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% -------- PARAMÈTRES --------
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\newcommand{\soustitre}{Asie -- juin 2011}
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\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
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        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
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    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
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        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
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    \end{scope}
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\pagestyle{fancy}
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}\\[4mm]%
}

% -- Commandes personnalisées APMEP --
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
{\Large\bfseries Diplôme national du brevet\\[4pt]
Brevet des collèges — Asie, juin 2011}
\end{center}

\vspace{3mm}

\begin{center}
\colorbox{gray!15}{\parbox{0.85\textwidth}{\centering\Large\bfseries CORRIGÉ DE L'ÉPREUVE}}
\end{center}

\bigskip
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill }

\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM), Aucune justification n'est demandée. Pour chaque question, une seule réponse est exacte.\\ 
%Une réponse correcte rapportera $1$ point. L'absence de réponse ou une réponse fausse ne retirera aucun point.\\ 
%Indiquer, sur la copie, le numéro de la question et la réponse.}
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%N° &Questions &Réponse A &RéponseB &Réponse C\\ \hline 
%\textbf{1.} &Le PGCD de 170 et 238 est: &17 &2 &34\\ \hline  
%\textbf{2.} &Si une quantité est diminuée de 5\,\%, elle est multipliée par :&0,95 &0,05 &$-0,05$\\ \hline  
%\textbf{3.} &$3^{-2}  \times 3^3 - 3 = $&0 &$3^0$ &$3^{-5}$\rule[-3mm]{0mm}{8mm}\\ \hline  
%\textbf{4.} &L'équation $x^2 - 4 = 0$ admet pour solution(s) : &$- 4$ et 4 &2 &$-2$ et $2$\\ \hline 
%\end{tabularx} 
\begin{enumerate}
\item $238 = 170 \times 1 + 68$ ;

$170 = 68 \times 2 + 34$ ;

$68 = 34 \times + 0$.

Le PGCD de 170 et 238 est donc $34$. Réponse C.
\item Diminuer de 5\,\% c'est enlever 0,05 de la quantité initiale c'est donc multiplier par 0,95. Réponse A.
\item $3^{-2}  \times 3^3 - 3 = 3^{-2+3} - 3 = 3^1 - 3 = 3 - 3 = 0$. Réponse A.
\item $x^2 - 4 = 0$ ou $(x + 2)(x - 2) = 0$ d'où $x = 2 = 0$ ou $x - 2 = 0$. Deux solutions $- 2$ et $2$. Réponse C.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 }

\medskip

%Les quatre couleurs d'un jeu de cartes sont : C{\oe}ur, Carreau, Trèfle et Pique.
% 
%Le joueur A pioche dans un jeu de 32 cartes (chaque couleur comporte les cartes : 7, 8, 9, 10, Valet, Dame, Roi et As).
% 
%Le joueur B pioche dans un jeu de 52 cartes (chaque couleur comporte les cartes : 2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, Valet, Dame, Roi et As).
%
%\smallskip
% 
%Chaque joueur tire une carte au hasard.
%
%\smallskip
 
\begin{enumerate}
\item %Calculer la probabilité qu'a chaque joueur de tirer le 5 de Carreau.
Il y a un 5 de carreau dans le jeu de 52 cartes mais pas dans celui de 32 cartes. La probabilité pour le joueur A est donc nulle et pour le joueur B $\dfrac{1}{52}$. 
\item %Chaque joueur a-t-il la même probabilité de tirer un C{\oe}ur ? Justifier.
Chaque couleur a la même probabilité d'être tirée dans chaque jeu ; dans le jeu de 32, $\dfrac{8}{32} = \dfrac{1}{4}$ et dans le jeu de 52, $\dfrac{13}{52} = \dfrac{1}{4}$. 
\item %Qui a la plus grande probabilité de tirer une Dame ? Justifier.
Dans le jeu de 32 il y a 4 dames : probabilité : $\dfrac{4}{32} = \dfrac{1}{8}$.

Dans le jeu de 52 il y a 4 dames : probabilité : $\dfrac{4}{52} = \dfrac{1}{13}$.

Il y a plus de chances de tirer une dame dans le jeu de 32 que dans le jeu de 52.
\end{enumerate} 

\bigskip
 
\textbf{Exercice 3}

\medskip
 
%On donne le programme de calcul suivant : 
%
%\setlength\parindent{10mm}
%\begin{itemize}
%\item Choisir un nombre.
%\item Ajouter 1. 
%\item Calculer le carré du résultat obtenu.
%\item Soustraire le carré du nombre de départ. 
%\item Soustraire 1.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Effectuer ce programme lorsque le nombre choisi est $10$ et montrer qu'on obtient $20$.
$10 \to  10 + 1 = 11 \to 11^2 = 121 \to 121 - 10^2 = 121 - 100 = 21 \to 21 - 1 = 20$.
		\item %Effectuer ce programme lorsque le nombre choisi est $- 3$ et montrer qu'on obtient $- 6$.
$- 3 \to  - 3 + 1 = - 2 \to (- 2)^2 = 4 \to 4 - (- 3)^2 = 4 - 9 = - 5 \to - 5 - 1 =  - 6$.		 
		\item %Effectuer ce programme lorsque le nombre choisi est $1,5$.
$1,5 \to  1,5 + 1 = 2,5 \to 2,5^2 = 6,25 \to 6,25 - 1,5^2 = 6,25 - 2,25 =4  \to 4 - 1 = 3$.
	\end{enumerate} 
%\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

%\smallskip
% 
%Quelle conjecture peut-on faire à propos du résultat fourni par ce programme de calcul ? Démontrer cette conjecture. 
On peut conjecturer que le résultat final est le double du nombre initial : démonstration

$n \to  n + 1 \to (n + 1)^2 \to (n + 1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1 \to 2n + 1 - 1 = 2n$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill }

\medskip

%Un propriétaire souhaite aménager le grenier de sa ferme. Voici le croquis de son grenier.
%
%\medskip
%
%\psset{unit=0.7cm}
%
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(17,5)
%\pspolygon(1,1)(8.3,1)(4.7,4)
%\pspolygon(1.8,1.2)(7.5,1.2)(4.7,3.6)
%\pspolygon(1.6,1.2)(7.7,1.2)(4.7,3.7)
%\pspolygon(1.4,1.2)(7.9,1.2)(4.7,3.8)
%\pspolygon(3.2,2.3)(6.2,2.3)(6,2.45)(3.4,2.45)
%\pspolygon(4.6,3.5)(4.6,1.2)(4.8,1.2)(4.8,3.5)
%\pspolygon(9.7,1)(16.6,1)(13,5)%BCA
%\psline(13,1)(13,5)%IA
%\psline(12,3.8)(14.1,3.8)%KM
%\psframe(13,3.8)(12.8,4)\psframe(13,1)(12.8,1.2)
%\rput(9.4,4){Schéma simplifié}
%\psline[linewidth=0.3pt,arrowsize=2pt 3]{<->}(9.7,0.6)(16.6,0.6)\uput[d](13.35,0.6){7,2~m}
%\psline[linewidth=0.3pt,arrowsize=2pt 3]{<->}(12,3.6)(14.1,3.6)
%\uput[d](13,3.6){2~m}
%\uput[u](13,5){A} \uput[dl](9.7,1){B} \uput[dr](16.6,1){C} \uput[ur](13,1){I} \uput[ur](13,3.8){J} \uput[ul](12,3.8){K} \uput[ur](14.1,3.8){M}
%\psarc(9.7,1){4mm}{0}{48}\rput(10.58,1.4){48\degres} 
%\end{pspicture}
%\end{center} 
%
%\medskip
%
%Ce propriétaire mesurant 1,75~m souhaite savoir s'il peut rester debout sans se cogner la tête sur une des poutres représentée par le segment [KM]. I est le milieu du segment [BC]. 

\begin{enumerate}
\item %Calculer la longueur du segment [AI]. On donnera une valeur approchée par défaut au centimètre près. 
Dans le triangle ABI rectangle en I on a :

$\tan \widehat{\text{ABI}} = \dfrac{\text{AI}}{\text{BI}}$ d’où AI $ = \text{BI}\tan \widehat{\text{ABI}} = 3,6\tan 48 \approx 3,998$ soit 3,99~m au centimètre près.
\item %Calculer la longueur du segment [AJ]. On donnera une valeur approchée par excès au centimètre près.
De la même façon on a AJ $ = \text{KJ}\tan \widehat{\text{ABI}} = 2 \times \tan 48 \approx 2,221$ soit 2,23~m au centimètre près.
\item %e propriétaire peut-il se tenir debout sans se cogner la tête?
On a donc IJ = AI $-$ AJ $\approx 3,99 - 2,23$, donc $\text{AJ} \approx 1,76$~m. Le propriétaire pourra se tenir debout (juste).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill }

\medskip
 
%Dans la figure ci-dessous, le triangle ABC un triangle isocèle en A tel que AB = 5~cm et $\widehat{\text{ABC}} = 75$\degres{} et le triangle ACE est équilatéral.
%
%\smallskip
% 
%\emph{La figure ci-dessous n'est pas en vraie grandeur.}
%
%\smallskip 
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(5,5)
%\pspolygon(2.7,1.4)(0.8,0.7)(0.5,4.7)(2.7,1.4)(4.3,5)(0.5,4.7)%CBACEA
%\uput[ul](0.5,4.7){A} \uput[dl](0.8,0.7){B} \uput[dr](2.7,1.4){C} \uput[dr](4.3,5){E} 
%\end{pspicture}
%\end{center}
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item ~
%Construire la figure en vraie grandeur.
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,5)
\pspolygon(2.7,1.4)(0.8,0.7)(0.5,4.7)(2.7,1.4)(4.3,5)(0.5,4.7)%CBACEA
\uput[ul](0.5,4.7){A} \uput[dl](0.8,0.7){B} \uput[dr](2.7,1.4){C} \uput[dr](4.3,5){E} 
\end{pspicture}
\end{center} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$. 
		Puisque ABC est isocèle en A, $\widehat{\text{ABC}}= \widehat{\text{ACB}} = 75$\degres.
		
On en déduit que $\widehat{\text{BAC}} = 180 - (75 + 75) = 180 - 150 = 30$\degres.
		\item %Quelle est la nature du triangle ABE ?
Lez triangle ACE est équilatéral, donc  $\widehat{\text{CAE}} =  60$\degres.

Donc $\widehat{\text{BAE}} = 30 + 60 = 90$\degres. le triangle ABE est donc rectangle en A.

Or ABC est isocèle, donc AB = AC et ACE est équilatéral donc AC = AE, donc finalement 

AB = AE : le triangle ABE est donc rectangle isocèle en A. 
	\end{enumerate} 
\item %Calculer la longueur exacte du segment [BE]. Donner la valeur arrondie au millimètre près.
Le théorème de Pythagore appliqué au triangle ABE donne :

$\text{BE}^2 = 5^2 + 5^2 = 50$, donc B7,07E $ = \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \approx  7,07$ soit 7,1~cm au millimètre près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill }

\medskip

%\emph{La figure ci-dessous n'est pas réalisée en vraie grandeur, elle n'est pas à reproduire}
%
%
%\medskip
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(9,5)
%\pspolygon(0,1)(8.4,1)(7.9,0.2)(2.3,4.5)%GYPT
%\uput[ul](0,1){G} \uput[ur](8.4,1){Y} \uput[u](2.3,4.5){P} \uput[d](7.9,0.2){T} \uput[ur](6.9,1){I} 
%\end{pspicture}
%\end{center}
%\medskip
% 
%Les droites (TP) et (YG) sont sécantes en I.
%
%On donne les longueurs : IP = 5 cm ; IG = 7 cm ; IY = 1,4 cm ; YT = 0,8 cm et TI = 1 cm.
  
\begin{enumerate}
\item %Montrer que les droites (PG) et (YT) sont parallèles.
$\dfrac{\text{IT}}{\text{IP}} = \dfrac{1}{5}$ et  $\dfrac{\text{IY}}{\text{IG}} = \dfrac{1,4}{7} = \dfrac{14}{70} = \dfrac{1}{5}$.

O a donc $\dfrac{\text{IT}}{\text{IP}} = \dfrac{\text{IY}}{\text{IG}}$, donc d’après la réciproque de la propriété de Thalès les droites (YT) et (GP) sont parallèles.
\item %Calculer le périmètre du triangle IGP. 
On a aussi $\dfrac{\text{IT}}{\text{IP}} = \dfrac{\text{YT}}{\text{PG}}$ soit $\dfrac{1}{5} = \dfrac{0,8}{\text{PG}}$ d’où PG $  = 5 \times 0,8 = 4$~cm.

Le périmètre du triangle IGP est donc égal à : 

$4 + 7 + 5 = 16$~cm.
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

%\emph{En physique, la tension \emph{U} aux bornes d'une \og résistance \fg{} est proportionnelle à l'intensité \emph{I} du courant qui la traverse, c'est-à-dire : $\emph{U} = \emph{R} \, \times \,\emph{I}$, où \emph{R} (valeur de la résistance) est le coefficient de proportionnalité.}
% 
%\emph{On rappelle que l'unité d'intensité est l'ampère et que l'unité de tension est le volt.}
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%L'intensité I (en ampères) &0,02 &0,03 &0,04 &0,08\\ \hline
%Tension U (en volts) &3 &4,5 &6 &12\\ \hline
%\end{tabularx} 
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier que ce tableau est un tableau de proportionnalité. 
On a $0,02 \times 150  = 3$ ; $0,03 \times 150 = 4,5$ ; $0,04 \times 150 = 6$  ; $0,08 \times 150 = 12$.

Le tableau est un tableau de proportionnalité de coefficient $150$.
		\item %Quel est le coefficient de proportionnalité ? 
		Voir la réponse précédente.
		\item %Calculer la tension U si l'intensité I vaut 0,07 ampère.
On a $\text{U} = 150\text{I} = 150 \times 0,07 = 10,5$~(V).		
%\smallskip
%		 
%On nomme $f$ la fonction qui donne la tension U en fonction de l'intensité I.

\smallskip
	\end{enumerate} 
\item %Préciser la nature de la fonction $f$ et donner l'expression algébrique de $f(\text{I})$. 
On a $f(\text{I}) = 150\text{I}$. $f$ est une fonction linéaire. 
\item %Dans le repère en annexe, tracer la représentation graphique de la fonction $f$. 
\item %Lire graphiquement l'intensité quand U = 10~volts (donner une valeur approchée avec la précision permise par le graphique).
Voir à la fin. 
%Déterminer par un calcul la valeur exacte de l'intensité quand U = 10 volts.
On a $150\text{I} = 10$ d’où I $ = \dfrac{1}{15}$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

%\emph{En physique, la puissance \emph{P} de la \og résistance \fg{} est le produit de la tension \text{U} à ses bornes et de l'intensité \text{I} qui la traverse, c'est à dire $\emph{P} = \emph{U} \,\times$\, \emph{I}.\\
% On rappelle que l'unité de puissance est le watt.}
 
\begin{enumerate}
\item %En utilisant l'expression obtenue à la question 3 de la partie A, justifier que : 

%\[\text{P} = 150 \times \text{I}^2\]
 
%On nomme $g$ la fonction qui donne la puissance P en fonction de l'intensité I.
De U $ = 150 \text{I}$ et P $ = \text{U}\times \text{I}$, on déduit que $\text{P} = 150 \times \text{I}^2$.
\smallskip

\item %Calculer l'image de 7,5 par la fonction $g$.
On a donc $g(\text{I}) = 150 \times \text{I}^2$.

Donc $g(7,5) = 150 \times 7,5^2 = \np{8437,5}$
\smallskip
 
%En annexe, on donne la courbe représentative de la fonction $g$.
 \item %Lire graphiquement la puissance P quand I = 5 ampères (on fera apparaître sur le graphique les traits de construction ayant permis la lecture).
 Voir à la fin. On lit à peu près \np{3750}.
\item %Lire graphiquement un antécédent de \np{2500} par la fonction $g$ (on fera apparaître sur le graphique les traits de construction ayant permis la lecture).
Voir à la fin. On lit un peu moins de 4,1. 
\item %La puissance P est-elle proportionnelle à l'intensité I ? Justifier la réponse. 
La représentation graphique de la fonction $g$ n’est pas une droite qui contient l’origine. La puissance P n’est pas proportionnelle à l’intensité.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{\large ANNEXE}

\vspace{1cm}

\textbf{Partie A : représentation de la fonction }\boldmath $f$ \unboldmath

\vspace{1cm}

\psset{xunit=110cm,yunit=0.275cm}
\begin{pspicture}(-0.002,-1)(0.102,17)
\multido{\n=0.0000+0.0025}{42}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,17)}
\multido{\n=0+1}{18}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0.000,\n)(0.102,\n)}\uput[u](0.102,0){I}
\psaxes[linewidth=1.2pt,Dx=0.01,comma=true,Ox=0,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-0.002,-0.99)(0.102,17)
\psaxes[linewidth=1.2pt,Dx=0.01,comma=true,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-0.002,-0.99)(0.102,17)\uput[r](0,17){U}\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{0.1}{x 150 mul}
\psline[ArrowInside=->](0,10)(0.0666,10)(0.0666,0)
\end{pspicture}

\vspace{3cm}


\textbf{Partie B : représentation de la fonction }\boldmath $g$ \unboldmath

\vspace{1cm}

\psset{xunit=1.2cm,yunit=0.0006cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-500)(10.25,9000)
\multido{\n=0+0.25}{41}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,9000)}
\multido{\n=0+500}{19}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(10,\n)}
\psaxes[linewidth=1.2pt,Dy=10000]{->}(0,0)(10.25,9000)
\psaxes[linewidth=1.2pt,Dy=10000](0,0)(10.25,9000)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{7.5}{x dup mul 150 mul}
\uput[u](10.25,0){I} \uput[r](0,9000){P}
\multido{\n=0+1000}{10}{\uput[l](0,\n){\np{\n}}}
\psline[ArrowInside=->](5,0)(5,3750)(0,3750)
\psline[ArrowInside=->](0,2500)(4.06,2500)(4.06,0)
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