\documentclass[a4paper,11pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[a4paper,top=3.2cm,bottom=2cm,left=2cm,right=2cm]{geometry}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text,calc,patterns,arrows.meta}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{pifont}
\usepackage{scratch3}
\usepackage[np]{numprint}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{tgheros}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{lscape}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{colortbl}
\usepackage{makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{marvosym}
\usepackage{ifthen}
\usepackage{xspace}
\usepackage{cancel}

% -- pstricks via auto-pst-pdf --
\usepackage[runs=2]{auto-pst-pdf}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add,pst-eucl,pst-node,pst-slpe,pst-grad,pst-fun}

\newcommand{\euro}{\texteuro}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\providecommand{\degres}{\textdegree}
\providecommand{\up}[1]{\textsuperscript{#1}}

% -------- PARAMÈTRES --------
\newcommand{\titre}{Brevet des collèges}
\newcommand{\soustitre}{Antilles-Guyane -- septembre 2009}
\newcommand{\monurl}{https://site2wouf.fr}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{84pt}
\setlength{\headsep}{10pt}
\renewcommand{\headrule}{{\color{gray!25}\hrule width\headwidth height\headrulewidth}}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.65\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.18\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.7cm]{\monurl}
\end{minipage}%
}\\[4mm]%
}

% -- Commandes personnalisées APMEP --
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
{\Large\bfseries Diplôme national du brevet\\[4pt]
Brevet des collèges — Antilles-Guyane, septembre 2009}
\end{center}

\vspace{3mm}

\begin{center}
\colorbox{gray!15}{\parbox{0.85\textwidth}{\centering\Large\bfseries CORRIGÉ DE L'ÉPREUVE}}
\end{center}

\bigskip
\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}

\medskip

QCM : Questionnaire à choix multiple. \textbf{Voir Annexe 1}.

\medskip
 
\textbf{Exercice 2 \hfill 6 points}

\medskip

%Lors d'un contrôle, une classe de 3\up{e} a obtenu les notes suivantes :
%
%8 - 7 - 8 - 4 - 13 - 13 - 13 - 10 - 4 - 17 - 18 - 4 - 13 - 11 -
%
%9 - 15 - 5 - 7 - 11 - 18 - 6 - 9 - 2 - 19 - 12 - 12 - 6 - 15. 

\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau suivant en rangeant toutes les notes par ordre croissant.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{15}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Notes		&2	&4	&5	&6	&7	&8	&9	&10	&11	&12	&13	&15	&17	&18	&19\\ \hline
Effectifs 	&1 	&3	&1	&2	&2 	&2	&2	&1	&2	&2	&4	&2	&1	&2	&1	  \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item  %Quel est l'effectif total de ce groupe ?
L'effectif total de ce groupe est 28. 
\item  %Quelle est la moyenne des notes de cette classe ? Arrondir le résultat à $0,1$ près.
La moyenne des notes des 28 élèves est :

$\dfrac{2 + 12 + 5 + 12 + 14 + 16 + 18 + 10 + 22 + 24 + 52 + 30 + 17 + 36 + 19}{25} =  \dfrac{289}{28} = 10,32$ soit 10,3 au dixième près. 
\item  %Donner la médiane de ces notes.
La 14\up{e} note  est un 10 : la médiane est 10,5. 
\item  %On choisit au hasard une copie.
 
%Quelle est la probabilité pour que la note de cette copie soit supérieure ou égale à 10 ?
14 copies ont une note inférieure à 10 : la probabilité de choisir l'une de ces copies est $\dfrac{14}{28} = 0,5$ ou 50\,\%.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 2 points}

\medskip
 
%Soustraire 3 à un nombre ou le diviser par 3 donne le même résultat. Quel est ce nombre. Justifier votre réponse.
Le nombre $x$ vérifie :

$x - 3 = \dfrac{x}{3}$ soit $3x - 9 = x$ ou $2x = 9$ et enfin $x = 4,5$.
 
\vspace{0,5cm}
 
\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 3 points}

\medskip

QCM : Questionnaire à choix multiple. \textbf{Voir Annexe 2}.

\bigskip
 
\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

%\parbox{0.48\linewidth}{Soit la figure suivante où :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] ABC est un triangle rectangle en B
%\item[$\bullet~$] AC = 13~cm et BC = 12~cm  
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm} 
%
%\emph{La figure ci-contre n'est pas en vraie grandeur}.}  
%\hfill
%\parbox{0.5\linewidth}{\psset{unit=0.75cm}\begin{pspicture}(8,2.5)
%\pspolygon(1,0)(7.7,0)(1,2.3)
%\uput[l](1,2.3){A} \uput[l](1,0){B} \uput[ur](7.7,0){C} 
%\end{pspicture}}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$. (On arrondira au degré).
Dans le triangle ABC rectangle en B, on a $\sin \widehat{\text{BAC}} = \dfrac{\text{BC}}{\text{AC}} = \dfrac{12}{13}$. La calculatrice donne $\widehat{\text{BAC}} \approx 67,4$ soit 67\degres{}degrés au degré près.
\item %O désigne le milieu de [AC].
 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la longueur OB.
Le triangle ABC rectangle en B est inscrit dans le cercle de diamètre [AC] ; le centre de ce cercle est le milieu de [AC] et on a donc OA = OC $OB = \dfrac{\text{AC}}{2} = \dfrac{13}{2} = 6,5$~cm. 
		\item %Déterminer la mesure de l'angle $\widehat{\text{BOA}}$.
OA = OB entraîne que le triangle OAB est isocèle en O, donc $\widehat{\text{BAC}} = \widehat{\text{ABO}}$.

Par supplément à 180\degres, on a :

$\widehat{\text{BOA}} = 180 - 2\times 67,4 = 180 - 134,8$ soit environ 45,2\degres, donc45\degres au degré près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Exercice 3 \hfill 4 points}

\medskip

%\parbox{0.48\linewidth}{On donne :
% 
%AI = 8 cm ; IB = 10 cm ; IC = 14 cm ;
%
%ID = 11,2 cm et AB = 6 cm.
% 
%\emph{La figure ci-contre n'est pas en vraie grandeur.} 
 
\begin{enumerate}
\item  %Montrer que le triangle IAB est rectangle en A.
On a $\text{IB}^2 = 10^2 = 100$.

$\text{IA}^2  +  \text{AB}^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$.

Donc $\text{IB}^2 = \text{IA}^2  +  \text{AB}^2$ ce qui montre par la réciproque du théorème de Pythagore que le triangle IAB est rectangle en A.
\item  %Montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

On a $\dfrac{\text{ID}}{\text{IA}} = \dfrac{11,2}{8} = 1,4$ et   $\dfrac{\text{IC}}{\text{IB}} = \dfrac{14}{10} = 1,4$.

Donc $\dfrac{\text{ID}}{\text{IA}} = \dfrac{\text{IC}}{\text{IB}}$ égalité qui montre par réciproque de la propriété de Thalès que les droites (AB) et (CD) sont parallèles. 
\item  %Quelle est la nature du triangle IDC ? Justifier votre réponse.
Les droites (AB) et (CD) sont parallèles, la droite (AD) perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre (CD) en D,donc le triangle IDC est rectangle en D. 
\end{enumerate}%} \hfill
%\parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=0.75cm} \begin{pspicture}(8,5.75)
%\pspolygon(1,2.4)(7.4,2.4)(7.4,0.4)(1,5.1)
%\uput[l](1,2.4){D} \uput[l](1,5.1){C} \uput[r](7.4,0.4){B} \uput[r](7.4,2.4){A} \uput[u](4.6,2.4){I} 
%\end{pspicture}}

\medskip

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\bigskip
 
%\parbox{0.48\linewidth}{ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 3~cm et AC = 4~cm.
% 
%M est un point de [BC].
% 
%La perpendiculaire à (AB) passant par M coupe (AB) en P.
% 
%La perpendiculaire à (AC) passant par M coupe (AC) en Q.}\hfill
%\parbox{0.48\linewidth}{
\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(7,4.2)
\pspolygon(1,0.5)(6.9,0.5)(1,3.8)
\psline(2.65,0.5)(2.65,2.9)(1,2.9)
\uput[l](1,0.5){A} \uput[l](1,2.9){P} \uput[l](1,3.8){B}
\uput[ur](2.7,2.9){M} \uput[d](2.7,0.5){Q} \uput[dr](6.9,0.5){C}  
\end{pspicture}
\end{center}

%}
%
%\bigskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
%Justifier que :

\begin{enumerate}
\item  %BC = 5cm
Dans le triangle ABC rectangle en A le théorème de Pythagore s'écrit :

$\text{BC}^2 = \text{BA}^2 + \text{AC}^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$, donc BC $ = 5$~cm. 
\item %Le quadrilatère APMQ est un rectangle
Les droites (MP) et (AC) perpendiculaires à la même droite (AB) sont parallèles.

Les droites (MQ) et (AB) perpendiculaires à la même droite (AC) sont parallèles.

Le quadrilatère APMQ est donc un parallélogramme et comme il a un angle droit, il en a quatre : c'est un rectangle. 
\item %$\dfrac{\text{BP}}{3} = \dfrac{\text{BM}}{5} = \dfrac{\text{PM}}{4}$.
La propriété de Thalès avec les parallèles (MP) et (AC) donne :

$\dfrac{\text{BP}}{\text{BA}} =  \dfrac{\text{BM}}{\text{BC}} = \dfrac{\text{MP}}{\text{AC}}$ , soit $\dfrac{\text{BP}}{3} =  \dfrac{\text{BM}}{5} = \dfrac{\text{MP}}{4}$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
%On suppose dans cette partie que BM = 2 cm.

\begin{enumerate}
\item %Calculer BP, PM puis en déduire AP.
En remplaçant BM par 2 dans les égalités obtenues dans la partie A, on obtient :

$\dfrac{\text{BP}}{3} =  \dfrac{2}{5} = \dfrac{\text{MP}}{4}$.

On en déduit : $\dfrac{\text{BP}}{3} =  \dfrac{2}{5}$ qui donne $\text{BP} = \dfrac{2\times 3}{5} = \dfrac{6}{5} = 1,2$~cm.

Puis $\dfrac{2}{5} = \dfrac{\text{MP}}{4}$, d'où $\text{MP} = \dfrac{2 \times 4}{5} = \dfrac{8}{5} = 1,6$cm.
\item %Calculer l'aire du rectangle APMQ.
L'aire du rectangle APMQ est égale à :

$\text{AP} \times \text{PM} = (3 - 1,2) \times 1,6 = 1,8\times 1,6 = 2,88$~cm$^2$.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip
 
%On suppose dans cette partie que BM $= x$~cm avec $0 < x < 5$.
 
\begin{enumerate}
\item  %En utilisant la question 3  de la Partie A, exprimer BP et PM en fonction de $x$.
On reprend les égalités de la fin de la partie A en remplaçant BM par $x$ :

$\dfrac{\text{BP}}{3} =  \dfrac{x}{5} = \dfrac{\text{MP}}{4}$.

$\dfrac{\text{BP}}{3} =  \dfrac{x}{5}$ entraîne $\text{BP} = \dfrac{3x}{5}$ ; de même 
$\dfrac{x}{5} = \dfrac{\text{MP}}{4}$ entraîne $\text{MP} = \dfrac{4x}{5}$.
\item  %En déduire AP en fonction de $x$. 
On a AP $ = \text{AB} - \text{BP} = 3 - \dfrac{3x}{5}$.
\item  %Pour quelle valeur de $x$, APMQ est-il un carré ? 
Le rectangle est un carré si la longueur PM est égale à la largeur AP, soit si 

$\dfrac{4x}{5} = 3 - \dfrac{3x}{5}$, soit si $\dfrac{4x}{5} +  \dfrac{3x}{5} = 3$ ou $\dfrac{8x}{5} = 3$, puis $8x = 15$ et enfin $x = \dfrac{15}{8}$.
\item  %On note $\mathcal{A}(x)$ l'aire, en cm$^2$ du rectangle APMQ.
$\mathcal{A}(x) = \text{AP} \times \text{PM} = \dfrac{4x}{5} \times \left(3 - \dfrac{3x}{5} \right) = \dfrac{12x}{5} - \dfrac{12x^2}{25} = 2,4x - 0,48x^2$. 
%Justifier que $\mathcal{A}(x) = 2,4x - 0,48x^2$. 
\item  ~%On donne la représentation graphique de la fonction $\mathcal{A}$ ci-dessous: 

\begin{center}\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.50)(5,5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt](0,0)(5,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(5,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(5,5)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{5}{2.4 x mul x dup mul 0.48 mul sub}

\psset{arrowsize=3pt 4}
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](0,1)(0.5,1)(0.5,0)
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](0,3)(2.5,3)(2.5,0)
\end{pspicture}
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item 

%En s'aidant du graphique, trouver le(s) valeur(s) de $x$ pour lesquelles l'aire du rectangle APMQ est de 1~cm$^2$.\par
On lit approximativement que l'aire vaut 1 lorsque $x = 0,5$.
		\item %Déterminer graphiquement la valeur de $x$ pour laquelle l'aire de APMQ est maximale. Donner cette aire maximale.
On lit que l'aire est maximale lorsque $x = 2,5$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE 1 (à rendre avec la copie)}

\vspace{0,5cm}
 
LE CANDIDAT RÉPONDRA DIRECTEMENT SUR LES FEUILLES ANNEXE 1 et 2.

\medskip

CES FEUILLES ANNEXES SERONT REMISES AVEC LA COPIE.

\medskip 
\begin{flushleft} Exercice 1 \hfill  4 points \end{flushleft}

\medskip

Pour chaque ligne du tableau, 3 réponses (A, B et C) sont proposées.

Écrire dans la dernière colonne la lettre correspondant à la bonne réponse.

\medskip

\renewcommand\arraystretch{1.7}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.9cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline 
Énoncé 	&Réponse A 	&Réponse B 	&Réponse C 	&Réponse \\ \hline
Le PGCD de 364 et 156 est :		& 26 		&78 		&52	&C \\ \hline
L'écriture scientifique de $\dfrac{15 \times  10^8 \times 10^{-3}}{10^2}$\rule[-3mm]{0mm}{9mm} est:& $1,5 \times 10^4$&$1,5 \times 10^3$&$1,5 \times 10^2$ &A \\ \hline
Les solutions de l'inéquation $- 3x + 7 \geqslant 5$ sont les nombres 
$x$ vérifiant :&$x \geqslant \dfrac{2}{3}$&$x \leqslant \dfrac{2}{3}$&$x \leqslant -\dfrac{2}{3}$&B \\ \hline
On donne la fonction $f$ définie par : $f(x) = 3x^2 - 5$.  
$f\left(\dfrac{2}{3}\right)=$	&$- \dfrac{11}{3}$&$-1$&$\dfrac{7}{9}$& A \\ \hline
\end{tabularx} 

\newpage

\textbf{ANNEXE 2 (à rendre avec la copie) }

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1  \hfill 3 points}

\vspace{1cm}
 
\begin{flushleft}Pour chaque ligne du tableau, 3 réponses (A, B et C) sont proposées.

Écrire dans la dernière colonne la lettre correspondant à la bonne réponse.

\medskip
 
On a une sphère S de centre O et de rayon $r$.
 
Le plan P coupe la sphère en formant un cercle $C$ de centre H.\end{flushleft}

\vspace{1cm}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Énoncé &Réponse A &Réponse B &Réponse C &Réponse \\ \hline 
Le rayon du cercle $C$ est égal à :& $r - \text{OH}$&$\sqrt{r^2 + \text{OH}^2}$& $\sqrt{r^2 - \text{OH}^2}$&C  \\ \hline
\rule[-4mm]{0mm}{12mm}L'aire de la sphère S est:&$\dfrac{4}{3}\times \pi \times r^2$&$4 \times \pi \times r^2$& $2 \times \pi \times r$ &B  \\ \hline
Le volume de la boule de rayon $r$ est :&$\dfrac{4}{3}\times \pi \times r^3$&$4 \times \pi \times r^2$& $2 \times \pi \times r$ &A  \\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center}

\end{document}
