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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
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% -------- PARAMÈTRES --------
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\newcommand{\soustitre}{Antilles-Guyane, 30 juin 2026}
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\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
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            text along path,
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    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
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            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
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}\\[4mm]%
}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
{\Large\bfseries Diplôme national du brevet\\[4pt]
Antilles-Guyane, 30 juin 2026}
\end{center}

\vspace{3mm}

\begin{center}
\colorbox{gray!15}{\parbox{0.85\textwidth}{\centering\Large\bfseries CORRIGÉ DE L'ÉPREUVE}}
\end{center}

\bigskip


\section*{\centering PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES (6 points)}

\subsection*{Question 1}
Le point A a pour coordonnées $(-2\,;\,2)$.

\subsection*{Question 2}
Le symétrique de K par la symétrie de centre O est le point tel que O soit le milieu de $[\text{K}\ldots]$.
En partant de K$(6\,;\,6)$ et de O$(4\,;\,4)$, on obtient le point $(2\,;\,2)$, c'est-à-dire le point
\textbf{M}.

\subsection*{Question 3}
[BD] est la hauteur issue de B relative à la base [AC], donc l'aire du triangle est
$\dfrac{\text{AC} \times \text{BD}}{2}$. \textbf{Réponse B}.

\subsection*{Question 4}
Sur les $10$ lancers, « pile » apparaît $4$ fois : la fréquence est $\dfrac{4}{10}$. \textbf{Réponse C}.

\subsection*{Question 5}
La moitié de $n$ s'écrit $\dfrac{n}{2}$. \textbf{Réponse D}.

\subsection*{Question 6}
$\dfrac{1}{10}$ d'heure $= \dfrac{60}{10} = 6$ minutes. \textbf{Réponse C}.

\subsection*{Question 7}
La moyenne est $\dfrac{10 + 10 + 12 + 16}{4} = \dfrac{48}{4} = 12$.

\subsection*{Question 8}
Le triangle est isocèle (deux côtés codés égaux) et l'angle au sommet principal mesure $120\degres$.
Les deux angles à la base sont égaux, et leur somme vaut $180\degres - 120\degres = 60\degres$ :
chacun mesure donc $x = \dfrac{60\degres}{2} = 30\degres$.

\subsection*{Question 9}
$t = \dfrac{d}{v} = \dfrac{15}{20} = 0{,}75$ h, soit $0{,}75 \times 60 = 45$ min.

\bigskip

\section*{\centering DEUXIÈME PARTIE (14 points)}

\section*{Exercice 1}
\begin{enumerate}
\item Les points T, A et M sont alignés (A est sur la droite (TM)), avec A entre T et M. Donc
$\text{AM} = \text{TM} - \text{AT} = 7{,}7 - 2{,}2 = 5{,}5$ m.

\item Le triangle ABM est rectangle en A, donc d'après le théorème de Pythagore
$\text{MB}^2 = \text{AB}^2 + \text{AM}^2$, d'où
\[
\text{AB}^2 = \text{MB}^2 - \text{AM}^2 = 7{,}3^2 - 5{,}5^2 = 53{,}29 - 30{,}25 = 23{,}04,
\]
donc $\text{AB} = \sqrt{23{,}04} = 4{,}8$ m.

\item Dans le triangle ABM rectangle en A, [AM] est le côté opposé et [AB] le côté adjacent à l'angle
$\widehat{\text{ABM}}$ :
\[
\tan\big(\widehat{\text{ABM}}\big) = \dfrac{\text{AM}}{\text{AB}} = \dfrac{5{,}5}{4{,}8},
\quad\text{donc}\quad \widehat{\text{ABM}} \approx 49\degres.
\]

\item Les droites $(\text{TM})$ et $(\text{BE})$ sont sécantes en A. Calculons les rapports :
\[
\dfrac{\text{AT}}{\text{AM}} = \dfrac{2{,}2}{5{,}5} = 0{,}4 \qquad\text{et}\qquad
\dfrac{\text{AE}}{\text{AB}} = \dfrac{1{,}92}{4{,}8} = 0{,}4.
\]
Comme $\dfrac{\text{AT}}{\text{AM}} = \dfrac{\text{AE}}{\text{AB}}$ (et que les points sont alignés dans le
même ordre de part et d'autre de A), d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites
$(\text{TE})$ et $(\text{BM})$ sont \textbf{parallèles}.

\item Le rapport de l'homothétie de centre A qui transforme le triangle AET en ABM est
$\dfrac{\text{AB}}{\text{AE}} = \dfrac{4{,}8}{1{,}92} = 2{,}5$ en valeur absolue. Comme les points E et B
sont de part et d'autre de A (le triangle est « retourné »), le rapport est négatif :
\textbf{Proposition 3}, soit $-2{,}5$.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2}
\begin{enumerate}
\item En partant de $1$ : $1 - 2 = -1$ ; $-1 \times 5 = -5$ ; le triple du nombre de départ est
$3 \times 1 = 3$, d'où $-5 + 3 = -2$. On obtient bien $-2$.

\item \textbf{a.} En partant de $x$ : $(x - 2) \times 5 + 3x = 5x - 10 + 3x = 8x - 10$.

\textbf{b.} On résout $8x - 10 = 0 \iff 8x = 10 \iff x = \dfrac{10}{8} = 1{,}25$.

\item \textbf{a.} Avec le nombre $1$ : $4 \times 1 = 4$ ; $4 - 5 = -1$ ; $2 \times (-1) = -2$.
Le résultat est $-2$.

\textbf{b.} En partant de $x$, le programme B calcule $4x$, puis $4x - 5$, puis $2(4x - 5) = 8x - 10$.
On obtient exactement le même résultat que le programme A pour tout nombre $x$.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3}
\begin{enumerate}
\item Avec le tarif B : $15 + 3{,}5 \times 12 = 15 + 42 = 57$\,\euro.

\item $f : x \mapsto 15 + 3{,}5x$ représente le \textbf{tarif B} ; $g : x \mapsto 64$ représente le
\textbf{tarif C} ; $h : x \mapsto 5{,}5x$ représente le \textbf{tarif A}.

\item $(d_2)$ est horizontale (prix constant $64$) : c'est $g$ (tarif C).
$(d_3)$ passe par l'origine : c'est $h$ (tarif A).
$(d_1)$ coupe l'axe des ordonnées en $15$ : c'est $f$ (tarif B).

\item $(d_1)$ représente la fonction $f : x \mapsto 15 + 3{,}5x$ ; elle ne passe pas par l'origine
(pour $x = 0$, le prix est $15 \neq 0$). Ce n'est donc \textbf{pas} une situation de proportionnalité.

\item Graphiquement, les droites $(d_1)$ et $(d_3)$ se croisent vers $x = 7{,}5$. Le tarif B devient
plus avantageux que le tarif A à partir de \textbf{8 demi-journées}.

\item \textbf{a.} En cellule B2 on saisit \verb!=15+3,5*B1!.

\textbf{b.} D'après le tableau, le tarif B atteint $64$\,\euro{} pour $14$ demi-journées, puis dépasse
$64$\,\euro. Le tarif C (forfait à $64$\,\euro) devient donc plus avantageux à partir de
\textbf{15 demi-journées}.
\end{enumerate}

\end{document}
