\documentclass[a4paper,11pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[a4paper,top=3.2cm,bottom=2cm,left=2cm,right=2cm]{geometry}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text,calc,patterns,arrows.meta}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{pifont}
\usepackage{scratch3}
\usepackage[np]{numprint}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{tgheros}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{lscape}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{colortbl}
\usepackage{makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{marvosym}
\usepackage{ifthen}
\usepackage{xspace}
\usepackage{cancel}

\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add,pst-eucl,pst-node,pst-slpe,pst-grad,pst-fun}

\newcommand{\euro}{\texteuro}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\providecommand{\degres}{\textdegree}
\providecommand{\up}[1]{\textsuperscript{#1}}

% -------- PARAMÈTRES --------
\newcommand{\titre}{Brevet des collèges}
\newcommand{\soustitre}{Antilles-Guyane -- juin 2009}
\newcommand{\monurl}{https://site2wouf.fr}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{84pt}
\setlength{\headsep}{10pt}
\renewcommand{\headrule}{{\color{gray!25}\hrule width\headwidth height\headrulewidth}}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.65\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.18\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.7cm]{\monurl}
\end{minipage}%
}\\[4mm]%
}

% -- Commandes personnalisées APMEP --
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
{\Large\bfseries Diplôme national du brevet\\[4pt]
Brevet des collèges — Antilles-Guyane, juin 2009}
\end{center}

\vspace{3mm}

\begin{center}
\colorbox{gray!15}{\parbox{0.85\textwidth}{\centering\Large\bfseries CORRIGÉ DE L'ÉPREUVE}}
\end{center}

\bigskip
\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Activités numériques }\hfill 12 points} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 1 \hfill 3 points}
 
\medskip
 
%Au stand d'une fête foraine, un jeu consiste à tirer au hasard un billet de loterie dans un sac contenant exactement  180 billets.
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item 4 de ces billets permettent de gagner un lecteur MP3. 
%\item 12 permettent de gagner une grosse peluche. 
%\item 36 permettent de gagner une petite peluche. 
%\item 68 permettent de gagner un porte-clés. 
%\item Les autres billets sont des billets perdants. 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%Quelle est la probabilité pour un participant : 
\begin{enumerate}
\item %de gagner un lecteur MP3 ?
La probabilité est égale à $\dfrac{4}{180} = \dfrac{1}{45}$. 
\item %de gagner une peluche (grande ou petite) ? 
La probabilité est égale à $\dfrac{12+36}{180} = \dfrac{48}{180} = \dfrac{8}{30} = \dfrac{4}{15}$. 
\item %de ne rien gagner ? 
La probabilité est égale à $\dfrac{180 - (4 + 12 + 36 + 68}{180} = \dfrac{70}{180} = \dfrac{7}{18}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 2 \hfill 6 points}

Les 3 questions de cet exercice sont indépendantes
 
\begin{enumerate}
\item %Soit A $= \dfrac{3 \times  10^5 \times  4 \times  \left(10^{-3}\right)^2} {16 \times  10^{-4}}$.
 
%Donner l'écriture décimale de A puis son écriture scientifique.
A $= \dfrac{3 \times  10^5 \times  4 \times  \left(10^{-3}\right)^2} {16 \times  10^{-4}} = \dfrac{12}{16} \times 10^5 \times 10^{-6} \times 10^4 = \dfrac{3}{4} \times 10^{9-6} = 0,75 \times 10^3 = 750 = 7,5 \times 10^2$. 
\item  %On pose $E = 16 - (5x - 3)^2$.  
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la valeur de $E$ pour $x = -1$.
$16 - (5 \times ( -1) - 3)^2 = 16 - (- 5 - 3)^2 = 16 - 64 = - 48$. 
		\item %Développer et réduire $E$.
$E = 16 - (5x - 3)^2 = 16 - (25x^2 + 9 - 30x) = 16 - 25x^2 - 9 + 30x = - 25x^2 + 30x + 7$. 
		\item %Factoriser $E$.
$E = 16 - (5x - 3)^2 = 4^2 - (5x - 3)^2 = [4 + (5x - 3)][4 - (5x - 3)] = (4 + 5x - 3)(4 - 5x + 3) = (5x + 1)(7 - 5x)$.
	\end{enumerate} 
\item %Les phrases suivantes sont-elles vraies ou fausses ?  Justifier  vos réponses.  
	\begin{enumerate}
		\item %La somme de deux multiples de 5 est un multiple de 5.
		Vrai : un multiple de 5 s'écrit $5x,\:x$ étant un entier et $5a + 5b = 5(a + b)$.  
		\item %Si 2 et 3 sont deux diviseurs d'un nombre entier, leur somme 5 est un diviseur de ce nombre.
Faux : 2 et 3 divisent 6 et 5 ne divise pas 6.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 3 \hfill 3 points}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer le PGCD de \np{1394} et de 255.
Algorithme d'Euclide :

$\np{1394} = 255 \times 5 + 119$ ;

$255 = 119 \times 2 + 17$ ;

$119 = 17 \times 7 + 0$.

Le PGCD est donc égal à 17.  
\item %Un artisan dispose de \np{1394} graines d'açaï et de 255 graines de palmier pêche.
 
%Il veut réaliser des colliers identiques, c'est-à-dire contenant chacun le même nombre de graines d'açaï et le même nombre de graines de palmier pêche.  
	\begin{enumerate}
		\item %Combien peut-il réaliser au maximum de colliers en utilisant toutes ses graines ? 
Le plus grand nombre de colliers est égal à 17. 
		\item %Dans ce cas, combien chaque collier contient-il de graines d'açaï et de graines de palmier pêche ?
Comme $\np{1394} = 17 \times 82$ et $255 = 17 \times 15$, chacun des 17 colliers contient 82 graines d'açaï et 15 graines de palmier pêche.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

 \textbf{\textsc{Activités géométriques}\hfill 12 points} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 1 \hfill 6 points}

\medskip
 
Voir ANNEXE 1. 
 
\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 2 \hfill 6 points}

\medskip

%JKL est un triangle tel que : JK = 6~cm ;  JL = 3,6~cm et KL = 4,8~cm.
% 
%J est un point du segment [IK] et IJ = 9~cm.
% 
%$\mathcal{C}$ est le cercle de diamètre [IJ].
% 
%La droite (JL) coupe le cercle $\mathcal{C}$ en M 
%
%\begin{center}
%\psset{unit=0.8cm}
%\begin{pspicture}(11,7.5)
%
%\psline(0,4)(10.4,4)(7.7,6)(3.4,0.4)
%\uput[l](0,4){I}\uput[dr](6.2,4){J}\uput[dr](4,1){M}\uput[r](10.4,4){K}
%\uput[ul](7.7,6){L}\uput[ur](5,6.4){$\mathcal{C}$}
%\psline(0,4)(3.9,1)
%\pscircle(3.1,4){3.1}
%\end{pspicture}
%\end{center}
% 
%\emph{La figure n'est pas en vraie grandeur et il n'est pas demandé de la reproduire} 
 
\begin{enumerate}
\item %Démontrer que le triangle JKL est rectangle.
$\text{JK}^2 = 6^2 = 36$.

$\text{JL}^2 + \text{LK}^2 = 3,6^2 + 4,8^2 = 12,96 + 23,04 = 36$.

On a donc $\text{JK}^2 = \text{JL}^2 + \text{LK}^2$, donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle JLK est rectangle en L. 
\item %Justifier que le triangle IJM est rectangle. 
IJM est inscrit dans le cercle dont un diamètre est l'un de ses côtés : il est donc rectangle d'hypoténuse [IJ]. (ou encore $\widehat{\text{IMJ}}$ angle inscrit a pour mesure la moitié de l'angle au centre qui intercepte le même arc, qui est est donc un angle plat : il a pour mesure 90\degres.)
\item %Déterminer la longueur JM.
Les droites (LK) et (IM) sont toutes les deux perpendiculaire à la droite (LM) : elles sont donc parallèles.

La propriété de Thalès permet d'écrire l'égalité des quotients :

$\dfrac{\text{JL}}{\text{JM}} = \dfrac{\text{JK}}{\text{JI}}$ , soit $\dfrac{3,6}{\text{JM}} = \dfrac{6}{9}$ ; donc $6\text{JM} = 9 \times 3,6$ et $\text{JM} = \dfrac{9 \times 3,6}{6} = 9 \times 0,6 = 5,4$~(cm).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 12 points} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie A}

\medskip 
 
%Julien dispose de 15 jours de vacances. Il contacte l'agence de voyages \og ALAVOILE \fg{}   pour préparer une croisière en voilier au départ de Fort de France. L'agence lui propose deux formules :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] Formule A : 75~\euro{} par jour de croisière. 
%\item[$\bullet~$] Formule B : un forfait de 450~\euro{} puis 25~\euro{} par journée de croisière.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm} 
 
\begin{enumerate}
\item %Recopier et compléter le tableau suivant :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{4.2cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline  
Nombre de jours						&5		&8		&14			&$x$\\ \hline% 
Prix (en \euro) avec la formule A	&375 	&600	&\np{1050}	&$75x$\\ \hline%   
Prix (en \euro) avec la formule B	&575 	&650	&800		&$25x + 450$\\ \hline%
\end{tabularx}
\medskip   
 
\item %Avec 750~\euro, combien de jours Julien peut-il partir avec la formule B ? Justifier votre réponse.  
Il faut trouver une solution à l'équation :

$25x + 450 = 750$ ou $25x = 300$ et $x = \dfrac{300}{25} = 12$~(jours). 
\item %On note $f$ et $g$ les fonctions définies par :
 
%\[f(x) = 25x + 450 \quad   \text{et} \quad   g(x) = 75x.\]
 
%Dans le repère de l'ANNEXE 2 (à remettre avec la copie), représenter graphiquement les fonctions $f$ et $g$ pour $x$ compris entre 0 et 15.
 
%Les unités choisies sont :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item 1~cm pour un jour sur l'axe des abscisses. 
%\item 1~cm  pour 50~\euro{} sur l'axe des ordonnées. 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
 
\item %Par lecture graphique, déterminer à partir de combien de jours la formule B devient plus avantageuse que la formule A. 

%\textbf{(On laissera apparents les pointillés permettant la lecture).}  
Pour 9 jours, les deux formules reviennent au même prix.

À partir de 10 jours la formule B devient la plus avantageuse. 
\item %Julien décide finalement de faire une croisière de 7 jours.  
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer, par lecture graphique, la formule la plus intéressante pour lui et le prix correspondant.
		 
%\textbf{(On laissera apparents les pointillés permettant la lecture)}
Pour 7 jours la formule la plus avantageuse est la formule A (675~\euro). 
		\item %Par son comité d'entreprise, Julien obtient une réduction de 5\:\% sur le prix de cette croisière.
 
%Combien vont lui coûter finalement ses vacances ?
Le comité d'entreprise prend à sa charge $0,05 \times 675 = 33,75$~\euro.

Il ne paiera donc que : $675 - 33,75 = 641,25$~\euro.
	\end{enumerate}  
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip 
 
%Le départ de la croisière choisie par Julien a lieu le 10~juillet (entre 0~h et 12~h).
% 
%Le graphique ci-dessous décrit les variations de la hauteur de la mer dans le port de Fort de France selon l'heure de la matinée (entre 0~h et 12~h) du 10 juillet.
%
%\medskip 
% 
%\begin{center}
%\psset{xunit=1cm,yunit=2.5cm}
%\begin{pspicture}(0,1)(12,4.2)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Ox=0,Dx=6,Oy=1,Dy=1]{->}(0,1)(12,4.2)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Ox=0,Dx=6,Oy=1,Dy=1](0,1)(12,4.2)
%
%\multido{\n=0+0.5}{25}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=lightgray](\n,1)(\n,4.2)}
%\multido{\n=0+1}{13}{\psline[linewidth=0.5pt](\n,1)(\n,4.2)}
%\multido{\n=1+0.2}{17}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=lightgray](0,\n)(12,\n)}
%\multido{\n=1+1}{4}{\psline[linewidth=0.5pt](0,\n)(12,\n)}
%\uput[r](0,4.25){Hauteur d'eau (en m)}
%\uput[u](12,1){Heure (en h)}
%\pscurve[linewidth=1pt,linecolor=blue](0,3.44)(1,3.4)(2,3)(3,2.42)(4,2)(5,1.8)(6,1.97)(7,2.7)(8,3.42)(9,3.78)(10,3.95)(10.5,4)(11,3.95)(12,3.8) 
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Le voilier ne peut sortir du port que si la hauteur d'eau dépasse 3,20 mètres. Quels sont les tranches horaires de départs possibles pour ce voilier ?
Il peut sortir de 0 à 1 hou à peu près après 8 h.  
\item %Finalement, le skipper du voilier décide de partir lorsque la hauteur d'eau est maximale. À quelle heure va partir Julien ?
Il partira à 10~h 30.  
\end{enumerate} 

\newpage

\textbf{LE CANDIDAT REPONDRA DIRECTEMENT SUR LES FEUILLES ANNEXE 1 et 2}

\medskip

\begin{center} \textbf{ANNEXE 1 (à rendre avec la copie) }\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 1 \qquad   6 points}

\medskip
 
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n'est demandée.\\ 
Pour chacune des questions, quatre réponses} (A, B, C \emph{et} D) \emph{sont proposées et une seule est exacte.}
 
Écrire dans la dernière colonne la lettre correspondant à la bonne réponse.

\medskip 

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|p{4.7cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\cline{3-7}
\multicolumn{2}{c|}{}&\multicolumn{4}{|c|}{Réponses proposées}& \\ \cline{3-6}
\multicolumn{2}{c|}{}&A &B &C &D& \\ \hline%
\textbf{1.}&  \begin{tabular}{p{2.2cm} p{2.2cm}} 
\textbf{a.} SABCD est une pyramide à base carrée ABCD et de sommet S.\\  
 Le triangle ABC est :& 
\psset{unit=0.5cm}\begin{pspicture}(4.4,4.4)
\psline(2,3.7)(0.2,0.6)(3,0.3)(3.9,1.05)(2,3.7)(3,0.3)%SABCSB
\psline[linestyle=dashed](2,3.7)(1.1,1.35)(0.2,0.6)%SDA
\psline[linestyle=dashed](1.1,1.35)(3.9,1.05)%DC
\uput[u](2,3.7){\footnotesize  S}\uput[d](0.2,0.6){\footnotesize  A}\uput[dr](3,0.3){\footnotesize B}\uput[d](3.9,1.05){\footnotesize C}\uput[ur](1.1,1.35){\footnotesize D}
\end{pspicture}\\ \end{tabular}&\footnotesize Ni rectangle, ni isocèle&\footnotesize Rectangle et isocèle&\footnotesize Rectangle, non isocèle&\footnotesize Isocèle, non rectangle&B \\ \hline  
&\textbf{b.}  On coupe cette pyramide par un plan parallèle à sa base.
 
La section obtenue est un :&\footnotesize parallé\-logramme non rectangle& 
\footnotesize triangle isocèle&\footnotesize  rectangle non carré&\footnotesize carré&D \\ \hline  
\textbf{2.}& Un cylindre de révolution a pour rayon 3~cm et pour 
hauteur 10~cm.
  
Le volume de ce cylindre, exprimé en cm$^3$, est :&   
$10\pi$& $20\pi$& $30\pi$& $90\pi$&D \\ \hline  
\textbf{3.}& Un rectangle A$'$B$'$C$'$D$'$ d'aire 24~cm$^2$ est 
l'agrandissement à l'échelle 1,25 d'un rectangle ABCD.
 
L'aire du rectangle ABCD, exprimée en cm$^2$, est :&  15,36& 19,2& 30& 37,5&A \\ \hline  
\textbf{4.}& \psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(4,2)
\pspolygon(1,1.8)(0.3,0.4)(4,0.4) 
\uput[l](1,1.8){E} \uput[ul](0.3,0.4){F} \uput[ur](4,0.4){G} \uput[d](2,0.4){5} \uput[l](0.7,1.2){$\sqrt{7}$}
\rput{-25}(1,1.8){\psframe(0.3,-0.3)} 
\end{pspicture}  
 
La valeur exacte de EG est : & $2\sqrt{3}$& $3\sqrt{2}$& $4\sqrt{2}$& 18&B \\ \hline  
\textbf{5.}&  \psset{unit=0.8cm}\begin{pspicture}(4.5,2.6)
\pspolygon(0.2,2)(4.4,2)(3.1,0)
\uput[u](0.2,2){D} \uput[u](4.4,2){N} \uput[r](3.1,0){B} \uput[u](2.5,2){7,8~cm} \uput[l](1.8,0.7){5,2~cm}
\rput{56}(3.1,0){\psframe(0.3,0.3)} 
\psarc(4.4,2){2mm}{180}{232}
\end{pspicture}  
 
L'arrondi au degré de la mesure de l'angle $\widehat{\text{DNB}}$ est :  &34\degres &41\degres& 42\degres&48\degres&C\\ \hline
\end{tabularx}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE 2 (à rendre avec la copie)}

\vspace{1.5cm}

\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.015cm}
\begin{pspicture}(16,1200)

\uput[d](14.5,-30){Nombre de jours}
\uput[r](-0.2,1225){Prix (en \euro)}
\uput[l](0,50){50}\uput[dl](0,0){0}
\multido{\n=0+0.5}{33}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,1200)}
\multido{\n=0+1}{17}{\psline[linewidth=0.5pt](\n,0)(\n,1200)}
\multido{\n=0+25}{49}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=lightgray](0,\n)(16,\n)}
\multido{\n=0+50}{25}{\psline[linewidth=0.5pt](0,\n)(16,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=50]{->}(0,0)(16,1200)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=50](0,0)(16,1200)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{16}{75 x mul}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{16}{25 x mul 450 add}
\psset{arrowsize=3pt 4}
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](9,0)(9,675)(0,675)
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](7,0)(7,525)(0,525)
\rput{56}(1.5,130){\blue $g(x) = 75x$}\rput{28}(1.5,500){\red $f(x) = 25x + 450$}
\end{pspicture}
\end{center}  

\end{document}
