas à reproduire.
%
%\medskip
%
%\begin{center}
%\psset{unit=0.8cm}
%\begin{pspicture}(13,7)
%\psline(0,0.8)(12.8,6.6)%EACN
%\psline(0,5.8)(12.9,0.6)%MBAF
%\psline(2.9,0)(0,6.7)%NM
%\psline(4.6,0)(1.5,7)%BC
%\psline(12.5,0)(9.45,7)%EF
%\uput[r](2.15,1.78){N} \uput[ur](0.45,5.6){M} \uput[ur](2.43,4.8){B} \uput[dr](3.55,2.4){C} 
%\uput[u](5.82,3.42){A} \uput[ur](10.17,5.4){E} \uput[dl](12.1,0.9){F} 
%\end{pspicture}
%\end{center}
%Les droites (BC) et (MN) sont parallèles.\\
%On donne : AB = 4,5~cm ; AC = 3~cm ; AN = 4,8~cm et MN = 6,4~cm.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Calculer AM et BC.
Les droites (BC) et (MN) sont parallèles ; la propriété de Thalès permet donc d'écrire :

$\dfrac{\text{AB}}{\text{AM}} = \dfrac{\text{AC}}{\text{AN}}$, soit en remplaçant : $\dfrac{4,5}{\text{AM}} = \dfrac{3}{4,8}$, d'où $3\text{AM} = 4,5 \times 4,8$ et 

$\text{AM} = 1,5 \times 4,8 = 7,2$~(cm).

On sait aussi que  $\dfrac{\text{AB}}{\text{AM}} = \dfrac{\text{BC}}{\text{MN}}$, ou $\dfrac{4,5}{7,2} = \dfrac{\text{BC}}{6,4}$, d'où $\text{BC} = \dfrac{6,4 \times 4,5}{7,2} = 4$~(cm).							
\item  %On sait de plus que AE = 5~cm et AF = 7,5~cm.
On a $\dfrac{\text{AE}}{\text{AC}} = \dfrac{5}{3}$ et $\dfrac{\text{AF}}{\text{AB}} = \dfrac{7,5}{4,5} = \dfrac{75}{45} = \dfrac{15}{9} = \dfrac{5}{3}$.

On a donc $\dfrac{\text{AE}}{\text{AC}} = \dfrac{\text{AF}}{\text{AB}}$, ce qui montre par réciproque de la propriété de Thalès que les droites (EF) et (BC) sont parallèles.
%Montrer que les droites (EF) et (BC) sont parallèles. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 2 \hfill 6 points}

\medskip
 
%\parbox{0.40\linewidth}{\psset{unit=0.8cm}\begin{pspicture}(7,8)
%\psline(3.55,7.4)(0.6,0.2)(4.4,0)(6.5,0.7)(3.6,7.4)(4.4,0)%SABCSB
%\psline(1.5,2.4)(4.1,2.3)(5.6,2.7)%A'B'C'
%\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt](0.6,0.2)(6.5,0.7)(2.7,0.9)(4.4,0)%ACDB
%\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt](6.5,0.7)(0.6,0.2)(2.7,0.9)(3.55,7.4)(3.55,0.45)%CADSO
%\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt](1.5,2.4)(2.95,2.8)(5.6,2.7)%A'D'C'
%\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt](1.5,2.4)(5.6,2.7)%A'C'
%\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt](4.1,2.3)(2.95,2.8)%B'D'
%\uput[dl](0.6,0.2){A} \uput[d](4.4,0){B} \uput[dr](6.5,0.7){C} \uput[ul](2.7,0.9){D} 
%\uput[ul](1.5,2.4){A$'$} \uput[dr](4.1,2.3){B$'$} \uput[ur](5.6,2.7){C$'$} \uput[ul](2.95,2.8){D$'$}
%\uput[dr](3.5,0.45){O}  \uput[ur](3.45,2.58){O$'$}\uput[u](3.55,7.4){S}
%\end{pspicture}}
%\hfill
%\parbox{0.55\linewidth}{On considère la pyramide SABCD ci-contre : \\la base est le rectangle ABCD de centre O.\\
%AB = 40~cm et BD = 50~cm. \\
%La hauteur [SO] mesure 81 cm.
\begin{enumerate}
\item  %Montrer que AD = 30 cm.
ABCD est un rectangle, donc BAD est un triangle rectangle en A. Le théorème de Pythagore s'écrit :

$\text{BD}^2 = \text{BA}^2 + \text{AD}^2$, soit $50^2 = 40^2 + \text{AD}^2$, donc $\text{AD}^2 = 50^2 - 40^2 = (50 + 40)(50 - 40) = 90 \times 10 = 900 = 30^2$, donc $\text{AD} = 30$~cm. 	
\item  %Calculer en cm, le volume de la pyramide SABCD.
Le volume de la pyramide est :

$V_{\text{SABCD}} = \dfrac{1}{3}\times \mathcal{A}_{\text{ABCD}}\times \text{SO} = \dfrac{1}{3} \times 40 \times 30 \times 81 = 27 \times \np{1200} = \np{32400}$~cm$^3$. 		
\item  %Soit O' le point de [SO] tel que 

%SO$'$ = 54~cm.\\
%On coupe la pyramide par un plan passant par O$'$
%et parallèle  à sa base.
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle est la nature de la section A$'$B$'$C$'$D$'$ obtenue ?
La section est elle aussi un rectangle. 
		\item %La pyramide SA$'$B$'$C$'$D$'$ est une réduction de la pyramide SABCD.
		
%Donner le coefficient de réduction. 
Le coefficient de réduction est égal au rapport des hauteurs des deux pyramides soit $r = \dfrac{\text{SO}'}{\text{SO}} = \dfrac{54}{81} = \dfrac{9 \times 6}{9 \times 9} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$.
		\item %Quel est le volume de SA$'$B$'$C$'$D$'$ ?
Comme le volume fait intervenir le produit de trois longueurs le volume de la pyramide SA$'$B$'$C$'$D$'$ est celui de la pyramide SABCD multiplié par $r^3 = \left(\dfrac{2}{3} \right)^3 = \dfrac{8}{27}$.

Donc $V_{\text{SA'B'C'D'}} = \dfrac{8}{27} \times \np{32400} = \np{9600}$~cm$^3$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la tangente de l'angle $\widehat{\text{SAO}}$.
		Dans le triangle SOA rectangle en O, on a $\tan\widehat{\text{SAO}} = \dfrac{\text{SO}}{\text{AO}} = \dfrac{81}{25} = 3,24$
		\item %Donner une valeur approchée de l'angle $\widehat{\text{SAO}}$ arrondie au degré près.
La calculatrice donne  $\widehat{\text{SAO}} \approx 72,8$ soit 73\degres au degré près.
	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 %}
 
\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 12 points}

\medskip
   
%Dans ce problème, l'unité de longueur est le cm et l'unité d'aire, le cm$^2$. On utilisera une feuille de papier millimétré pour la figure.
%
%(O, I, J ) est un repère orthonormé, avec OI = OJ = 1~cm.

\begin{enumerate}
\item  ~%Placer les points suivants :
 %A$(3~;~-5)$ ;  B(1 ; 6)   et   C$(-3~;~3)$.
\begin{center}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-5,-9)(5,7)
\multido{\n=-5+1}{11}{
					\multido{\na=-9+1}{17}
						{\rput(\n,\na){$\cdot$}}
					}
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-5,-9)(5,7)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(5,7)
\psdots(3,-5)(1,6)(-3,3)%ABC
\uput[ur](3,-5){A} \uput[ur](1,6){B}\uput[ul](-3,3){C}\uput[ul](-1,-8){D}
\uput[dl](0,-1){K}
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(3,-5)(-1,-8)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(1,6)(-3,3)
\pspolygon(3,-5)(1,6)(-3,3)(-1,-8)(3,-5)(-3,3)
\end{pspicture}
\end{center}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  %Montrer par le calcul que AB $= 5\sqrt{5}$ ; AC = 10 et BC = 5.
On a $\text{AB}^2 = (1 - 3)^2 + (6 - (- 5))^2 = (- 2)^2 + 11^2 = 4 + 121 = 125$.
		
Donc $\text{AB} = \sqrt{125} = \sqrt{25\times 5} = \sqrt{25}\times \sqrt{5} = 5\sqrt{5}$. 	
On a de même  

$\text{AC}^2 = (- 3 - 3)^2 + (3 - (- 5))^2 = (- 6)^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$. On en déduit que 

$\text{AC} = \sqrt{100} = 10$.

$\text{BC}^2 = (- 3 - 1)^2 + (3 - 6)^2 = (- 4)^2 + (- 3)^2 = 16 + 9 = 25$.	On en déduit que $\text{BC} = \sqrt{25} = 5$.
		\item  %Démontrer que ABC est un triangle rectangle en C.
Or $125 = 100 + 25$ ou encore $\text{AB}^2 = \text{AC}^2 + \text{CB}^2$ qui montre d'après la réciproque du théorème de Pythagore que le triangle ABC est rectangle en C.		
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  %Construire le point D, image de A dans la translation de vecteur $\vect{\text{BC}}$.
Voir la figure plus haut. 
		\item  %Justifier que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
Par définition de la translation on a  $\vect{\text{BC}} = \vect{\text{AD}}$ ce qui montre que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.	
		\item  %Recopier et compléter sans justifications les égalités :
		
$\vect{\text{AC}} + \vect{\text{CB}} = \vect{\text{AB}} \qquad ; \qquad \vect{\text{BA}} + \vect{\text{BC}} = \vect{\text{BD}}$.
	\end{enumerate}

\item  %Calculer les coordonnées du vecteur $\vect{\text{BC}}$.
$\vect{\text{BC}}(- 3 - 1~;~3 - 6)$ soit  $\vect{\text{BC}}(- 4~;~- 3)$.					
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Calculer l'aire du parallélogramme ABCD.
Les droites (BC) et (AD) sont parallèles ; la droite (AC) perpendiculaire à (BC) est perpendiculaire à l'autre (AD).

D'autre part par définition de la translation BC = AD, donc les triangles rectangles ABC et ACD ont les mesures de côtés, donc la même aire. L'aire du parallélogramme ABCD est donc égale au double de l'aire du triangle rectangle ABC, soit $2 \times \text{AC} \times \text{BC} = 2 \times 10 \times 5 = 100$~cm$^2$.
		 \item %Soit K le centre de symétrie du parallélogramme ABCD.
		 
%Calculer les coordonnées du point K.
K est le point commun aux deux diagonales donc le milieu de [AC] par exemple, donc K$\left(\dfrac{3 + (-3)}{2}~;~\dfrac{-5 + 3}{2} \right)$, soit K$(0~;~- 1)$.
    \end{enumerate}	 			
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE 1}

\bigskip

LE CANDIDAT RÉPONDRA DIRECTEMENT SUR CETTE FEUILLE.

CETTE FEUILLE ANNEXE SERA REMISE AVEC LA COPIE.
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 2   \hfill 6 points}

\medskip
 
%Pour chaque ligne du tableau suivant, 4 réponses (A, B, C et D) sont proposées.
%
%Écrire dans la dernière colonne la (ou les) lettre(s) correspondant à la (ou les) bonne(s) réponse(s).
%
%\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{2}
{\footnotesize \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.3cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}l|}\hline
Énoncé&Réponse A&Réponse B&Réponse C&Réponse D&Réponse\\ \hline
\rule[-3mm]{0pt}{-5pt}$\dfrac{6 + 3}{7 + 3}$&$\dfrac{6}{7}$&0,9&$\dfrac{6}{7} + 1$&$\dfrac{9}{10}$&B\\ \hline
En développant $(3x~+~6)^2$, on obtient&\scriptsize$3x^2 + 36x + 36$&$9x^2 + 36$&\scriptsize$9x^2 + 36x + 36$&$45x + 36$&C\\ \hline
En factorisant $16x^2~-~4$, on obtient&$(4x-2)^2$&\scriptsize$(4x-2)(4x+2)$&$(4x + 2)^2$&\scriptsize $(16x~-~2) (16x + 2)$&B\\ \hline
$\sqrt{16} \times \sqrt{5}$&$\sqrt{16 \times 5}$&$\sqrt{16 + 5}$
&$5\sqrt{4}$&$4\sqrt{5}$&D\\ \hline
$\sqrt{9 + 16 + 25} =$&$3 + 4 + 5$&$\sqrt{50}$&\scriptsize$\sqrt{9} + \sqrt{16} + \sqrt{25}$&$7,07$&B\\ \hline
La fonction affine $f$ vérifie : $f(0) = 1$ et $f(1) = 2$. $f$ est définie par&$f(x) = x - 1$& $f(x) = x + 1$&$f(x) = 3x - 1$&$f(x) = 3 - x$&B\\ \hline
\end{tabularx}}

\end{document}
