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        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
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% -- Commandes personnalisées APMEP --
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
{\Large\bfseries Diplôme national du brevet\\[4pt]
Brevet des collèges — Antilles-Guyane, septembre 2008}
\end{center}

\vspace{3mm}

\begin{center}
\colorbox{gray!15}{\parbox{0.85\textwidth}{\centering\Large\bfseries CORRIGÉ DE L'ÉPREUVE}}
\end{center}

\bigskip
\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  %A $ =  \dfrac{2}{13} - \dfrac{5}{13} :  \dfrac{10}{16}$.
 
%Calculer A en donnant le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
A $ =  \dfrac{2}{13} - \dfrac{5}{13} :  \dfrac{10}{16} = \dfrac{2}{13} - \dfrac{5}{13} \times   \dfrac{16}{10} = \dfrac{2}{13} - \dfrac{8}{13} = - \dfrac{6}{13}$. 
\item %B $ = \dfrac{5 \times 10^{-7} \times 39 \times 10^4 }{1,3 \times 10^{-5}}$.
	\begin{enumerate}
		\item  %Calculer B sous forme décimale.
B $ = \dfrac{5 \times 10^{-7} \times 39 \times 10^4 }{1,3 \times 10^{-5}} = \dfrac{195\times 10^{-3}}{1,3 \times 10^{- 5}} = 150 \times 10^2  = \np{15000}$. 
		\item  %Donner le résultat sous la forme d'une écriture scientifique.
B $= 1,5 \times 10^4$.
	\end{enumerate}
\item %C $ = 5\sqrt{12}+ \sqrt{27} - 10\sqrt{3}$.
 
%Écrire C sous la forme $a\sqrt{b}$, où $a$ et $b$ sont deux nombres entiers.
C $ = 5\sqrt{12}+ \sqrt{27} - 10\sqrt{3} =  5\sqrt{4\times 3}+ \sqrt{9\times 3} - 10\sqrt{3} = 5\sqrt{4}\sqrt{3} + \sqrt{9}\sqrt{3} - 10\sqrt{3} = 10\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 10\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
%Voici les effectifs et les salaires des employés d'une Petite et Moyenne Entreprise (PME).

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.8cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Catégorie 		&Ouvrier simple&Ouvrier qualifié&Cadre moyen&Cadre supérieur&
Dirigeant\\ \hline 
Effectif 		&50 			&25 		&15 		&10 		&2  \\ \hline 
Salaire en euros&950 			&\np{1300} 	&\np{1700} 	&\np{3500} 	&\np{8000}  \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 
 
\begin{enumerate}
\item %Quel est l'effectif de cette PME ?
L'effectif total est égal à :

$50 + 25 +  15 + 10 + 2 = 102$. 
\item %Calculer le salaire moyen arrondi à l'unité.
La moyenne est égale à :

$\dfrac{50\times 950 + 25 \times \np{1300} + 15 \times \np{1700} + 10 \times \np{3500} + 2\times \np{8000}}{102} = \dfrac{\np{156500}}{102} \approx \np{1534,31}$ soit \np{1534}~\euro{} à l'euro près.
\item %Déterminer l'étendue des salaires.
L'étendue est égale à $\np{8000} - 950 = \np{7050}$ 
\item %Les dirigeants décident une augmentation de 8\,\% du montant du salaire d'un ouvrier simple.
 
%Calculer le nouveau salaire de cet ouvrier.
Le  nouveau salaire d'un ouvrier simple est égal à :

$950 \times \left(1 + \dfrac{8}{100}\right) = 950 \times \dfrac{108}{100} = 977,4$ soit 977,40~\euro.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip
 
On considère l'expression $\text{D} =  (2x + 3)^2 + (x - 5)(2x + 3).$

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Développer et réduire l'expression D.
$\text{D} =  (2x + 3)^2 + (x - 5)(2x + 3) = 4x^2 + 9 + 12x + 2x^2 + 3x - 10x - 15 = 6x^2 + 5x - 6.$ 
\item %Factoriser l'expression D.
$\text{D} =  (2x + 3)^2 + (x - 5)(2x + 3) = (2x + 3)[(2x + 3) + (x - 5)] = (2x + 3)(2x + 3 + x - 5) = (2x + 3)(3x - 2).$ 
\item %Résoudre l'équation $\text{D} = 0$.
Pour résoudre l'équation on part de l'expression factorisée :

$(2x + 3)(3x - 2) = 0 $ si $2x + 3 = 0$ ou $3x - 2 = 0$, donc 

si $x = - \dfrac{3}{2}$ ou $x =  \dfrac{2}{3}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Supprimé en conformité avec le nouveau programme

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item ~%Construire un triangle PQR rectangle en P et tel que PR = 6~cm, QR = 7,5~cm.
\begin{center}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-8,-4)(7,4)
%\psgrid
\psarc(0,0){3.75}{0}{180}
\psarc(-3.75,0){6}{30}{50}
\psarc(-3.75,0){4.8}{210}{230}
\psarc(1.03,3.6){8.1}{-60}{-40}
\pspolygon(-3.75,0)(3.75,0)(1.03,3.6)%RQP
\psline(-3.75,0)(-8.53,-3.6)
\psline(3.75,0)(6.47,-3.6)
\uput[l](-3.75,0){R}\uput[r](3.75,0){Q}\uput[u](1.03,3.6){P}
\uput[l](-7.6,-2.9){O}\uput[r](5.9,-2.95){L}
\end{pspicture}
\end{center} 
\item %Montrer par le calcul que PQ = 4,5~cm.
Dans le triangle PQR rectangle en P, le théorème de Pythagore s'écrit :

$\text{QR}^2 = \text{QP}^2 + \text{PR}^2$ soit  $\text{QP}^2 = \text{QR}^2 - \text{PR}^2 = 7,5^2 - 6^2 = 56,25 - 36 = 20,25$, donc $\text{QP} = \sqrt{20,25} = 4,5$~cm.
\item %Sur la demi-droite [PR), placer le point O tel que PO = 10,8~cm. Sur la demi-droite [PQ), placer le point L tel que PL = 8,1~cm.
Voir ci-dessus. 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que les droites (RQ) et (OL) sont parallèles.
		On a $\dfrac{\text{PR}}{\text{PO}} = \dfrac{6}{10,8} = \dfrac{60}{108} = \dfrac{10}{18} = \dfrac{5}{9}$ ;  $\dfrac{\text{PQ}}{\text{PL}} = \dfrac{4,5}{8,1} = \dfrac{45}{81} = \dfrac{5}{9}$.
		
On a donc  $\dfrac{\text{PR}}{\text{PO}} = \dfrac{\text{PQ}}{\text{PL}}$ ce qui montre par la réciproque de la propriété de Thalès que les droites (RQ) et (OL) sont parallèles.
		\item %Calculer OL.
On sait que l'on a aussi $\dfrac{\text{QR}}{\text{OL}} = \dfrac{5}{9}$, donc $\text{OL} = \dfrac{9 \times 7,5}{5} = 9 \times 1,5 = 13,5$~cm.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item ~%Tracer un cercle $\mathcal{C}$ de diamètre AB = 8~cm, puis placer un point F sur le cercle tel que l'angle $\widehat{\text{BAF}}$ soit égal à 60\degres.
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4,-1)(4,4.5)
%\psgrid
\psarc(-4,0){4}{50}{70}
\pswedge(-4,0){5mm}{0}{60}
\psarc(0,0){4}{110}{130}\rput(-3,0.4){60\degres}
\pspolygon(-4,0)(4,0)(-2,3.42)%ABF
\rput{-30}(-2,3.42){\psframe(0.4,-0.4)}
\uput[l](-4,0){A} \uput[r](4,0){B} \uput[u](-2,3.42){F} 
\end{pspicture}
\end{center}
 
\item %Montrer que le triangle ABF est rectangle en F.
Le triangle ABF est inscrit dans un cercle qui admet pour diamètre [AB], l'un de ses côtés : il est donc rectangle en F.
\item %Calculer AF.
Dans le triangle ABF rectangle en F, on a $\cos \widehat{\text{BAF}}   = \dfrac{\text{AF}}{\text{AB}}$, d'où $\text{AF} = \text{AB} \times \cos \widehat{\text{BAF}} = 8 \times \dfrac{1}{2} = 4$. (ABF est un demi-triangle équilatéral).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Une séance de cinéma coûte 7,50~euros. Recopier et compléter le tableau.
 
\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{4cm}|*{4}{>{\centering\arraybackslash}X|}}\hline 
Nombre de séances	&0 	&1		&4	&10 \\ \hline 
Prix en euros		&0	&7,50	&30	&75\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 
 
\item  %On propose aux étudiants une carte d'abonnement de 20~euros qui permet de payer chaque séance 5~euros.
 
%Recopier et compléter le tableau.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{4cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Nombre de séances			&0 	&1 	&4	&9 \\ \hline
Prix en euros avec la carte	&20	&25	&40	&65\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 
 
On note :

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item $x$ le nombre de séances, 
%\item $P(x)$ le prix payé pour $x$ séances au tarif normal, 
%\item $A(x)$ le prix payé pour $x$ séances au tarif abonné.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

\item %Exprimer $P(x)$ en fonction de $x$.
$P(x) = 7,5x$. 
\item %Exprimer $A(x)$ en fonction de $x$.
$A(x) = 20 + 5x$. 
\item ~%Représenter graphiquement la fonction $P$ et la fonction $A$ sur une feuille de papier millimétré en prenant :

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item  en abscisse: 1~cm pour 1~séance, 
%\item en ordonnée : 1~cm pour 5~euros.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.1cm}
\begin{pspicture}(-1,-6)(10,80)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=10]{->}(0,0)(10,80)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=10](0,0)(10,80)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{10}{7.5 x mul}
\rput{38}(1,10){\blue $P(x) = 7,5x$}
\rput{28}(1,27){\red $A(x) = 20 + 5x$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{10}{5 x mul 20 add}
\psset{arrowsize=3pt 4}
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](8,0)(8,60)(0,60)
\end{pspicture}
\end{center} 
\item %Résoudre l'équation : 
$7,5x = 20 + 5x$ ou $2,5x = 20$ ou $x = \dfrac{20}{2,5} = \dfrac{40}{5} = 8$. 
\item %En déduire le nombre de séances au-delà duquel il est intéressant de prendre une carte d'abonnement.
La résolution de l'équation précédente a donné le nombre de séances pour lequel les prix payés dans les deux cas sont le même.

$\bullet~~$Pour $x < 8$, il est préférable de payer le billet à l'unité (7,50~\euro) ;

$\bullet~~$Pour $x = 8$ les deux tarifs sont identiques ;

$\bullet~~$Pour $x > 8$ il est préférable de prendre la carte d'abonnement.

On retrouve ces résultats en traçant les verticales passant par les points d'abscisse 1, 2, etc. 
%Expliquer comment on retrouve ce résultat sur le graphique. 
\end{enumerate}  


\end{document}
